Production Functions: Theory, Methods, Application

Machine-read text

The scan of this work has been read by machine so that it can be searched. Recognition is never perfect: letters get confused, hyphenated words are left broken, formulas and tables are lost. Read the original; this text is an aid to finding things in it.

Original (PDF) → 241 pages · 457 206 characters

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНЕЦИИ

Г.В. Клейнер

ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ, ПРИМЕНЕНИЕ

МОСКВА „ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА" 1986

ББК 22.172

К48

0702000000—028

K48

Рецензенты: Ершов 2. Б., Демиденко Е. 3.

Клейнер Г. Б.

Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 239 с.

Производственные фупкции рассматриваются в монографии как экономико-статистические модели, выражающие соотношения между выпуском продукции и объемами ресурсов. Исследуются все этапы построения и нспользования моделей вплоть до программного обеслечения. Особое внимание уделяется практическому применению производственных функций в экономическом анализе, планировании и прогнозировании.

Для статнстнков, экономистов, плановнков, а также разработчикоп АСУ и специалистов по прикладной математике,

22—86 ББК 22,172

010(01)—86

ПРЕДИСЛОВИЕ

Повышение научного уровня планирования социально-экономического развития страны является одной из главных задач совершенствования управления экономикой на современном этапе [2].

«Жизнь предъявляет более высокие требования кпланированию, являющемуся сердцевиной управления. Оно должно стать активным рычагом интенсификации производства, осуществления прогрессивных хозяйственных решений, обеспечивать сбалансированный и динамичный рост экономики», — указывалось на апрельском (1985 г.) Пленуме ЦК КПСС [3]. Ориентация на достижение высоких конечных результатов производства при наименьших затратах и рациональном использовании производственных ресурсов должна пронизывать все стадии и уровни планирования — от предприятия до народного хозяйства в целом. Для реализации этой задачи необходимо четко представлять и использовать в процессе формирования, анализа и обоснования плановых вариантов все те объективные зависимости, которые существуют между исходными условиями и конечными результатами работы каждой конкретной хозяйственной системы, прежде всего показателями ресурсов и выпуска продукции. Одной из форм математического выражения такой зависимости служат производственные функции —Xaрактерные для данной экономической системы соотношения между объемом выпускаемой продукции и размерами основных производственных ресурсов.

Отражая в сжатой форме один из главных экономических процессов — процесс производства продукции, производственные функции служат полезным инструментом, позволяющим проводить разнообразные аналитические расчеты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать выпуск продукции и контролировать реальность плановых проектировок. Важную роль играют производственные функции и в качественном исследовании экономических систем, являясь неотъемлемой частью

большинства комплексных моделей экономической динаМИКИ,

По мере развития автоматизированных систем управления хозяйственными объектами различного уровня, повышения роли подсистем перспективного планирования, прогнозирования и ретроспективного анализа, в них все чаще включаются производственные функции как средство решения ряда планово-экономических задач.

Предлагаемая читателю книга содержит систематическое изложение теории производственных функций и практические рекомендации по их построению и использованию. В основе концепции производственной функции, которой придерживается автор, лежат два принципа моделирования: целевая направленность и аппроксимационный характер экономико-статистических моделей. Принцип целенаправленности моделирования состоит в последовательном использовании информации о цели построения модели и сфере ее последующего применения практически на всех этапах построения производственной функции — от формирования информационной базы до вычислительных методов оценки параметров. Поскольку цели моделирования могут быть различными, в качестве моделей одного и того же процесса могут использоваться разные производственные функции.

Согласно аппроксимационному принципу каждая экономико-статистическая модель рассматривается как звено в системе аппроксимации — процесса последовательного, приближенного и все более точного описания реального явления. Производственная функция конкретного объекта при таком подходе не «истина в последней инстанции» и не выражение субъективного опыта исследователя, а результат поиска наиболее адекватного в данных условиях математического описания процесса производства в конкретной экономической системе. При этом условия построения производственной функции включают имеющуюся в данный момент информацию о характере функционирования производства, целях и доступных средствах моделирования. Те элементы исходной информации, которые относятся не к моделируемому объекту, а к применяемым средствам, или же носят условный характер, должны формулироваться в виде предпосылок аппроксимации. Хотя формулировка этих предпосылок иногда связана с известными трудностями, применение принципа аппроксимации при построении и истолковании производственной функции позволяет, по нашему мнению, не только расширить арсенал методов построения функций с помощью различных критериев и средств ап-

проксимации, но и избежать неправомерной интерпретации результатов использования построенной модели.

Особое внимание в книге уделяется анализу предпосылок, лежащих в основе применения производственной функции того или иного вида, связи теоретических вопросов с методикой применения производственных функций, определению сфер и границ их применения.

В построении производственных функций на базе статистических данных много общего с построением регрессионных моделей, при этом имеот место те же явные и скрытые трудности, с которыми связано применение регрессионного анализа. Простота аппарата регрессионного моделирования создает иллюзию его неограниченной применимости для описания любых зависимостей между показателями. Однако недостаточное внимание к исходным предположениям регрессионного анализа приводит порой к отрицательным результатам, вызывающим критику всего направления в целом. Для производственных функций в данной книге сделана попытка разработать такую методику экономикостатистического моделирования, которая не допускала бы расширительного применения и толкования его результатов и давала удовлетворительные результаты в случаях, когда применение производственной функции допустимо.

С различными вопросами, возникающими при разработке и применении производственных функций, сталкивается широкий круг экономистов. В него входят экономисты-ма: тематики, разрабатывающие инструментарий и методологию экономико-математического моделирования; системные аналитики и разработчики моделей конкретных хозяйственных систем; экономисты-практики, непосредственно: применяющие производственные функции в своей работе. В свя3H с этим отдельные параграфы книги адресованы различным категориям читателей и написаны с неодинаковой степенью строгости. В ходе изложения все основные используемые экономические, математические и статистические понятия определяются или разъясняются.

Автор выражает глубокую благодарность Э. Б. Ершову иЕ. 3. Демиденко, чьи ценные советы и замечания способствовали улучшению рукописи.

Глава 1

ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1.1. Производственный процесс м его экономико-математическая модель

Главной задачей социалистического предприятия, объединения, отрасли является удовлетворение производственных и других потребностей народного хозяйства в определенных видах товаров или услуг. Эта задача осуществляется путем организации производственного процесса — процесса переработки сырья, материалов, полуфабрикатов в готовую продукцию, реализуемую потребителю. Для обеспечения нормального протекания этого основного процесса необходим ряд других, вспомогательных, процессов, таких, как материально-техническое снабжение, капитальный ремонт, реконструкция и модернизация оборудования, Ффинансирование затрат на производство, обеспечение его кадрами соответствующей квалификации, а также разнообразной документацией, необходимой для производства изделий. Кроме того, в функции предприятия или производственного объединения входят реализация и доставка к потребителю произведенной продукции и т. д. В результате любая, даже относительно малая по масштабу, хозяйственная единица представляет собой сложную систему, в которой взаимодействуют десятки экономических, технических и социальных процессов, постоянно изменяющихся под воздействием внешних условий, в том числе научно-технического прогресса.

В такой ситуации управление производственными объектами превращается в задачу, требующую применения специальных средств анализа и планирования. Одним из таких средств является экономико-математическое моделирование.

Уточним основные понятия экономико-математическоро моделирования, на которые мы будем опираться в процессе

изложения. Как известно, суть математического моделирования состоит в замене реального объекта некоторой математической конструкцией {математической моделью), в том или ином смысле отражающей характерные черты моделируемого процесса. При этом между некоторыми характеристиками модели и свойствами процесса устанавливается двусторонняя связь, благодаря которой, с одной стороны, мы можем использовать данные об особенностях процесса для построения и уточнения его модели, с другой — интерпретировать результаты ее исследования в терминах, непосредственно характеризующих свойства процесса.

Сами по себе математические объекты — матрицы, функции, уравнения н т. п., являясь результатами абстрагирования свойств многих реальных объектов или процессов, утрачивают связь с конкретными процессами и служат исходным «материалом» для моделирования. Их также можно называть математическими моделями, если не требовать разъяснения, какой реальный процесс и с какой целью моделируется. Для того чтобы связать такой математический объект с реальным объектом и говорить не о модели «вообще», а о модели конкретного объекта, необходимо указать способы использования информации об объекте для построения и уточнения модели (т. е. идентификации модели или ее компонентов), а также способы и возможности использования модели для исследования свойств объекта (способы интерпретации модели или ее компонентов). Таким образом, под математической моделыо данного процесса мы будем понимать математическую конструкцию, являющуюся результатом ндентификации и снабженную правилами дальнейшей идентификации и интерпретации ее компонентов.

Процесс идентификации модели на основе данных о реальном объекте с другой точки зрения может рассматриваться как процесс измерения различных характеристик объекта; инструментом измерения при этом служит сама идентифицируемая модель.

Для связи между реальным производственным процессом и его математической моделью используется множество показателей. Каждый из них представляет собой способ определения количественной характеристики процесса [12]. В ряде случаев значения показателей даются не в числовых, а в порядковых или номинальных шкалах [44]. Тогда показатели именуются признаками.

Исходными данными для вычисления фактических значений количественных показателей служат результаты непосредственных измерений (наблюдений) или рассчитанные заранее значения других показателей. Для фактических

значений экономических показателей характерно, что перBHYHBIMH исходными данными являются данные бухгалтерского учета и статистической отчетности. Экономико-математические модели выделяются среди математических моделей тем, что объектом моделирования являются экономические процессы, а сами модели отражают экономические связи и отношения, существующие в реальных процессах или явлениях. При идентификации и интерпретации экономико-математических моделей использупотся экономические показатели.

1.1.2. Основные характеристики экономико-математических моделей

Каждая экономико-математическая модель реального явления характеризуется:“а) объектом моделирования; 6) системным описанием объекта; в) целями построения модели; г) принципами моделирования; д) аппаратом моделирования; e) способами идентификации и интерпретации.

Объектом моделирования может быть либо реальная хозяйственная система, либо один или несколько процессов, протекающих в такой системе. Для построения модели необходимо не просто указать наименование объекта, а дать его описание в виде системы, т. е. определить его границы взаимодействия с внешней средой, его структуру. Модели, отражающие один и тот же объект с различных точек зрения, следует считать различными.

Построение модели само по себе не является самоцелью. Большинство экономико-математических моделей строится с вполне конкретными целями, для решения определенных планово-аналитических задач, Учет этих целей необходим при разработке и идентификации модели, для правильной формулировки понятия адекватности модели и методов ее проверки. Понятие адекватности модели имеет две различные грани [48]. Во-первых, можно говорить об адекватности модели изучаемому реальному процессу, понимая под этим степень соответствия между его характеристиками и характеристиками модели. Во-вторых, следует оценивать адекватность поставленной задаче.

Поскольку модель представляет собой существенно упрощенный образ реальности, какие-то ее стороны не находят отражения в модели, в то время как другим уделяется особое внимание. В основе каждой модели лежит система предпосылок, определяющих исходные принципы построения модели. Формулировка и последовательная реализация этих принципов при. построении модели необходимы для

правильного понимания смысла результатов, полученных с помощью модели.

Аппарат моделирования определяется типом математических конструкций, используемых для построения модели. Наиболее распространенными являются модели, построенные с помощью аппарата матричной алгебры, линейного программирования, регрессионного анализа. Иногда говорят о специфическом «аппарате производственных функций». Выбор того или иного аппарата моделирования в значительной мере опирается на предпосылки, положенные в основу модели.

Наконец, последнюю группу характеристик модели составляют способы идентификации и интерпретации модели. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Предположим, что в уравнении

у = ах |... ах,

связывающем выходной показатель процесса y с входными показателями х/,..., Хи, параметры:а:, ..., а, определялись в одном случае методом наименьших квадратов (см., например, § 2.4), в другом — методом экспертных оценок. Г]олученные модели будем считать различными моделями одного и того же процесса. Аналогичным образом различное истолкование показателей х;,..., хи, ив этом выражении также приводит к разным моделям.

Приведенные шесть групп характеристик, конечно, не определяют экономико-математическую модель однозначно, однако они содержат достаточную информацию для проводимой в дальнейщем классификации моделей с целью выделения среди них производственной функции. Более подробную систему признаков можно найти в [17].

1.1.3. Экономико-статистические модели

Обычно величины, входящие в экономико-математическую модель, делятся на две группы: переменные и коэффициенты (параметры). Коэффициенты не зависят непосредственно от других величин модели и образуют как бы каркас модели, на котором располагатотся все ее остальные компоненты. Поэтому в экономико-статистической литератуге иногда коэффициенты называются структурными параметрами модели [49].

Деление величин на переменные модели и ее параметры не абсолютно. В зависимости от того, какие задачи решаются с помощью данной модели, одна и та же величина может рассматриваться либо как переменная, получающаяся

в результате решения модели, либо как постоянная, определяемая до использования модели.

Процесс идентификации модели состоит из двух частей: во-первых, переменные модели отождествляются с показателями деятельности моделируемого объекта, во-вторых, коэффициенты получают конкретные числовые значения (или задаются с помощью распределения вероятностей). Этот последний процесс называют спецификацией коэффициентов.

Спецификация коэффициентов может осуществляться либо на основе нормативной информации, т. е. информации, содержащейся в нормативных актах и планах, регламентирующих деятельность хозяйственных систем, либо на OCHOве экспертной информации, либо на основе статистической и бухгалтерской информации. с применением методов статистической обработки. г

Если параметры экономико-математической модели определяются на основе статистической информации с использованием методов статистической обработки данных, то модель называется экономико-статистической. На практике в большинстве моделей используется как нормативная и экспертная, так и статистическая информация. Оптимальное соотношение между этими видами информации зависит от конкретного объекта, модели и цели ее построения. Однако обычно «насыщение» модели статистической информацией, носящей более объективный характер, повышает точность моделирования [40].

1.1.4. Задачи экономико-статистического анализа и моделирования производственных процессов

Функционирование хозяйственных систем носит целенаправленный характер. Для целёнаправленных процессов характерно, что каждый из них можно представлять как систему с определенным выходом и входом, преобразующую исходные материалы или данные в конечный результат процесса. В такой ситуации состояние системы определяется совокупностью условий и средств, обеспечивающих протекание процесса [9].

Один из основных методологических принципов системного анализа процессов состоит в возможно более адекватном определении входов, выходов и состояний каждого из исследуемых процессов и определении схемы их взаимодейСТВИЯ.

Наиболее простой и общей концепцией модели, отражающей связь между выходом, входом и состоянием процесса, является понятие автомата.

Математическая модель производственной системы называется автоматом, если она включает в себя: множество U, интерпретируемое как множество возможных входных воздействий (различного вида ресурсов, оборудования ит. д.)}, множество У, соответствующее возможным выходам системы (продукция, услуги, вклад в прирост национального богатства ит. д.), и множество Х, каждый элемент которого характеризует состояние системы в данный период. Кроме того, задаются два отображения: переходное отображение ‹р: И ХХ —+ Х и выходное отображение p: Х —У. Каждому моменту дискретного времени 7 соответствуют входное воздействие u(f)€U, состояние х(НЕХ и выход у (1) СУ, а переход от момента Ёк {-- 1 задается с помощьо отображений ф и ф:х (#- 1) =o (x (0, и (0), УЕ 1) =p Е 1).

Смысл понятия автомата в TOM, что все течение процесса разбивается на отдельные дискретные шаги, в каждом из которых связь между входом и выходом системы опосредуется с помощью понятия состояния, аккумулирующего в себе достаточную информацию о прошлом развитии системы. По существу автомат является простейшей дискретной моделью, отражающей понятия входа, выхода и состояния (при этом само описание отображений ф иф может быть достаточно сложным). Большинство используемых в настоящее время экономико-математических моделей представляют собой лнбо целиком автомат, либо одну из его частей — переходное или выходное отображение. |

Для процесса производства продукции — главного хозяйственного процесса в хозяйственной системе — выходом служит готовая товарная продукция, входы определяются поставками сырья, материалов, комплектующих изделиний, оборудования, приростом трудовых и финансовых ресурсов, а состояние — накопленными запасами средств производства и рабочей силы. В современных промышленных системах произведенная продукция является результатом совместного функционирования многих производственнохозяйственных процессов, испытывающих на себе неодинаковое влияние окружающей обстановки и обладающих различной степенью инерционности. В этих условиях определить количественно зависимость между выходом и входом производственного процесса, с достаточной полнотой реконструировав внутреннюю структуру процесса, как правило, невозможно. С другой стороны, известная устойчивость функционирования самого моделируемого объекта как экономической системы дает основания рассчитывать на получение «внешнего» описания процесса с помощью обработки ста-

тистических данных. Эти обстоятельства создают необходимые предпосылки для применения экономико-статистического моделирования в качестве одного из средств анализа и управления процессом производства.

`В экономической науке и хозяйственной практике установилась следующая классификация задач управления: оперативный контроль и регулирование; текущее (годовое) планирование; пятилетнее планирование; долгосрочное перспективное планирование; прогнозирование; ретроспекТИвНЫй экономический анализ.

В принципе экономико-статистические модели могут применяться для решения задач всех перечисленных функций управления. Однако в зависимости от задачи, для решения которой строится модель, к ней предъявляются специфические требования, касающиеся, ее вида, параметров, области использования.

Разработка системы экономико-статистических моделей процесса производства по существу равносильна созданию своеобразного «паспорта» данного хозяйственного объекта, так как в таких моделях в обобщенном виде суммированы объективные данные о ходе этого процесса.

4.2. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРОЦЕССА

1.2.1. Общее понятие производственной функции

Наша ближайшая задача — выделить, пользуясь приведенной выше классификацией, из множества всех экономикоматематических моделей производственную функцию (ПФ) как особый вид экономико-статистических моделей. Рассмотрим с этой целью содержание каждого из признаков а — еп. 1.1.2:

a) объект моделирования. Непосредственным объектом моделирования для ПФ являются процессы производства продукции в реально функционирующих в течение определенного времени хозяйственных системах — на предприятии, в объединении, отрасли, регионе или в народном хозяйстве в целом. Соответственно уровню моделируемой системы в структуре управления народным хозяйством производственные функции делятся на народнохозяйственные, региональные, отраслевые, а также производственные функции объединений и предприятий.

В ряде случаев в качестве самостоятельного объекта моделирования рассматривается не вся хозяйственная система, а ее часть, состоящая из технологически относительно однородных производственных единиц. Для излагаемой концепции ПФ во всех случаях характерно отражение функционирования моделируемого объекта как единого целого, без учета его организационной структуры (в процессе построения ПФ его структурные характеристики могут тем не менее приниматься во внимание, см. $ 2.1);

6) системное описание объекта. В теории производственных функций производственный процесс рассматривается с точки зрения преобразования ресурсов в продукцию. Входами при этом являются потоки ресурсов различного вида, полностыо или частично используемые при производстве, выходом — готовая к реализации продукция. Функционирующие в системе ресурсы, технология и условия организации производства определяют потенциальные возможности и состояние процесса;

в) цели моделирования. Производственная функция строится для решения определенных экономических задач, относящихся к анализу, прогнозированию и планированию (в узком смысле слова). Применяются производственные функции как самостоятельно, так и в составе более сложных экономико-математических моделей. В общем виде цель построения производственной функции можно охарактеризовать как анализ факторов роста или прогнозирование объема выпуска продукции.

Однако в каждой конкретной ситуации эта цель имеет свои особенности, существенно влияющие на процесс построения функции. Целесообразно различать следующие возможные способы использования ПФ: |) определение объема выпуска при фиксированных заранее значениях показа-. телей основных ресурсов (в случае, когда эти значения незначительно отличаются от наблюдавшихся в прошлом); 2) то же самое в случае значений ресурсов, существенно отличающихся от всех, наблюдавшихся в прошлом; 3) определение объемов выпуска при значениях показателей ресурсов, принадлежащих заданной непрерывной области (в частности, меняющихся в заданных пределах); 4) определение влияния на объем выпуска малого независимого из-. менения размеров одного или нескольких ресурсов; 5} определение характеристик производственного процесса, выражающихся через параметры производственной функции.

Конкретные варианты и способы решения планово-аналитических задач на основе производственных функций рассмотрены в гл. 4;

г) принципы моделирования. В основе принятого в данной работе понятия производственной функции лежат следующие принципы, играющие роль аксиоматических в теории производственных функций:

1) объем выпуска продукции, произведенной данной производственной системой за период, определяется размерами средств труда, предметов труда и собственно труда, участвующих в процессе производства в течение этого периода;

2) связь между объемом выпуска и размерами средств труда, предметов труда и собственно труда является для данной производственной системы закономерной и OTHOCHтельно устойчивой;

3) в ряде случаев дополнительно принимается, что в определенных границах любое .независимое изменение аргументов производственной функции допускает реальную ингерпретацию.

Принципы | и 2 подробно рассматриваются в п. 1.2.2, 1.2.3; принцип 3 — вп. 2.3.1;

Д) аппарат моделирования. Основным «материалом» для построения производственной функции служат зависимости и =f {X,..., X»), где у — объемный показатель выпуска, Xj,

... Х, — объемные показатели производственных ресурсов. (Число факторов производственной функции обычно не превосходит 10.) Функция / должна быть определенной в достаточно широкой области пространства ВЮ" и вычислимой в области своего определения. Последнее означает, что исследователь должен располагать алгоритмом, позволяющим вычислять значения {в любой точке, где она определена. Обычно производственная функция и =f (x, ...,X,) строится подбором наиболее подходящей функции из определенного параметрического класса F += {№ (х,,... х,)}, где а —

(а:,.... @y) — вектор параметров. Таким образом, непосредственным аппаратом моделирования в данной концепцни производственной функции являются параметрические классы вычислимых функций от п < 10 переменных*. Как правило, зависимость функции / от переменных и параметров задается в явном виде или — реже — в виде фунчкциональных, дифференциальных или интегральных уравнений;

е) индентификация и интерпретация модели. Переменные Y, х,, ..., х, отождествляются, как уже сказано выше, с показателями объемов выпуска и основных участвовавших

* В других коиценциях понятия производственной функцни освовная зависимость представляется в виде регрессии или задачи математического программирования.

в производстве ресурсов. Предполагается возможность спецификации параметров а1,..., а, производственной функции на основе статистических данных о выпуске и ресурсах за прошедшие периоды, а также экспертных, плановых и косвенных данных. Метод оценки параметров не определяется однозначно и зависит от целей построения функции, OCOбенностей моделируемого процесса и исходных данных. Примерамн могут служить методы наименьших квадратов, наименьших модулей и т. д. Подробнее общая схема спецификации параметров изложена в гл. 2. Интерпретация параметров, в свою очередь, зависит от метода их оценки. Часто для интерпретации полученных параметров привлекаются их выражения через значения показателей у, х,,..., X, И значения частных производных гв

1.2.2. Экономическое содержание производственной функции.

Итак, производственная функция является SKOHOMIKO статистической моделью процесса производства продукции в данной экономической системе и выражает устойчивуго, закономерную количественную зависимость между’ объемными показателями ресурсов и выпуска.

Существуют ли, однако, основания говорить о наличии такой связи для любых производственных систем? Рассмотрим этот вопрос, опираясь на анализ фундаментальных свойств производственных процессов, данный в трудах К. Маркса и Ф. Энгельса.

Основными элементами процесса производства являются, как известно, труд как сознательная целенаправленная деятельность человека, предметы труда и средства труда. Количество и качество произведенной продукции определяются количеством и структурой этих факторов, а также способом организации их взаимодействия. «Если рассматривать весь ‘процесс с точки зрения его результата — продукта, то и средство труда и предмет труда оба выступают как средства производства, а самый труд — как производительный труд»,— писал К. Маркс, [1, т.1,с. 192]. Следовательно, на качественном уровне описания производственного процесса совокупность его факторов вполне определена, является исчерпывающей и не зависит от того, какая производственная система рассматривается.

Переходя к более подробному анализу, в составе предметов труда выделяют сырье, материалы, полуфабрикаты и комплектующие изделия — все те элементы, которые. впос-

ледствии войдут в изготавливаемую продукцию. Средства труда, в свою очередь, подразделяются на орудия труда (оборудование, машины, двигатели, инструменты и приспособления ит. д.), здания и сооружения, средства коммуникаHHH и транспорта. Неоднородным по своему составу является и сам труд: в составе работающих различают отдельные профессионально-квалификационные группы рабочих и служащих.

Выпускаемая продукция, как правило, также неоднородна как по функциональным характеристикам, так и по способу производства. За определенный период времени (в большинстве случаев в качестве периода берется год) данная производственная система производит и реализует потребителям продукцию различной номенклатуры, используя при этом трудовые ресурсы, . предметы и средства труда определенного объема и структуры.

Производственный процесс в первичном звене управления — производственном объединении (предприятии) — осуществляется на основе.определенной технологии, т. е. совокупности приемов и способов переработки сырья, MaTepHалов, полуфабрикатов в готовую продукцию. Сведения о технологин производственногс процесса содержатся в технологической документации.

Понятие технологии в узком смысле этого слова (элементарной технологии) относится к производству одного изделия (или продукта) определенного вида. Современное производство в подавляющем большинстве случаев многономенклатурно и реализует одновременно множество различных технологий. При этом появляются возможности комбинирования и сочетания технологий, различного распределения ресурсов между отдельными технологиями и подобъектами, что значительно ослабляет жесткость зависимости между ресурсами и выпуском продукции.

Реально существующий способ производства определяется, с одной стороны, стремлением к оптимальному сочетанию технологий, с другой — ограниченными возможностями по обеспечению ресурсами и их размещению. Ограннчения последнего рода связаны со сложившимися тенденциями в развитии предприятия, размерами производственных площадей, квалификационным составом работников, а также с чисто экономическими ограничениями по таким показателям, как срок окупаемости капитальных вложений, материалоемкость продукции и т. д. По существу ограничения в применении технологий вызваны двумя основными причинами: невозможностью за короткий срок изменить состав и структуру производственных ресурсов и условиями,

налагаемыми внешней средой (народнохозяйственные требования).

Если речь идет об описании производственного процесса в течение длительного промежутка времени, то ограничения, связанные с превращаемостью ресурсов, ослабевают, и в качестве основного фактора, определяющего выпуск (наряду с составом и количеством ресурсов) выступают экономические ограничения народнохозяйственного уровня.

Подобно тому как понятие технологии производства H3делия расширяется до понятия технологии многономенклатурного производства, естественный смысл приобретает и понятие технологии применительно к более крупным экономическим системам — промышленным объединениям, отраслям и регионам. В этом случае количество технологических способов, естественно, возрастает. Соответственно все большую роль начинают играть организационно-экономические аспекты, налагающие ограничения на возможности реализации оптимального сочетания отдельных элементарных технологий.

В итоге получаем следующий вывод: если известны колнчество и состав производственных ресурсов, технологических способов и организационно-экономические ограничения, то на основании этих данных можно определить объем н структуру выпуска. Совместно с организационно-экономическими ограничениями внешнего порядка технология, таким образом, задает отображение, которое определено на множестве всевозможных комбинаций исходных ресурсов и ставит в соответствие каждому набору ресурсов продукцию, которую можно произвести с их помощью на основе данной технологии. |

Рассмотрим кратко вопрос об устойчивости технологии. В реальной производственной деятельности экономических систем технология проявляет лишь относительную стабильность. Постоянно совершенствуются орудия труда, появляются новые виды материалов, повышается квалификация работников, все шире внедряются в произзодство достижения науки. Влияние научно-технического прогресса приводит к тому, что устаревшие элементарные технологии постепенно заменяются другими, более совершенными. Вместе с тем производственные процессы в целом обладают некоторыми устойчивыми характеристиками.

Каждая экономическая система предназначена для удовлетворения потребности народного хозяйства в продукции определенного назначения. Несмотря на огромное количество позиций в списке номенклатуры изделий промышленности, их функциональные качества позволяют сформи-

ровать группы продукции, которые соответствуют относи тельно устойчивым функциям изделий и товаров и являютс! стабильными в течение длительного промежутка времени Эти группы отражены в Общесоюзном классификаторе про мышленной и сельскохозяйственной продукции (ОКП) Принадлежность основной продукции, выпускаемой дан: ной экономической системой, к определенным классифика: ционным группам служит достаточно устойчивой характе; ристикой данного хозяйственного объекта и меняется толь. ко при коренном изменении его функций. |

Подобным образом относительно устойчивы и группы сырья, материалов и оборудования, используемые в производстве. Используя групповые характеристики ресурсов и продукции, можно говорить о групповой (агрегированной). технологии — способе переработки групп сырья, материалов, полуфабрикатов в готовую продукцию заданных функциональных групп. Такая технология описывает взаимодействие ресурсов уже не на уровне отдельных видов оборудования, оснастки, материалов и работников, а на уровне обобщенных агрегированных показателей затрат ресурсов. Построение таких показателей (кроме трудовых) опирается в основном на стоимостные категории.

На уровне агрегированных показателей результат производственного процесса, как и прежде, определяется агрегированной технологией, размерами групп ресурсов, а также организационно-экономическими ограничениями. Рассматривая совместно агрегированную технологию и организационно-экономические ограничения, будем говорить 06 агрегированной экономической технологии.

Техническое развитие предприятий, связанное в том числе и с изменением элементарных технологий, — процесс непрерывный. Однако обычно доля заменяемых технологий не слишком велика, поэтому, чем крупнее экономическая система и чем выше уровень агрегирования показателей, тем слабее сказывается этот процесс на агрегированной экономической технологии. Кроме того, для более крупных систем более важную роль играют внешние организационно-экономические условия и ограничения. В целом отсюда можно сделать вывод, что устойчивость агрегированной экономической технологии тем выше, чем выше уровень агрегирования и чем более крупная система рассматривается.

В некоторых системах изменение технологии носит вполне определенный, планомерный и направленный характер, причем доля заменяемых технологических процессов столь велика, что оказывает существенное влияние и на агрегированную экономическую технологию. В этом случае имеет

иысл говорить о технологическом дрейфе как о форме динаики агрегированной экономической технологии. Наконец, озможна ситуация, когда за короткий срок происходит ‘оренная перестройка технологии, находящая отражение на сех уровнях ее описания. В этом случае говорят о техноло- ‘ическом скачке. Как правило, такой скачок сопровождаетя существенным изменением номенклатуры выпускаемой продукции и состава используемых ресурсов.

Следовательно, по отношению к агрегированной эконоиической технологии каждая экономическая система в заканном промежутке времени может быть либо относительно стабильной (наиболее распространенный случай), либо находиться в состоянии технологического дрейфа, либо пре- `герпевать один или несколько технологических скачков. Поскольку производственная функция предназначена для отражения определенной агрегированной экономической технологии, в последнем случае период моделирования целесообразно изменить так, чтобы он не содержал технологических скачков. В случае устойчивого технологического дрейфа можно условно также рассматривать агрегированную экономическую технологию как постоянную, если ввести дополнительную переменную, отражающую действие факторов возникновения технологического скачка. В простейшем случае в качестве такой переменной берется номер периода. Иногда дрейфующую или скачкообразно изменяющуюся технологию условно рассматривают как постоянную, вводя в число факторов дополнительную переменную, которая отражает факторы смены технологий. В простейшем случае такой переменной является время (точнее, номер периода). |

Вопрос об устойчивости агрегированной экономической технологии связан не только со стабильностью состава и интенсивности применяемой технологии, но и с неизменностью показателей, используемых для измерения ресурсов и выпуска. Для устойчивости технологии на заданном промежутке времени необходимо, чтобы в этот период показатели ресурсов и выпуска либо оставались неизменными, либо менялись согласованно.

Наиболее высокий уровень агрегирования показателей при описании технологии достигается, если весь произведенный продукт измеряется единым объемным показателем (например, стоимостью товарной продукции). Измерение выхода производственного процесса одним числом определяет и способ измерения входа системы. В качестве категорий того же уровня, что и категория «товарная продукция» К. Маркс называет средства труда, предметы труда и сам

труд. Максимально агрегированная объемная оценка произведенного продукта обусловливает столь же агрегированное измерение объемов труда, его средств и предметов. Если такая оценка произведена, то объем выпуска будет находиться в достаточно определенных соотношениях с объ. емами входных ресурсов. «Требуется определенная масса рабочей силы, представленная определенным числом рабочих, чтобы произвести определенную массу продукта... и, следовательно... привести в движение, потребить производительно определенную массу средств производства, машин, сырья ит. д.»,— писал К. Маркс {1, т. 3, с. 157).

Наивысшая степень агрегирования показателей ресурсов достигается, если все производственные ресурсы характеризуются двумя показателями, отражающими количество овеществленного (прошлого): и-живого труда. Овеществленный труд характеризуется ‘показателем «производственные фонды», в качестве показателя живого труда используется один из показателей численности работников. Однако, поскольку характер участия средств и предметов труда в производственном процессе совершенно различен, их измерение с помощью одного суммарного показателя целесообразно, как правило, только для крупномасштабных производственных систем, таких, как крупная отрасль, регион, народное хозяйство в целом.

Таким образом, анализ «простых моментов» процесса производства приводит к выводу о существовании объективной связи между объемом выпуска продукции и размерами затраченных при этом труда, его средств и предметов. Эта связь, отмеченная в трудах К. Маркса, является характерной и относительно устойчивой для экономических систем любого уровня, технология производства в которых не претерпевает существенных скачков. Отражение и количественное определение этой связи и составляет экономическое содержание понятия производственной функции.

4.2.3, Системный анализ производственной функции

Средства труда и предметы труда по-разному участвуют в производстве продукции. Если первые переносят свою стоимость на продукт в течение длительного периода, то вторые входят непосредственно в состав готовой продукции и переносят свою стоимость на продукт в течение одного производственного цикла.

Показатели, размерности которых имеют вид «количество в единицу времени», характеризуют материальные, фи-

ансовые и другие потоки в соответствующую единицу вре-

ени. Показатели, полученные суммированием (или, если ремя считается непрерывным, интегрированием) потокоых показателей за период, характеризуют залас соответтвующего вида. На практике потоки и запасы рассматриаются по отношению к конкретной хозяйственной системе, ричем потоки определяются на входе и на выходе системы, | запас — как разность между суммарным (интегральным) IOTOKOM на входе и на выходе системы. Связь между покаателями запаса и потока аналогична связи между опредетенным интегралом некоторой функции от времени н самой рункцией.

Основным результатом (выходом) производственной сн- ‘темы является готовая продукция. Она измеряется с помощью различных потоковых показателей. Те компоненты средств производства, которые потребляются в одном производственном цикле и входят в состав готовой продукции, гакже измеряются потоковыми показателями. Например, затраты сырья, материалов, энергии измеряются количеством в единицу времени — год, квартал, месяц. Напротив, ресурсы, относящиеся к основным фондам, оцениваются показателями типа «запас» (на определенную дату или в среднем за период).

Показатели потока ресурсов характеризуют в первую очередь взаимоотношения производственной системы с окружающей средой, показатели запасов характеризуют собственное состояние системы. Эти группы показателей не являются независимыми: потоки ресурсов, поступающие на предприятие, увеличивают его запасы. Так, поток сырья и материалов позволяет создать их запас для бесперебойного хода производства. Потоки ресурсов, поступающие на предприятие, обычно участвуют в производстве лишь пройдя стадию запаса. При этом переход конкретного предмета из «потока» в «запас» происходит не мгновенно, а в течение некоторого периода времени, затрачиваемого на разгрузку, складирование, установку ит. п. Таким образом, общий процесс производства можно представлять как совокупность двух процессов: формирования запаса средств труда, предметов труда и трудовых ресурсов и переработки их в готовую продукцию (рис. 1.1).

При этом вход системы характеризуют показатели типа «поток», состояние — показатели типа «запас», показатель выхода системы — объем выпуска продукции в стоимостном выражении за год — также типа «поток».

Какая же роль в системном описании производственного объекта отводится производственной функции? В основе по-

Сырье

Материалы

| | iy Оборотные

Знергия средства

Основные фонды ПП ЯН Готовая

продукция

ПромышленноВвод и | _ производственный реконструкция | | персонал основных фондоо |

Финансирование ~ 4

Прирост трудовых ресурсов

ый Рис. 1.1

нятия производственной функции лежит, как указано в [18], представление об изучаемом экономическом объекте как об открытой динамической системе, выходом которой является производимая продукция, а входом — затраты различных видов ресурсов производства. Согласно [18] производственная функция «выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами» такой системы. На наш взгляд, такое понимание производственной функции чрезмерно широко. В теории динамических систем отображение «вход-выход», для моделирования которого согласно [18] предназначена производственная функция, обычно рассматривается как композиция отображения перехода и выходного отображения {28}. Именно в декомпозиции отображения «вход-выход» заключается смысл введения понятия «состояния» системы. Поскольку, как видно из изложенного выше, процесс функционирования системы по своему содержанию распадается на два процесса — формирование запасов и непосредственно производство готовой продукции, его моделирование целесообразно проводить на основе концепции автомата, с декомпозицией отображения «вход-выход» на переходное и выходное. Производственной функции в этой концепции отводится место выходного отображения, которое определено на множестве состояний, а принимает значения в множестве выходов.

Вопрос о числе и составе аргументов производственной функции сводится, следовательно, к вопросу о показателях, характеризующих состояние производственной системы. Определяющими для состояния таких систем в общем слу-

чае являются запасы средств труда, предметов труда и трудовые ресурсы. Объемным показателем средств труда (кроме малоценных и быстроизнашивающихся) является стоимость основных фондов. Объем используемых предметов труда характеризуется двумя основными показателями — стоимостью оборотных фондов и размером оборотных средств. Первый из них, однако, не полностью характернзует состояние системы с точки зрения влияния на объем выпуска, поскольку не полностыо отражает наличие достаточных финансовых ресурсов для хозяйственной деятельности. Поэтому в качестве основного показателя предметов труда в системе аргументов производственной функции используется не стоимость оборотных фондов, а более объемный показатель размера оборотных средств (см. также [45]. Размеры трудовых ресурсов наиболее часто оцениваются с помощью показателя численности работников или промышленно-производственного персонала.

Указанный набор показателей является базисным для аргументов производственной функции. Это не исключает того, что в условиях функционирования конкретной системы производственную функцию следует строить исходя из особого списка аргументов. Если деятельность системы протекает в условиях непропорционального развития и ресурсы какого-либо вида в течение длительного периода дефицитны, то объем дефицитного ресурса может быть включен в число аргументов производственной функции непосредственно. Таким ресурсом может стать оборудование определенной группы, вид дефицитного сырья или численность работающих данной квалификации. Условиями для этого являются: а) затруднительность или невозможность в рамках существующей технологии замены данного вида ресурсов другим; 6) длительная нехватка этого ресурса для нормальной работы системы.

На рис. 1.1 пространство состояний производственной системы представлено тремя показателями и может рассматриваться, следовательно, как часть трехмерного пространства ЮЗ. Однако это не означает еще, что размерность множества состояний равна трем. Возможно, что эти показатели для конкретной системы лринимают не произвольные, а лишь вполне определенные значения, например показатель численности работников может однозначно определять остальные два показателя. Множество значений, которые могут принимать аргументы производственной функции, называется областью ее определения. Одновременно это множество является множеством значений показателей состояния системы. Его конфигурация и объем зависят от того, каким

образом организованы материально-техническое снабжение, финансирование и прирост трудовых ресурсов в данной экономической системе, а также от способов распределения` ресурсов между подсистемами. Если рассматривается производственная система микроуровня, то диапазон изменения соотношения основных фондов, оборотных. средств и численности, как правило, невелик. В предельном случае, когда рассматривается рабочее место, соотношение между. этими показателями строго определено техническими .нор-

мами. Здесь область определения производственной функции по существу одномерна: зная один из. показателей состояния, мы можем определить остальные. С ростом масштабов производства растет и допуск в соотношениях между рассматриваемыми показателями, увеличивается размерность множества состояний. Для численного определения размерности пространства факторов можно использовать, напри-. мер, метод главных компонент [25]. :

1.2.4. Математико-статистические свойства производственной функции

Слособ построения ПФ (как и многих других экономикоматематических моделей) в самых общих ‘чертах состоит в следующем: из ряда «пробных» функций выбирают такую, характеристики и поведение которой в наибольшей степени согласуются с имеющейся статистической и другой информацией о технологии и протекании производственного процесса в прошлом и будущем.

Процесс выбора обычно разбивается на ряд дискретных шагов, на каждом из которых текущая «пробная» функция (или группа их) сравнивается с пробной функцией (или группой) одного или нескольких предшествующих шагов. На основе результатов этого сравнения формируется новая пробная функция (группа), лучше соответствующая ‘имеющейся информации о моделируемом процессе. Вычисления заканчиваются, если информация, полученная в результате сравнения, не позволяет найти новую группу функций, отличную от найденной ранее.

Такой процесс построения производственной функции указывает на ее аппроксимационный характер, отражает последовательное приближение к некоторому объекту. Что же это за объект? В основе процесса аппроксимации при построении ‘производственной функции лежит предположение о существовании некоторой идеальной модели системы, полностью соответствующей поставленным целям. Поэтому для формального определения понятия производствен-

ной функции нам надлежит, во-первых, определить объект аппроксимации как математическую конструкцию, являющуюся моделью реальной хозяйственной системы, во-вторых, формализовать задачу аппроксимации этой модели на основе имеющихся статистических и других данных.

Первая часть этой программы реализуется в п. 1.2.5, вторая излагается ниже. |

Схема любой аппроксимационной задачи (AS) включает в себя: а) подлежащий аппроксимации математический объект а; 6) множество Ё математических объектов, являющихся средствами аппроксимации; в) правило р сравнения элементов множества Ё по их близости к объекту аппроксимации; г) вычислительную процедуру V поиска среди элементов множества £ таких, которые согласно правилу р наилучшим образом аппроксимируют а:

AS = <a, Е, р, V>. (1.1)

Рассмотрим подробнее эти четыре компонента аппроксимационной схемы. Элемент @ и элементы множества Е могут иметь, вообще говоря, произвольную математическую природу, однако обычно это объекты одного типа. Объект а задается, как правило, неявным образом — через его свойства или характеристики. Естественно, что в такой ситуации возникает вопрос. о существовании элемента с заданными свойствами и характеристиками. Решается этот вопрос по-разному, в некоторых случаях удается обосновать его существование теоретически, однако чаще удается доказать, что в рассматриваемом классе такого объекта нет (например, если а — решение задачи линейного программирования с несовместными ограничениями). В этой ситуации постановка аппроксимационной задачи должна быть пересмотрена.

При поиске элемента множества ЕЁ, который бы наилучшим образом аппроксимировал элемент а, необходимо иметь возможность сравнивать два пробных элемента в ие, С Е по их близости к а и определять, какой из них ближе. Это значит, что на множестве Е должно быть задано бинарное отношение р, т. е. подмножество тех пар (1, е.} € Е, для которого известно, что е, не дальше OT а, чем ео. (Эта CHTyaция записывается либо как (е, г.) Е р, либо как ере..) Цель аппроксимации состоит в отыскании такого элемента

а ae Е, что a) apa и 6) He существует элемента е == а из Е, для которого ера. О |

Элемент а с такими свойствами назовем экстремальным

— относительно р (обозначение: @ = extr 0). 25

Таким образом, аппроксимационная задача обычно считается решенной, если найден хотя бы один экстремальный элемент отношения д.

Отношение р может служить базой для направленного поиска экстремальных элементов, если оно транзитивно: (т.е. если ере’ и е’ре", то epe”) и квазирефлексивно (т. е. если для данного элемента е С Е существует такой элемент е' ЕЁ, что epe’, то epe). Смысл последнего условия в следующем. На практике в качестве множества Е часто первоначально берется более широкое, чем это необходимо для аппроксимации конкретного элемента а, множество, которое затем поэтапно сужается. Поэтому не всякий элемент еЕЕ может служить средством аппроксимации элемента а, поэтому не всегда epé; однако если е допускает сравнение по близости к а хотя бы с одним другим элементом =’ ЕЁ, то он и сам включается в число «кандидатов» на роль экстремального элемента отношения р. Бинарное отношенйе, обладающее этими свойствами, называется квазипорядком.

Выражение правила сравнения близости элементов через бинарное отношение является весьма общим. Более частное описание качества аппроксимации может быть получено с помощью критерия аппроксимации — числовой функции на множестве Е, которая каждому элементу e € Е ставит в соответствие число, характеризующее степень близости е ка. Этот способ допускает выражение на языке бинарных отношений: достаточно считать, что элементы г, ие, из E находятся в отношении р, если значение критерия аппроксимации для элемента €, не больше, чем для элемента е›. Такое отношение называется критериальным.

Большинство современных методов решения задач оптимизации основаны на построении последовательности точек (или групп точек) из множества Ё, один из следующих членов которой ближе к оптимальной точке, чем данный. Переход от одной точки к другой осуществляется с помощью функции поиска V1, представлятощей собой отображение А-й степени множества Е в себя: для группы точек

es), .. ., en, полученных на 1-Й итерации, строится группа точек v, (2), ..., ef) = (et), ..., eff). Вторым основным элементом вычислительного процесса является правило остановки Uz: E Х ... Х Е + В!. Вычислительный процесс И

Ё pag | заканчивается, как только |v, (е(+П, е ГРИ) — — 9, (ef, ..., eb) | <в, где в — заданное число. Таким

образом,

У=<и::Ех...ХЕ-Ех...ХБ, %:ЕхХ...ХЕ-» В>>. (1.2)

—.— & раз k раз k pag

Разумеется, подобное обобщенное описание вычислительного алгоритма отражает лишь основные его черты. Тем не менее такой подход, реализованный в [50], позволил единообразным способом описать большинство существующих алгоритмов.

Важно отметить, что в результате применения вычислительной процедуры И мы сравнительно редко получаем ис-

комую точку а = extr р; обычно находится лишь одна или Е

несколько точек, которые в каком-то смысле близки к а. Мера этой близости, не связана с отношением р, а формируется с учетом особенностей вычислительного процесса. Таким образом, аппроксимационная схема имеет следующую структуру:

AS = <a, Б, p, V>,

где а — точка; Е — множество; р < Е x Е — отношение квазипорядка на Е; У =< и, и,>-- совокупность функции поиска yy: Ех... X Е > Ех... х Е и правила остановки Ue: ЕХ... Х Е + К'. Примеры аппроксимационных схем можно найти в [30].

Изложенная схема аппроксимационной задачи отражает основные черты процесса построения любой экономикостатистической модели, в том числе и ‘производственной функции. В ходе дальнейшего изложения мы будем конкретизировать отдельные компоненты а, Е, р, У схемы AS для производственной функции, рассматривая возможности и последствия выбора того или иного компонента и их совокупности. Начнем с объекта аппроксимации а.

1.2.5. Агрегированная экономическая технология

Согласно общему понятию производственной функции ее аргументы отражают объемы’ имеющихся в системе основных ресурсов, значения — объем выпуска, а сама функция — процесс преобразования этих ресурсов в продукцию. Характер и особенности этого процесса определяются, как ука-

‚зано выше, множеством технологических способов и организационно-экономическими ограничениями на их реализацию.

На уровне высокоагрегированных показателей, когда ресурсы измеря!отся объемами основных и оборотных фон-

дов, численностью промышленно-производственного пер-. сонала (ППП), а выпуск — одним стоимостным показателем, технологические возможности и ограничения отража-‹ ются в понятии агрегированной экономической технологии. Мы будем использовать это понятие также для обозначения математического объекта, представляющего собой гипоте- | тическую полностью адекватную (точную) модель произ-. водственного процесса на избранном уровне описания. Именно агрегированная экономическая технология служит объектом аппроксимации в аппроксимационной схеме построения производственной функции. Ниже дается формальное описание агрегированной экономической технологии.

Обозначим через res физический набор ресурсов производства, которые в течение года проходят состояние «за-

пас». Эти ресурсы состоят из накопленных ранее в системе,

а также поступивших на вход системы и прошедших. состоя" ние «запас» в данном периоде. Множество всех ВОЗМОЖНЫХ | таких наборов ресурсов обозначим через Res. 5

Организация производственного процесса обеспечивает с помощью имеющегося запаса ресурсов выпуск продукции определенного объема и структуры. Обозначим ‚через. -prod каждый такой комплект продукции, выпускаемый за период, и через Prod = {prod} — множество всех возможных таких наборов.

Теперь производственная деятельность системы, точнее, присущие ей технологические и технико-экономические особенности могут быть представлены с помощью отображения

II : Res —> Prod, (1.3)

которое каждому набору ресурсов res Е Кез ставит в COOTветствие комплект выпуска II (res) = prod Е Prod.

Каждый набор ресурсов res Е Res и комплект продуктов prod Е Prod допускает количественную оценку с помощью системы натуральных и стоимостных экономико-статистических показателей. Эти показатели характеризуют состав, движение и использование ресурсов, а также объем и структуру выпускаемой продукции.

Обозначим через и систему показателей количественной оценки запасов средств и предметов труда, а также. трудовых ресурсов. Каждому набору ресурсов res Е Кез с помощью системы показателей р, ставится в соответствие л-мерный вектор иЕ К", где п — число позиций в списке ресурсов. Эти показатели строятся на основе существующих методов учета трудовых ресурсов и товарно-материальных ценностей, системы цен на производственные ресурсы и методов агрегирования показателей. Каждая координата и;

вектора и = ц {res) выражает меру имеющегося количества ресурсов соответствующего вида, а число п — количество видов ресурсов. Множество значений отображения ий в п-мерном пространстве К” обозначим через D. Аналогично пусть v — показатель оценки объема выпускаемой продукции, который каждому комплекту продуктов prod Е Prod ставит в соответствие число v (prod) Е А}, выражающее его объемную (чаще стоимостную) оценку. Обычно показатели ресурсов и и выпуска Vv согласуются друг с другом таким образом, что производственный про- ‘цесс допускает описание в виде отображения т множества р (Res) < А” в множество v (Prod) =.Ю*. Иными словами, существует отображение т: D — А*, которое каждому вектору и = в (res), выражающему оценку ресурсов res, ставит в соответствие оценку продукции, полученной с помощыьо этих ресурсов: т (и) = v (II (res)). Таким образом, отображение т должно удовлетворять условию

wot = По, (1.4)

`Приведенное соотношение и служит формальным определением агрегированной экономической технологии. Множество D, являющееся областью значений показателя |, будем называть также областью определения агрегированной экономической технологии T.

Отношение между отображениями ц, v, II, т можно иллюстрировать с помощью диаграммы

D->R

te п №.

Res—Prod Диаграмма такого вида называется коммутативной, если выполнено условие (1.4). Если трактовать стрелки на диаграмме как указатели движения элемента гез из множества ресурсов Res, то из левого нижнего угла в правый верхний угол можно добраться двумя путями — через множество О (при этом элемент Tes Е Res переходит в число т (и (Res))) и через множество Prod (res € Res переходит ву ([(гез)}). Условие коммутатйвности диаграммы означает, что оба эти пути равносильны: т (и (res)) = т (II {res)) для любого набора ресурсов res Е Res. Именно это условие и выражает тот факт, что отображение т моделирует отображение II.

Появление коммутативной диаграммы в данном контексте является естественным, поскольку связано с формализацией основных понятий ‚математического моделирования. Как известно, в основе понятия математической модели

лежит [22] понятие гомоморфизма — отображения моделируемого объекта в его модель, при котором связи между элементами или характеристиками объекта определенным образом соответствуют связям между элементами или характеристиками модели.

В чем смысл введения понятия агрегированной экономической технологии т и чем оно отличается от понятия производственной функции? Агрегированная экономическая технология, если она существует, является полностью адекватной на избранном уровне описания математической моделью процесса. Именно эта функция служит объектом и целью аппроксимации, осуществляемой с помощью производственной функции. Таким образом, если t — «идеальная» модель производственного процесса, то производственная функция — его грубое, приближенное описание.

Рассмотрим вопрос о существовании экономической тех-. нологии данного уровня агрегирования, т. e. ‘разрешимости уравнения (1.4) относительно т при заданных ц, v, I. Несмотря на то что в наблюдавшихся в момент # точках x (f) = в (res (2)) функция т всегда определена, на всем MHOжестве D она может и не существовать! Причина состоит в том, что отображение р, как правило, не взаимно однозначно. Это означает, что одну и ту же объемно-стоимостную оценку х € D могут получить два разных набора ресурсов res = res’ € Res. При этом, чем выше уровень агрегирова-. ния (и соответственно ниже размерность пространства К", в котором лежит множество D = p (Res)), тем «большее» число наборов ресурсов получает одну и ту же оценку. Некоторые из этих эквивалентных по стоимости, но различных по структуре ресурсов могут перейти в совершенно различные по составу комплекты выпуска. Для того чтобы функция т существовала, нужно, чтобы стоимости всех полученных таким образом и различных комплектов выпуска были равны. Это, конечно, бывает не всегда. Если бы отображение и было однозначным в обе стороны и для него существовало бы обратное отображение p.—', то при любом уровне и способе агрегирования можно было бы гарантировать существование т, полагая т (x) = v (II (ц-')). —

Таким образом, мы видим, что условие существования экономической технологии при данном уровне и способе агрегирования предъявляет довольно сильные требования к согласованности систем показателей оценки ресурсов в и оценки продукции у. Ниже приводятся примеры различных ситуаций, когда от показателей п, у зависит существование агрегированной технологии.

Предположим временно, что производственный процесс II состоит в преобразовании неотрицательного г-мерного вектора uw: (tt, -.., up) Е К’ в неотрицательный т-мерный вектор ш = (@4,..., Wy) Е В" и описывается моделью линейного программирования:

7 Маш; и, =... г, fH, j=l

w; 20;

> C;w;—> тах.

{= Интерпретация стандартная: uy, ..., и; — запасы ресурсов каждого из Г видов, @), .... Wy — количества изделий кажROTO из Mm видов, а;; >0 — нормы затрат f-ro ресурса на единицу /-го продукта, с; — цена единицы ]-го изделия. [10скольку производство каждого из продуктов требует использования хотя бы одного из ресурсов, в матрице (а; нет нулевых столбцов. Это гарантирует существование конечного оптимального решения при любом неотрицательном векторе и Е Аг. В случае, когда при данном и решение не единственно, зафиксируем какое-либо их них. Таким 06разом, II (и) = w*, где w* — оптимальное решение задачи линейного программирования.

Рассмотрим некоторые конкретные ситуации, в которых удается обосновать или отвергнуть предположение о существовании агрегированной экономической технологии т как функции от я переменных, удовлетворяющей условию (1.4).

1. Пусть vi Ат — К. — произвольная фиксированная линейная оценка объема продукции, причем v (0) = 0, p: RE —>АЮ1 — произвольная фиксированная линейная оценка ресурсов вида

р (tay sory Ш) = (фиш +... 4 бишь, es Ge aay yet + +... + ам),

где d,, ..., а, — неотрицательные константы. Предположим, что а; > 0 при {=1, ..., г, f=, .., т. Если при этих условиях п < г, то технологии т не существует. Действительно, заметим, что если какая-либо из величин ил...., Up равна нулю, то ввиду неравенства а;; > 0 единственным допустимым, а следовательно, и оптимальным решением задачи линейного программирования будет нулевое. Поэтому при и, =0, 1 <k <r, должно выполняться равенство t (№ (ty, ..., и;)} = 0. Однако в этом случае функция т рав-

. 31

на нулю тождественно, поскольку для каждого вектора х =

= (би, + et Чи, ..., а, ПШ + 1+1 +. + d;U,), где иЕ Ri, можно подобрать такой вектор wu’ € А",

что и a’) =p (u) = x и хотя бы одна из координат in равна нулю. Это делается, например, так. Если в каждой из п групп коэффициентов а, ty ... dp, отличен от нуля

только один коэффициент, то некоторые координаты вектора и не входят в запись вектора х и могут быть положены равными нулю. Если же существует группа 4+1, ...,

d,,, В которой отличны от нуля по крайней мере два ee скажем, dy, 41 И ds, |+» TO можно M0J10-

ЖИТЬ и, = 0, Ur, +2 — (Wd, +) (Gr, +1 Ur, wat + dr +e ins +2}, оставив остальные координаты вектора # неизменными. “Таким образом, функция т ==0 на множестве

= р (Ю*.), в то время как Пьем == 0 при с 52 0. `

2. Предположим, что первые две строки, матрицы (a; ;)° пропорциональны: a,; = аа, j= 1, ..., т. Пусть n= =г— 1, v: RX +R, — произвольная заданная оценка объема выпуска, и: К\ А" — оценка ресурсов вида р (ил, ..., Up) = (Min (uy, dug), из, ..., Up). В этой ситуации п — ракторная технология т существует и может ‘быть задана на множестве D = р (В) следующим образом. Для x = (min (ил, dug, из,... Up) положимт (x) = м (w*), где" — решение задачи линейного программирования:

У, ау; Хь [= 1, 3, 4,..., Г, j= rer т, Ш; 20;

Dd) си; тах.

j=) Легко видеть, что так определенная функция < удовлетворяет условию pot = ПНо\.

3. Заметим, что для любой матрицы (а;;) при подходящих |, м существует однофакторная технология. В самом деле, обозначим через л* решение задачи линейного программирования:

г У ла: Sey, ]=1,...,т, [=1,...7; m0;

i=]

Г Ушл,— min, i=1 являощейся двойственной для исходной модели, и положим

и (и) = у лриь V(w) = У сушу, т(х) ==, хЕК!.

i=1 j=l 32

Тогда

(et) (= У лещ У вл, = УП (6).

i=| j=l

Другие примеры ситуаций, в которых можно подтвердить или опровергнуть существование технологии т, приведены в [30]. В общем случае вопрос о необходимых и достаточных условиях на параметры задачи линейного программирования, обеспечивающих при заданном п и линейных оценках ресурсов и продукции существование п-факторной технологии т, пока открыт.

Из приведенных примеров становится ясным, что существование и свойства агрегированной экономической технологии т зависят от свойств производственного процесса П и системы показателей п, v. Если в конкретном случае, пользуясь информацией о характере производственного процесса и его показателей, можно теоретически доказать, что п-факторной технологии при данном п не существует, то от построения ПФ, аппроксимирующей функцию т, следует, безусловно, отказаться, ибо отсутствует объект аппроксимации.

Наши знания о процессе ограничены, и, следовательно, ограничена информация о свойствах отображения т. При анализе его свойств необходимо учитывать, что оно не тождественно самому производственному процессу и свойства процесса непосредственно на экономическую технологию не переносятся. Вот один из примеров. Обычно считается, что в нормальных условиях при увеличении количества включенных в производство ресурсов выпуск не уменьшается. Иными словами, если набор ресурсов гез включает в себя набор ресурсов res’, то при неизменной технологии выпуск продукции prod = JI (res) включает в себя продукцию prod’ = [I (res’), полученную с помощью ресурсов res’. Однако даже при таком предположении возможны случаи, когда соответствующее технологическое отображение т не будет возрастающим [30]. Наоборот, функция т может быть неубывающей, в то время как процесс П аналогичным свойством не обладает. Впервые, видимо, эти свойства были отмечены в [69].

Разница между производственной функцией и экономической технологией заключается в том, что значения ПФ в любой точке области ee определения мы можем вычислить с любой заданной точностью, а значения функции т можно вычислить лишь в точках, соответствующих наблюдавшимся. значениям ‘ресурсов. Желательная область определения

2 Зак. 1104 33

производственной функции зависит от целей построения этой функции. Если необходимо знать значения функции во всех точках данной области М, в пространстве А”, то производственная функция должна быть вычислимой в области M,. В зависимости от того, предназначена ли строящаяся функция для кратко-, средне- или долгосрочных прогнозных расчетов или для ретроспективного анализа, предполагается ли ее включить в более широкую экономикоматематическую модель или она будет использоваться автоHOMHO, ее желательная область определения может быть более или менее широкой. Наименьшим возможным вариантом является множество Мнабл, состоящее из точек x (8, отвечающих значениям ресурсов в #-й истекший пернод времени. Производственная функция fyacn, определенная на этом множестве, принимает в точке х (1) Е Мнабл значение у (f) — объем выпуска за 1-й период. Выражением этой функции является таблица значений, принимавшихся показателями ресурсов и выпуска в периоды ЕЁ = 1, ..., Г. Производственная функция [наб» СОВПадает с ограничением OTOбражения т Ha множество М нал. Другой полярный вариант возникает, если необходимо знать значения производственной функции во всех возможных точках множества D — области значений показателя ресурсов. Построение такой производственной функции представляет наибольшую сложность. Возможны разнообразные промежуточные варианты: так, желательная область определения производственной функции может включать, кроме наблюдавшихся, однуединственную точку х (Г + 1), характеризующую ожидаемые ресурсы года 7 - 1. .

1.2.6. Формальное определение производственной функции

К настоящему времени сложилось несколько различных толкований понятия производственной функции. Их можно распределить на два класса соответственно двум направлениям экономико-математических исследований — теоретическому и прикладному. Первое направление ставит своей целью в основном качественный анализ динамики экономических систем. Объектом моделирования здесь в каждом случае служит не конкретная система, а достаточно широкий класс таких систем. Поэтому проблема спецификации параметров практически не рассматривается, а при интерпретации производственной функции и ее характеристик используются лишь общеэкономические категории. Го cyществу производственная функция отождествляется здесь

с агрегированной экономической технологией н носит абстрактный характер.

Главной задачей прикладного направления является разработка методов построения и использования моделей конкретных экономических систем — предприятий, объединений, отраслей и т. п. — на основании статистических, бухгалтерских и других данных. Для этого направления характерно широкое использование математико-статистических методов, и именно ему посвящены главы 1, 2 и 4 данной книги. В рамках этого направления в определении нуждается не абстрактное понятие производственной функции, а- понятие «производственная функция. данного объекта».

Основой для такого определения является понятие аппроксимационной схемы как четверки AS = <a, Е, р, V>, где а — объект аппроксимации; Е— множество алпроксимирующих элементов; р — правило сравнения элементов по близости к а; У — метод отыскания наилучшего такого элемента. В п. 1.2.5 мы определили агрегированную экономическую технологию т. Вместе со своей областью определения Р она и служит объектом аппроксимации для производственной функции: а = (О, т). Заметим, что технология т является индивидуальной характеристикой каждой моделируемой системы. В качестве множества Е берется класс всевозможных вычислимых функций W = {(M, f)}, где М — область определения математической функции f. Это множество не связано непосредственно с объектом моделирования, а отражает, скорее, технические возможности «субъекта моделирования» (например, одна и та же функция может быть вычислимой для исследователя, обладающего программой решения задачи нелинейного программирования большой размерности, и быть невычислимой в противном случае). В качестве отношения р в аппроксимационной схеме для производственной функции в принципе может фигурировать любое бинарное отношение на множестве вычислимых функций W = {(M, f)}, являющееся отношением квазипорядка (см. п. 1.4). Поскольку оно предназначено для сравнения, какая из двух пар функций, (My, }) или (Mag, f,), лучше аппроксимирует функцию“(), т), отношение р должно аккумулировать весьма обширную информацию об особенностях моделируемого объекта, его агрегированной экономической технологии т, а также целях и условиях построения производственной функции *.

* Чтобы подчеркнуть, что при формулировке отношения р используются различные свойства и характеристики т, например ее значения в заданных точках, отношение р записывается с индексом

т: Px.

2* 35

Вычислительный процесс У должен обеспечивать эффективную процедуру поиска наилучшей аппроксимирующей функции. Обычно вместо поиска функций в бесконечномерHOM функциональном пространстве (это является слишком сложной на сегодняшний день задачей) используют параметрические классы функций. Каждая такая функция f вместе с областью определения М однозначно определяется конечным множеством параметров, так что выбор наилучшей функции сводится к выбору наилучшего вектора ее параметров. Поскольку в большинстве случаев близость т и f задается с помощью числового критерия, вычисления сводятся к решению задачи нелинейного математического программирования.

В принципе в качестве метода вычислений У может быть взят любой достаточно эффективный алгоритм. Некоторые специфические черты задач, возникающих именно при оцен-.- ке параметров производственных функций, приведены: в п. 2.5. Выбор У определяется, с одной стороны, отношением р, с другой — арсеналом вычислительных средств, которыми располагает исследователь.

Теперь на основе проведенной конкретизации компонентов общей схемы аппроксимации мы можем сформулировать формальное определение производственной функции данного процесса. Пусть П — производственный процесс, и— система показателей запасов его ресурсов, у — показатель объема выпуска, т — агрегированная экономическая технология, т. е. отображение т: ц (Res) — К’, удовлетворяющее условию wet = lev, № — класс вычислимых функций.

Производственной функцией процесса П с показателями и, vB классе W называется функция /, полученная в результате решения. аппроксимационной задачи

AS = <, М, Px, V>,

где р, — отношение квазипорядка на множестве №; У — вычислительный алгоритм поиска элемента из множества №, являющегося экстремальным для отношения 0х. Производственная функция процесса при заданных п, у, р, У может не существовать (например, если отношение 0; не имеет экстремальных элементов) или быть не единственной (если таких элементов несколько и метод У позволяет их отыскать). Не имеет смысла говорить о производственной функции также в случае, когда уравнение pet = Il ov при заданных и, Пи v не имеет решения относительно т. Если все компоненты определения производственной функции указаны явно, то для того, чтобы убедиться, что

представленная функция является производственной функцией данного процесса, достаточно проверить, что она служит результатом вычислительного. алгоритма У при известных исходных данных.

Согласно данному определению производственная функция является результатом аппроксимации агрегированной экономической технологии т. В свою очередь, пара (D, т} является точной математической моделью производственного процесса II. Таким образом, ПФ расположена как бы «на втором этаже» по отношению к экономической реальности. Строго говоря, объектом, который она моделирует, является не сам производственный процесс II, а его модель т.. Однако отношение моделирования, по-видимому, транзитивно [22], что и дает основания говорить о ПФ как о модели реальной экономической системы.

Классическая схема построения ПФ с помощью оценок коэффициентов состоит из двух этапов. Сначала на основе качественного анализа объекта моделирования и его целей из списка классов математических функций выбирается параметрический класс F = {f (хи, ..., Xn, Gy, ..., ав) }, все элементы которого как функции от Xj, ..., х„ обладают нужными характеристиками поведения (при этом предполагается, что все функции, входящие BF, вычислимы). Таким образом устанавливается «вид производственной функции». Затем функция данного «вида» у = f (x), ..., Xp, Gy, .... ак) рассматривается как регрессионное уравнение, оценки параметров

а, ..., @к которого находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений значений функции f (x, а) в наблюдавшихся точках х (1, f= 1, ..., T, от наблюдавшихся значений y (ft), f= 1, ..., Г:

T |

DY (4) —F (x (4), а)? > min. (1.5)

t=1

В случае, когда функция f линейна по параметрам или —

сводится к такой, отыскание, значений а, минимизирующих сумму квадратов отклонений (1.5), сводится к решению системы линейных уравнений.

Покажем, что эта схема полностью укладывается в приведенное выше определение производственной функции. В общей схеме аппроксимационной задачи AS =<a, E, p, У>> отношение р является отношением квазипорядка. Значит, оно представимо как пересечение ф (| ф некоторого отношения принадлежности ф и отношения предпорядка Wp на Е (бинарное отношение фс: ЕХ F называется отноше-

нием принадлежности, если ф = E' Х ЁЕ', где Е’ — некоторое подмножество в Е; бинарное отношение WC EXE называется отношением предпорядка, если оно транзитивHO и (е, е) € p для любогоеЕ Е). Отношение р является ограничением некоторого отношения предпорядка на лодмно-.

жество Е’ < Е 130, 55]. Экстремальный элемент а =extr р | Е

всегда принадлежит множеству Е’. Поэтому его поиск можно осуществлять в два этапа: сначала множество Е сужается до некоторого (однозначно определенного отношением р) множества Е”, а затем экстремальный элемент отыскивается уже внутри множества Е”. В применении к построению производственной функции данного процесса это означает, что отношение ©; может быть также”задано как ограничение предпорядка на некоторое подмножество F класса всех вычислимых функций W, р. = @, П p,. Производственная функция, аппроксимирующая отображение т, отыскивается непосредственно в этом классе.

Информация 06 экономико-технологической функции т используется, во-первых, при выборе класса функций Ри отношения ф; = F X F (как правило, при этом используются качественные данные) и при формировании отношения ^р; (значения т в-точках множества Днабл}. При этом в классической схеме из двух функций f, (x) = f (x, а) ЕЁ и р =} (х, а) ЕЁ ближе к т считается Ta, у которой сумма квадратов отклонений значений от наблюдавшихся меньше. Это правило задает отношение 1, на множестве всех вычислимых функций, у которых естественная область определения содержит положительный ортант:

"т хе < <3 (f(x) —y coy

rs)

в = {fi БЕХ WIRE F, fo€ FF}; р = Or Пт.

1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1.3.1. Характеристики производственных процессов

Построение, анализ и использование производственной функции основаны на отражении в ее характеристиках и параметрах характерных особенностей производства. По-

ЗА

скольку производственная функция строится как аппроксимация- экономической технологии, характеристики последней служат промежуточным звеном между характеристиками моделируемого процесса и производственной функции. При этом информация о данном производственном процессе, выраженная большей частью в форме словесного описания, должна быть переведена на язык описания математических свойств технологической функции, а те, в свою очередь, в совокупность количественных критериев, которым должны удовлетворять характеристики производственной функции.

Рассмотрим показатели и Характеристики производственного процесса, его агрегированной экономической технологии и производственной функции.

Основными элементами процесса производства на предприятни, в объединении, отрасли являются: выпускаемая продукция, затрачиваемые ресурсы, а также технология и организация производственного процесса. Каждый из этих элементов характеризуется показателями объема, структуры (номенклатуры) и качества (уровня).

Основой показателей структуры выпуска продукции в настоящее время является Общесоюзный классификатор промышленной и сельскохозяйственной продукции, в котором определена и закодирована номенклатура всех видов выпускаемой продукции. Объемные показатели выпуска строятся на основе стоимостных нормативов на единицу кажAoro вида продукции согласно ОКП — цен, надбавок (cKHдок) и нормативов чистой продукции (НЧП). Для каждой отрасли существуют также укрупненные номенклатурные перечни, используемые на различных стадиях планирования. |

Аналогичным образом строятся структурные и объемные показатели материальных ресурсов (средств и предметов труда}. Для трудовых ресурсов основным номенклатурным показателем служит перечень профессионально-квалификационных групп и категорий работников. Объемные показатели трудовых ресурсов определяются либо путем сложения численности всех видов работников, либо путем применения различных коэффициентов приведения. В качестве таких коэффициентов используют среднюю заработную плату, характеристики производительности труда и др. (см., например, [53].

Качественную характеристику средств труда дают показатели технического уровня средств труда. K ним относятся: соотношение активной и пассивной частей основных фондов, возрастная структура оборудования, удельный вес прогрессивного оборудования. Одной из характеристик

уровня средств труда является удельный вес уникального оборудования, не допускающего замену другими имеющимися в составе парка видами оборудования.

Качество трудовых ресурсов определяется по удельному весу работников высшей квалификации в ‘общей численности, а также их заработной платы в общем фонде заработной платы. Важной характеристикой качества труда является уровень технической оснащенности труда, которая отражается в показателях фондо-, энерго- и электровооруженности труда, размерах оборотных средств, приходящихся на одного работающего.

Уровень технологии и организации производства оценивается показателями степени специализации и кооперации производства, коэффициентами CMCHHOCTH “H использования рабочего времени, удельным весом прогрессивных технологических процессов и форм организации труда. В качестве частных показателей для машиностроительных предприятий используются коэффициенты параллельности (совмещения) производственного процесса, коэффициенты рациональности перемещения (движения} предметов труда и т. д. [57].

Технический уровень средств труда, уровень технической оснащенности труда и уровень технологии и организации производства в совокупности характеризуют технический уровень производства.

Кроме показателей выпуска продукции, ресурсов, технологии и организации производства для описания производственных процессов используются показатели эффективности. OHH строятся путем сопоставления показателей объема, структуры и качества выпуска с аналогичными показателями ресурсов. Это сопоставление обычно делается с помощью вычисления отношений объема выпуска к размерам ресурсов (производство продукции на 1 руб. затрат, производительность труда, фондоотдача, производство продукции на | руб. оборотных средств} или разностей между показателями выпуска продукции и затрат ресурсов (прибыль).

Перечисленные показатели характеризуют производство за один период — год, квартал, месяц. Для описания динамики процесса используют приростные и темповые показатели. К приростным показателям относятся: абсолютный прирост выпуска продукции; прирост выпуска на единицу прироста основных фондов; прирост выпуска на единицу прироста оборотных средств; прирост выпуска на единицу прироста численности работающих. Среди темповых наиболее часто встречаются показатели: темп роста товарной продукции; темп роста производительности труда, фондоотда-

чи и отдачи оборотных средств; темп роста выпуска на единицу прироста основных фондов, оборотных средств и численности работающих; доля прироста выпуска продукции за счет роста производительности труда. В планировании и анализе деятельности хозяйственных систем за ряд лет используются также приросты или темпы изменения темпов роста показателей (например, рассчитывают, на сколько пунктов выросли или снизились ежегодные темпы роста выпуска).

Важная информация об особенностях конкретного производственного процесса содержится в системе норм и нормативов затрат ресурсов. Они подразделяются на нормы расхода материальных ресурсов, нормы трудоемкости видов. продукции и нормы и нормативы структуры оборотных средств [15]. Сопоставление этих норм между собой определяет нормативные соотношения между ресурсами, характерные для данного процесса.

Рассматривая множество характеристик производственного процесса, мы можем разбить их на три группы. В первую группу включаются первичные характеристики процесса, т. е. натуральные показатели выпуска и затрат ресурсов за один период, а также структурные, объемные и качественные показатели, получаемые из первичных с помощыо ‚арифметических действий с использованием норм и нормаTHBOB. |

Ко второй группе отнесем приростные и темповые показатели динамики процесса, которые вычисляются на основе показателей первой группы. Наконец, в третью группу войдут показатели, характеризующие приросты и темпы роста показателей второй группы (например, годовой прирост темпов роста производительности труда).

Смысл построения ПФ, так же как и любой другой математической модели, состоит в том, чтобы, строя ее по одним (известным) характеристикам процесса, вычислить на ее основе другие, неизвестные характеристики. Важно, однако, иметь в виду следующее: данная характеристика процесса может быть определена с помощью производственной функции лишь в том случае, когда, во-первых, она допускает выражение через показатели и параметры, входящие в ПФ, и, во-вторых, при построении производственной функции в явном виде учитываются характеристики из той же группы, к которой принадлежит данная характеристика. Например, ПФ, которая строилась из условия приближения вычисленных значений объема выпуска к фактическим, при определенных предположениях может быть использована для прогнозирования выпуска при заданных факторах в будущем периоде, однако вряд ли ее можно использовать для прогно-

зирования такой характеристики процесса, как темп роста производительности труда. Для этой цели необходима другая производственная функция, при построении которой критерием была не только близость фактических и вычисленных объемов выпуска за прошедшие годы, но и близость фактических и вычисленных темпов изменения производительности труда. Поэтому при построении производственной функции как обобщающей модели производственного процесса следует стремиться к тому, чтобы вся имеющаяся информация о характеристиках и особенностях модели-

руемого процесса в максимальной степени была. учтена (см. п. 2.4.1).

1.3.2. Свойства и характеристики агоегированной технологии

Агрегированная экономическая технология т представляет собой функцию, являющуюся «идеальной» моделью производственного процесса. Эта функция служит объектом аппроксимации, осуществляемой посредством производственной функции f. При этом технология т не известна полностыо исследователю, он не может вычислить ее значения во всех точках области определения; известными являются лишь некоторые ее характеристики и свойства, восстанавливаемые по характеристикам производственного процесса. Аппроксимация, следовательно, ведется путем сопоставления известных характеристик и свойств технологии с соответствующими характеристиками пробной производственной функции. .

Поскольку технология т является функцией, определенной на множестве D, ее характеристики относятся либо к конфигурации и размерности области D, либо к поведению самой функции т.

Среди характеристик области D отметим следующие:

1) размерность пространства, в котором лежит множество D, т. е. число п аргументов функцки т = T (x4, ..., №); -

2} размерность самой области D в пространстве R": 4 = = dim D, т. е. максимальное число независимых перемен-

ных среди х., ..., Хи. (Если существует такая ненулевая функция ф (х, ..., X,), что в любой допустимой точке (хи, .. №1) ЕД имеет место ‘равенство ф (x, ..., X,) = 0, то

dim D <n— 1; это означает, что избранная система показателя ресурсов избыточна, и их число можно при описании процесса сократить);

3) границы множества Р в пространстве ресурсов

т; = ПИх, t=l,...,n xeD

M,=supx,;, i=l,...,n0

xeD

и в пространстве соотношений между ресурсами

r= inf —~ xeED 4

R;;=sup — — xeD x;

4) для качественного анализа конфигурации множества Р иногда используются также понятия связности и выпуклости. Множество D называется связным, если любые две его точки можно соединить какой-либо кривой, целиком лежащей в множестве D. Множество D называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя точками x’, x” ED оно содержит все точки соединяющего x’ Hx” отрезка.

Дополнительные свойства и характеристики, отражающие конфигурацию области определения технологии, приведены в п. 2.3.1.

По существу свойства множества D определяются выбором системы показателей ресурсов процесса, т. е. отображением и, и диапазонами возможных в тех или иных условиях (допустимых) значений показателей ресурсов.

Перечислим наиболее важные характеристики “и свойства, определяющие поведение самой функции т намножестве D:

Г) характер изменения функции т при увеличении (уменьшении) i-ro ресурса на определенное количество единиц или процентов;

2) характер изменения функции т при одновременном увеличении (уменьшении) всех ресурсов в определенное количество раз или на определенное количество процентов;

3) характер изменения функции «отдачи» {-го ресурса т/х; при увеличении (уменьшении) ]-го ресурса на определенное количество единиц или процентов;

т 4) характер изменения НКЦИИ BbI- ) Р р фу Ц СА + vee +- CuXn )

ражающей «отдачу» обобщенного фактора сл, +... + + сихь (Cy, ..., Cp — коэффициенты формирования обобщенного фактора из факторов x, ..., Х,) при увеличении (уменьшении) ресурсов на определенное количество единиц или процентов. В качестве такого обобщенного фактора чаще всего рассматривается себестоимость продукции;

5) выпуклость или вогнутость функции т (функция т (х) называется выпуклой, если ее область определения D является выпуклым множеством, и для любых точек x’, x” € D и любого числа А, 0 <A <1, имеет место неравенстBo т (Ax’ + (1 —A) x”) < м (Хх) + (1 —^) (=); функция т (x) вогнута, если функция —t (xX) является выпуклой);

6) возможность реализации определенного значения функции т при различных комбинациях ресурсов.

Для количественного описания поведения функции т используются следующие группы показателей:

а) нижние и (или) верхние границы изменения значений т (x) в заданных областях Х:,.... Xs; пространства ресурсов:

6; << (хх) < В, хЕХ, j Sel, :.., J, в частности значения т (x) в наблюдавшихся точках: у В =t (x (1), f= 1, ..., Т;

6) нижние и (или) верхние границы изменения приростов и темпов роста функции т в заданных областях

X 1, ..., Хх изменения ресурсов: bj <t(x)— tv’) < В, ххЕХ, fF Hl, .., У; b; < Wee ©) < В, x, х'ЕХ, j=l,... J,

т (х') в частности значения прироста функции т при увеличении {-го ресурса на единицу: В т (ЦА 1... Xp) —T (а, 0 Xp, 0p №) < Bi, а также значения приростов и темпов роста функции т в наблюдавшихся точках: А, у=т(х(1)) —т(х{Ё)), A... — T(x (t))—t (x (Р)) ЕР... T, tt fit у х (х (t")) ’ yreee , > ?

в) нижние и (или) верхние границы изменения индекса роста функции т при одновременном увеличении всех ресурсов в A> 0 раз:

by <u (Ax)/t (x) < By.

Для количественного описания таких свойств функции, как выпуклость или вогнутость, можно использовать верхние и нижние границы изменения разности между средне-

взвешенным значением функции в двух точках Лили ‚ее значением в средневзвешенной точке

by <t (Axt + (1 — A) 2) — At (8) — (1 — A t OD By. 44

. т Аналогичные показатели строятся и для функций —,

i т

City +... + бпхл и обобщенного ресурсов.

Поскольку в конкретной ситуации значения функции т вычислимы не во всей области D = p (Res), а лишь в небольшой ее части, те или иные показатели, характеризующие т, могут также оказаться невычислимыми. В этих случаях рассматривают ограничения этих показателей на область их вычислимости.

Совокупность количественных характеристик агрегированной экономической технологии, так же как и систему показателей производственного процесса, можно разбить на три группы. К первой группе отнесем нижние и верхние

v v т Tt

границы значений функцийт, a) GaP ep one Приростные и темповые характеристики этих функций — ко второй группе; показатели, характеризующие выпуклость (вогнутость) фукции т, по существу полученные путем арифметических операций с приростами,— к третьей. Эти группы соответствуют классификации характеристик производственного процесса.

‚ выражающих «отдачу» соответственно 1-ГО

1.3.3. Система характеристик производственной функции

—

Производственная функция f данного экономического объекта является результатом решения задачи аппроксимации агрегированной экономической технологии т. В процессе решения этой задачи для каждой пробной пары (М, f) ее характеристики и свойства сравниваются с известными характеристиками и свойствами пары (D, т), а также сопоставляются с целями построения модели. Следовательно, система Характеристик производственной функции должна включать, во-первых, характеристики, отражающие свойства области определения М, во-вторых, характеристики, отражающие свойства функции т, и, наконец, показатели расхождения между характеристиками пар (М, } и (D, т). Кроме того, в составе этой системы следует предусмотреть такие характеристики, которые допускают интерпретацию в качестве значений известных экономических характеристик производственного процесса.

Отсюда вытекает, что система характеристик производственной функции должна состоять из следующих трех групп:

А — характеристики области определения М функции f;

Б — характеристики самой функции f, отражающие. свойства технологии т и допускающие интерпретацию в качестве характеристик производственного процесса;

В — характеристики качества аппроксимации функцией Г технологии т.

Поскольку под производственной функцией в общем случае мы понимаем пару (М, f), то собственно функцию } будем иногда называть производственной поверхностью (локализованной на области М).

Характеристики группы А предназначены для описания конфигурации н расположения множества М в пространстве аргументов производственной функции и потому аналогичны соответствующим характеристикам. множества D:

1) число аргументов производственной функции п;

2) размерность области определения d = dim М;

3) границы множества М в пространстве факторов

inf x;, sup х; и соотношений факторов х=М хЕМ

А: . Xj ~ sup —, ini —. KEM Xj — xGM X;

Характеристики группы Б формулируются в предположении, что производственная функция дифференцируема до второго порядка включительно. Это предположение o60сновывается следующими соображениями. С одной стороны, оно находится в русле общего направления теории производственных функций: применяя производственную функцию, исследователь переходит от дискретных («разорванных») эмпирических значений показателей реального процесса к непрерывному множеству допустимых вариантов значений показателей производственного процесса. Переход от непрерывного представления. деятельности системы к дифференцируемым функциям является естественным следующим шагом после перехода от дискретного анализа к непрерывному. С практической же точки зрения применение дифференцируемых функций оправдано наличием мощного арсенала локального исследования функций средствами дифференциального исчисления *. Большинство из

* В лоследнее время в качестве: производственных стали применяться сплайн-функции (см., например, [52]), где требуется лишь кусочная непрерывная дифференцируемость. В основе таких функций, однако, лежат «классические» дифференцируемые производственные функции.

применяемых в настоящее время функций либо дифференцируемы (реже — кусочно-дифференцируемы), либо получаются из дифференцируемых в результате предельного перехода по параметрам.

Аналогичным образом оправдывается применение в качестве областей определения М связных подмножеств неотрицательной части п-мерного пространства.

Характеристики производственной функции f (xj, ..., X,), относящиеся к группе Б, представляют собой, в свою очередь, функции от переменных xj, ..., х„. Если характеристическая функция использует значения первых или вторых частных производных функций f, она называется соответственно характеристикой ` первого или второго порядка. Характеристики, использующие только значения функции f, называются характеристиками нулевого порядка. Такая группировка характеристик производственной функции соответствует делению на три группы показателей производственного процесса и агрегированной технологии т.

Все характеристики производственной функции {для единообразия будем обозначать одной и той же буквой x с одним верхним и двумя или тремя нижними индексами. Верхний индекс / указывает на порядок характеристики, 0 < </ <2, первый нижний — на вид характеристики, следующие — на принадлежность к моменту времени или связь с одной из переменных. Множество характеристик производственной функции представляет собой систему операторов* на множестве дифференцируемых функций. Смысл использования дифференциальных характеристик производ-

ственной функции состоит в том, что значение такой характе-

ристики в фиксированной точке х пространства аргументов определяет характер поведения функции не только в данной точке, но ив ee окрестности. Кроме того, во многих случаях те или иные дифференциальные характеристики функции являются константами. Это позволяет описывать и сравнивать между собой важные классы функций с помощь "системы постоянных параметров.

Для каждой из приводимых ниже характеристик прнведем ее интерпретацию через свойства производственного процесса (точнее, его агрегированной технологии).

Характеристики нулевого порядка.

1 te Cy ee ж) =F OD, oe ж O) ЕЕ. Т.

* Оператором на множестве называется отображение данного множества в себя.

Каждой функции } сопоставляются ее значения в наблюдавшихся точках x (2) = (x, (8,..., хи (0).

2. 21 (Хр... Я Хы Xn) = limf (4... Xp), [= 1,..., В.

ad daca

Данная характеристика отражает наличие у функции асимптот и показывает, каков максимальный объем выпуска при неограниченном возрастании одного из факторов (если x3; = 00, объем выпуска неограниченно возрастает).

(жж, +++, Xn)

3, X32 (Жл» Xn) = х, ’ i= I. п.

Значение хз; в точке х = (Xj, .;., Ха) показывает среднюю отдачу каждой единицы Г-го ресурса при условии использования ресурсов в количествах“ х;,..., Xp.

f(t. .’ Xn)

4, v4 (X15... Xn С1,..., Cy} = . , ах... Сп Xn

Данная характеристика показывает среднюю отдачу

«обобщенного» ресурса CyxX, + ... + сах», где с1,..., Cn — коэффициенты, с которыми ресурсы ху, ..., Xp, входят в выражение для «обобщенного» ресурса (например, себестоимости).

5. X5 (41, very Мар Cys + Cn) = Ё (хи, tery Xn) — Ox, — — ...— бахаи.

В зависимости от коэффициентов с, ..., с» величина 78

выражает разность между объемом выпуска и различными видами затрат на производство. Если сх, |... + сих, — общая сумма издержек производства, то х8 представляет собой прибыль.

Характеристики первого порядка. . of

6. rat (X1,.045 Kn) = : дх;

Данная характеристика называется предельной производительностью 1-го ресурса и приближенно показывает, насколько изменится объем выпуска при изменении {-го ресурса наединицу (при условии, что в производстве участвуют ресурсы в размерах х;, ..., хп).

x А

(1)... Xn), i= |,..., п.

f Ox;

Эта характеристика называется эластичностью выпуска no i-my ресурсу. Ее значение в точке хл, ..., X, приближен-

но показывает, на сколько пунктов (процентов) изменится объем выпуска при изменении размера 1-го ресурса на один

Т. Х2е (Ky. Хи) =

пункт (процент), если в производстве участвуют ресурсы в размерах Xj, ..., Xp-

д .. 8. Хзи (My... Xn) = о (х,... in) | —— (%).. .› Xn), Е, {=

= |,... ПИ, #56},

Характеристика хз;; носит название предельной нормы замены t-20 ресурса |-м ресурсом. Она выражает соотношение между изменением объема выпуска, вызванным изменением на единицу Е-го ресурса, и таким же изменением, связанным с варнацией на единицу |-го ресурса (при условии, что исходным значением ресурсов в обоих случаях является

точка X,, ..., хи). Другая интерпретация функции предельной нормы замены состоит в следующем. Значение %3; ; в точке x = (x), ..., X,) определяет приближенно, на сколько

нужно увеличить ресурс fj, чтобы скомпенсировать уменьшение ресурса { на единицу при условии, что остальные ресурсы не изменялись, а исходные значения ресурсов составляли х1,..., X» (обоснование см. в п. 1.3.4).

жи, №) == Of (А ,..., Ах) | Je .

Данная хараклеристика называется эластичностью выпуска по масштабу производства. Она показывает, насколько функция f (x1, ..., хп) близка к однородной, причем эта близость рассматривается локально — в окрестности точки х,, ..., X,. Функция f (x) тогда и только тогда будет однородной функцией степени однородности y, когда 4 тождественно по переменным Xj, ..., X,, А равна константе y. Значение Xf в точке X, ..., X,, А интерпретируется сле-

дующим образом. Обозначим через ind, f (x) величину Ка, 10) AXn)

я) — индекс роста объема выпуска при увеличении размеров. всех ресурсов в A раз. Тогда 4 (жи, ..., хи, A) показывает, на сколько пунктов (процентов) изменится этот индекс при изменении A на один пункт (процент) при условии, что исходной точкой для изменения ресурсов являлись значения х1, ..., X,- Для однородных функций величина YJ допускает также следующую интерпретацию: если все ресурсы увеличиваются на один процент, то объем выпуска увеличится приблизительно на %4 процентов. Характеристики второго порядка.

aa Ox; Ox;

10. Xi if p00) Xa) = (X00 Xn), i,jol,...,%.

Значение функции %1;; характеризует динамику изменения предельной производительности /-го ресурса при изменении количества {-го ресурса на единицу (начальной считается точка ху, ..., Xp).

Ряд других характеристик второго порядка рассмотрен в п. [.3.5 и 1.3.6.

Перечисленные характеристики не являются независимыми. Требования, налагаемые на одни характеристики, ограничивают возможности изменения других. Рассмотрим основные соотношения между ними.

Из определений показателей ут, х2, ХЗ сразу вытекает, что

Ввиду известных свойств повторного дифференцирования

1j :

Перейдем к характеристикам производственной функции, отражающим качество аппроксимации. Характеристики группы В,строятся на основе сопоставления характеристик производственной функции со свойствами и характеристиками агрегированной технологии. Качество аппроксимации определяется мерой отклонений значений характеристики Хи от данных, характеризующих соответствующее свойство технологии.

Основными являются следующие показатели отклонеНИЙ:

1 жи = их (х (1) |, #=1,..., Т.

Характеристика YX}, выражает абсолютную величину отклонения значения производственной функции в {-йЙ наблюдаемой точке от f-ro наблюдавшегося объема выпуска.

2. я =-_ (max f(x) —B +|maxf(x)—B), j= ly. J,

В этом выражении М — подмножество области определения производственной функции и технологии, для которого известна верхняя граница объема выпуска В = = max t (x), / — количество этих подмножеств. Величина

хеМ %$; равна нулю, если выполнено условие f (x) < В при

x€M. Если же это условие нарушено, то %3;—=max (f (x) — xe

— В). Таким образом, %3; принимает значение от 0 до - оо, в зависимости от степени нарушения условия f(x) < B;, x € M;, причем, чем выше эта степень, тем больше *3;. Минимизация %9; является одним из критериев аппроксимации технологии при наличии информации о технологии в виде верхних границ функции т.

3. = 1 (6, — minf (x) +]6;— min f(x))), j= ly... J. 2 xEM; xEM,

(1.9)

Предполагается, что на множествах М; |=, ..., J, известны нижние границы объема выпуска 6; = mint (x).

x Очевидно, 3; = 0, если f (x) >26; при х; ЕМ и x9; = = min (b;— }(х)), если это условие нарушается. xX EM; Таким образом, минимизация критериев %3;, #3, обеспечивает выполнение условий

| * 4. жи=- (тах Хз: — В +| max х3:—В;; |}, ‘= |,..., f, ij ij

1=1,.... 4. | (1.11)

5. хз! = — (6;; am X32+[|b1;— ay x3: |), i= 1,...,/, ij tj

j=l И. (1.12)

Характеристики %4;;, $j, также принимающие значения от 0 до + со, определяют степень нарушения условий

6; < x3: (<) < Bi прихЕ Mjj. (1.13)

Так формируются условия на нижние и верхние границы средней производительности 1-го ресурса.

Аналогичным образом строятся показатели нарушения ограничений типа (1.9) для других характеристик производственной функции.

2 лем,, хЕМ;; ИИ .-—tminy! Ь.. —min ¥}; 1.15 7. жи (бы ИН ii net. (1.15)

1.3.4. Неоклассические производственные функции

В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве производственных могут использоваться неотрицательные функции весьма разнообразного вида. Однако наиболее часто для моделирования процесса производства используются функции y = [(х1, ..., Ха), удовлетворяющие следующим условиям (так называемым неоклассическим критериям): 1) функция не убывает по каждому аргументу; 2) является однородной и 3) является вогнутой.

Напомним, что функция у =f (x), определенная на множестве М, называется однородной степени y, если

а) для любой точки x из М и любого-® > 0 точка Ах принадлежит М и 6) существует такое^число y, что f (Ax) = = NF (x) при любых хЕМ, ^>0. (1.16)

Функция y =f (x) называется вогнутой, если для любых точек x’, x” из М и любого А, 0 <A < 1, точка Ax’ + + 1 — №) x” принадлежит М и

жил) SA) + AF”. 1.17)

Неотрицательные функции, удовлетворяющие условиям 1) — 3), называются неоклассическими функциями [13, 27]. Будем называть неоклассическую функцию у = } (x) классической, если ее степень однородности равна: y = 1.

Однородная функция степени | называется также линейно-однородной. Понятие однородной функции оказывает: ся весьма полезным в теории производственных функций, поскольку отражает один из наиболее простых и характерных случаев зависимости объема выпуска от динамики масштабов производства. Переход от точки x€M к точке Ах Е М соответствует пропорциональному увеличению всех ресурсов ха, ..., X, BA раз. Иными словами, индексы роста всех ресурсов равны А. Если производство описывается однородной функцией, то индекс роста объема выпуска в этом случае также будет равен A. Таким образом, если производственный процесс описывается линейно-однородной производственной функцией, то из условия

пах: =... = Шах, =A (1.18)

вытекает, что indy =X. (1.19)

Для производственной функции произвольной степени однородности из условия (1.18) вытекает, что

ind y =". (1.20) 52

Таким образом, для однородной функции в случае равенства индексов ресурсов индекс объема выпуска определяется индексами ресурсов. Если производственная функция однородна, то основное значение для анализа динамики вылуска представляют не объемы применяемых ресурсов, а соотношения между ними.

Приведем дополнительные соотношения между характеристиками функции {, имеющие место, если f — однородная функция степени однородности 1:

хи Xa. Kin hn = 14 F(X); (1.21) 21 --...-Н 21 = KA} (1.22) Хи ж-+...-НХНа ж = (Юж FHL... 7. (1.23)

Пусть функция у =f (x) определена на множестве М с Rt. Функция { называется супераддитивной, если

для любых точек x’, x” из М точка x’ + x” принадлежит М и

f(x’ + x") SF’) НЕО’). (1.24)

Для однородной функции f степени однородности % имеют место следующие утверждения:

а) если у <1, то из условия супераддитивности (1.24) вытекает условие вогнутости (1.12);

6) если yp 21, то из условия вогнутости (1.12) вытекает условие супераддитивности (1.24);

в) если y = 1, то условия вогнутости и супераддитивности эквивалентны. .

Условие супераддитивности для производственной функции допускает следующую простую интерпретацию. Пусть х — выбор ресурсов, представленный в виде объединения двух других наборов — x’ их”, x = x’ + x”. Левая часть неравенства (1.24) показывает объем выпуска продукции, лолученной с помощью ресурсов х; правая — сколько продукции можно получить, если сначала использовать часть ресурсов в количестве Xx’, а затем — оставшуюся часть x”. Неравенство (1.24) означает, что резервирование ресурсов невыгодно для системы. Допущение противоположного неравенства привело бы к тому, что возник бы дополнительный эффект от дробления и резервирования ресурсов.

Таким образом, для линейно-однородных функций третий неоклассический критерий означает неэффективность резервирования ресурсов.’ Подобную интерпретацию допускает условие вогнутости и в общем случае.

Если неотрицательная функция f дважды непрерывно дифференцируема, то неоклассические критерии могут быть выражены в виде соотношений между ее характеристиками.

Критерий 1) выражается условиями

хи >00. =1,..., п. (1.25) Критерий 2) записывается в виде 9 х

3 Хе. хи) = 0, ined, (1.26)

или в виде соотношений между характеристиками второго порядка

n п у j=! f=l =.

Условие вогнутости (критерий 3) дважды дифференцируемой функции |, определенной Ha открытом* выпуклом множестве М, состоит в неположительной определенности матрицы ее вторых производных.

Так, для функции и = f (x,, х.} от двух переменных необходимое и достаточное условие вогнутости состоит в выполнении неравенств:

Хи! < 0, 122 < 0, ХИ! 12 (112) SO. — (1.28)

Для того чтобы неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая функция у = f (x, х.) была классической, необходимо и достаточно, чтобы

%1>0, x20, 21 - Х22=1, ХИ, < 0, 12.0. (1.29)

1.3.5. Эластичность замены факторов производственной функции

Понятие эластичности замены факторов является одним из основных понятий теории производственных функция. Эластичность замены факторов служит характеристикой «самостоятельности» влияния отдельных аргументов про-

изводственной функции на ее значение. Диаметрально противоположными при заданных на-

чальных объемах ресурсов (факторов} являются следующие

ситуации: а) на объем выпуска положительное влияние оказывает

увеличение лишь одного из факторов, в то время как вариа-

* Множество М называется открытым, если вместе с каждой точкой оно содержит достаточно малую ее окрестность.

ция остальных ресурсов не приводит к росту объема выпуска;

6) объем выпуска чувствителен к увеличению каждого из рассматриваемых ресурсов.

В ситуации а) уменьшение «влиятельного» фактора невозможно скомпенсировать за счет увеличения других факторов, в то время как в ситуации 6) такая компенсация в принципе возможна (хотя, быть может, потребует привлечения значительных объемов компенсирующих ресурсов). В первом случае говорят об отсутствии заменяемости факторов, во втором — о ее наличии. И та и другая ситуация встречаются в практике хозяйствования. Среди множества производственных функций имеются функции, отражающие эти ситуации. Рассмотрим функцию‘

у = min (ах, ‘9 AnXn), (1.30)

где у — объем выпуска продукции; хи, ..., хи —- показатели факторов производства; Q), ..., а, — параметры производственной функции (эта функция носит название функции Леонтьева). Здесь в каждой точке х = (xX), ..., X,) величина у определяется тем из показателей х;, для которого величина а;х; минимальна. Увеличение выпуска возможно только при увеличении этого показателя х;, остальные показатели {в пределах малых изменений) на у не влияют. Противоположную ситуацию описывает линейная функция и = = ал, + ... + авх,. Здесь ни один из факторов ни в одной точке не обладает «исключительными полномочиями» на увеличение объема выпуска. Последний реагирует на изменение уровня каждой из входящих в модель переменных д, ..., XpЕстественно считать, что заменяемость факторов в функции Леонтьева равна нулю, ав линейной функции — бесконечHOCTH.

Вопрос о возможности замены факторов в производственной функции всегда решается по отношению к тому набору ресурсов, который фигурирует в качестве аргументов производственной функции. Если факторами служат укрупненные показатели размеров производственных фондов и численности промышленно-производственного персонала, а результат производства измеряется объемом товарной продукции, то вопрос об эластичности замены сводится к анализу возможности взаимного замещения живого и овеществленного труда.

При анализе возможностей замены ресурсов в различных моделях производственного процесса следует четко фиксировать уровень моделирования. Если выходными показателями модели являются количества изделий каждого из ви-

Дов, TO заменяемость имеет место тогда, когда выпуск про - дукции данного количества и номенклатуры возможен с помощью различного количества ресурсов. Здесь ненулевая эластичность замены факторов является результатом наличия различных технологий производства одной и той же продукции (технологическая заменяемость). На уровне же агрегированной экономической технологии заменяемость одного фактора другими возникает, если с помощыьо различных наборов ресурсов xy, ..., X,» HX}, .:., Ха МОЖНО Произвести продукцию одного и того же объема (при условии, что эта продукция предназначена для удовлетворения аналогичных функциональных потребностей). Таким образом, на уровне производственных функций оценивается не столько технологическая, сколько экономическая заменяемость факторов.

Опишем способы формирования различных показателей заменяемости факторов производства и связи между этими показателями для двухфакторных производственных функций.

Пусть

— дважды дифференцируемая неотрицательная двухфакторная функция, определенная на области М, лежащей в неотрицательном квадранте пространства R2 и x° = (xf, х3) Е € R2.. Рассмотрим ситуацию, в которой возможно замещение факторов.

Изменим слегка переменную х:, взяв значение функции y =f (x, х.) в точке (х1 + Ax,, x3). Вообще говоря, оно будет отличаться от значения в точке (xf, х3). Однако в некоторых случаях изменение х, можно скомпенсировать изменением второго аргумента функции. Если имеет место этот случай, то вариация Ах, определяет минимальную величину Ах. (если f (x, x.) — возрастающая функция, то Ах. < 0), для которой

ой Аж, Ан =f х8) = 09 (1.32)

В частности, если a (x?, хз) =2 0, то при значениях Хо

х!, принадлежащих некоторой окрестности точки x}, определена функция Ay (x4), такая, что

Ё (ж, Ao (%)) = f OT, 23) = 0° (1.33)

при любом x, из этой окрестности. Компенсирующая Ax, величина Ах, выражается при этом в виде Ax, = hy (xi + + Ах.) — А, (х7). Отношение Ax./Ax, определяет величину

уменьшения второго фактора, обеспечивающую компенсацию прироста первого фактора на единицу, и служит показателем возможности замены факторов при ранении объема выпуска. Условие непрерывной дифференцируемости

функции Ги неравенство > (x?, x8) 52 0 обеспечивают су-

Axe шествование предела lim —*. Он равен:

vty Mg (xf + Ax) — Во (x4) , ] 0 i 1 1 9 т, hx, = hg (x4). (1.34)

Для возрастающих функций f величина ho (х1) < 0, поэтому в качестве характеристики прироста второго фактора, необходимого для компенсации единицы изменения первого фактора, рассматривают —hg (x?). Таким образом, величина —ho (х1) является первой из характеристик замещаемости факторов. Компенсирующая функция йо (x,) определена только для непрерывно дифференцируемых функций f и только в тех точках, где частная производная по второму аргументу отлична от нуля. В точках, где cL = 0,

№ Но (x?) можно считать равной бесконечности.

Характеристика количества первого фактора, необходимого для компенсации изменения второго фактора на единицу, равна, как легко проверить, —1/№0 (1).

По теореме о производной неявной функции функция ho (x) допускает следующее выражение через частные произ-

водные функции

лику — В Gre № (%1)) Во (х1) fe Oy, № (4) ' (1.35)

где через f; (1, x2} обозначена частная производная функция f по i-my аргументу, i = 1, 2.

Следовательно, предельная норма замены X312 служит характеристикой замены факторов первого порядка. Она характеризует прирост второго фактора, необходимый для компенсации (замещения) изменения первого фактора на единицу по сравнению с первоначальным его количеством.

Геометрическая иллюстрация описанной ситуации изображена на рис. 1.2. Функция x, = My (x,) выражает уравнение изокванты, т. е. множества точек (2, х.), в которых Е (жи, x.) = f (xf, x2), вблизи точки xf, х3. Ее производная ho (x{), равная предельной норме замены с обратным знаком, равна также тангенсу угла касательной к изокванте в точке х’ = (xf, х2) с осью % (на рисунке — угол a’),

| Предельная норма замены % A f/f. = —ho в точке xf, x$ совпадает с тангенсом до-

А полнительного угла a:

(49, x3) ДИР» = tg a. (1.36)

B Дальнейший анализ MeXa-

низма взаимной замены фак-

В a\ о’ торов в производственной

—> — функции связан с исследова-

нием динамики заменяемости

при изменении точки (xf, x3).

Компенсирующая — функция

Йо (х1) строилась выше при ус-

ловии, что исходной является точка х‘== (х?, x3). Однако она

сохраняет свой смысл компенсирующей функции и для

других точек, находящихся в достаточно малой окрестно-

сти точки x°. Это дает возможность исследовать зависн-

мость механизма замещения факторов от исходной точки,

анализируя изменение функции —Йо (x,) при малых вариациях величины д.

Здесь возможны, вообще говоря, различные подходы.

В качестве характеристики изменения функции — йо (x,)

можно рассматривать производную a), логариф- “1

Рис. 1.2

мическую производную по х, в точке x, = xf ит. д. Tpaдиционной характеристикой динамики предельной нормы замены служит, однако, относительное (процентное) изменение функции —йЙ, (х!), приходящееся на единицу относительного (процентного) изменения отношения факторов х./х, при условии компенсации. Поскольку в этих услоBHAX X_ = Ay (21), то в функции — йо (x) переменная x, заменяется наи = hy (x,)/x, (обозначим получившуюся функцию через Ас (u)). В качестве характеристики замены факторов второго порядка рассматривается величина

= (* (и) hg (и) )- (1.37)

du и

Она показывает, на сколько пунктов изменится количество второго фактора, необходимое для компенсации увеличения первого фактора на единицу при изменении отношения между факторами на один пункт. Эта величина и называется эластичностью замены факторов для двухфакторной функЦИИ.

Геометрическая иллюстрация здесь такова. Отношение и = hy (%)/x, выражает тангенс угла В (на рис. 1.2} между радиус-вектором точки (х1, х.} = (x1, Mo (%1)), расположенHOH на изокванте, и осью абсцисс. Для вогнутых функций этот угол однозначно определяется выбором точки на изокванте. С другой стороны, точка на изокванте (в малой окрестности точки (xf, x$) и при условии f, (xf, x3) 54 0) однозначно определяется углами © или В. Таким образом, между этими углами существует локальная взаимно однозначная зависимость. Эту зависимость и характеризует эластичность замены факторов

o — Ч В +2 В = (== tg a (1.38) dig a tga +В tgp

Пользуясь выражением производной функции Ay (x,) через частные производные функции / (x, Х.), можно выразить эластичность замены через предельную норму замены. Для этого сделаем замену переменных м, х. в функциях fy Xt» жа), fo 1, Xe): пусть ty = х/ж, Uy = fF (х хз}; обозначим через fy (ил, Uy), fo (ил, из) получившиеся функции. Частная производная по аргументу и. предельной нормы за-

— . , мены Ea(4a и). Ali?! вычисленная в точке и? = =, uy = falt4s,u2) 4

= f (x?, x2), соответствует дифференцированию функции x? (ho (u)) при Ё(а, %2) =f (xf, 49) в TouKe и= xa = = Л“ пои). Отсюда вытекает, что Х1 эв, tty) ia (U1, Ue) в (x? x)= AGE tty) fo (tty, из) x3 у Ou, uy x у у —1 f (xi, x3) (1.39)

Иногда это определение записывают в сокращенном виде:

В. —1 o=| — | Ah при f(x, x2) =const. (1.40) qa Ха! ху x}

С другой стороны, рассматривая обратну1о зависимость тангенса угла В от тангенса угла ©, эластичность замены можно определить как

x3 а —-

yf Hole при f (x,, х) =const, (1.41) giz fille

понимая под этой записью следующее. Вместо переменных X1, Х. вводятся новые переменные py, р., связанные с прежними соотношениями Py = fy (м, Xo)/fo (41, Xe), ра = = f (x1, Хз). Это преобразование невырождено, если f, == 0 и —fufs + 2fishife — fooft э=0. В этом случае переменные X1, хо могут быть выражены через р:, рь- Частная логарифмическая производная’ отношения X,/x,, вычисленная при

BA = AiG. 28) ‚ Po =F (xi, x2), также выражает эластич-

faxed x8) HOCTb "Замены факторов в точке (х1, хз): Pye (Py> Ps) в (x? x8) — Xi (Ра, Pe) ха (Py, Ра) /X1 (р, Po) Fy (xf, x9) Op; Py Fo (x, № F (xt, x%) |. (1.42)

Приведем рабочую формулу, непосредственно выражающую с (x1, х›} через аргументы и значения производственной функции и ее производных:

БН №), (1.43) жа Ха ( — На а 2 fi Fa Poe FB

где производные берутся в точке (Xx, Xz).

Из этой формулы вытекает симметричность определения эластичности замены факторов в двухфакторном случае: эластичность замены первого фактора вторым равна эластичности замены второго фактора первым.

Если } (x1, х.) — однородная функция, то определение и вычисление эластичности замены факторов может быть упрощено. Поскольку для однородной функции степени однородности } отношение частных производных

та, = | =) В, в) _^ Hf =) 4 (1.44)

1 1

б (ха, Xo) =

зависит только от отношения факторов, вместо частных производных в определениях (1.39) и (1.42) можно рассма-

тривать прямые производные функции x по x 2 1

he (1.2)

№1

Хз.

G(X, 2) = р ях = dq —2— 2171 * te ом | *a/* (1.45) qe fills Ь

В формулах (1.40) и (1.41) для однородных функций услоBue f (1, x.) = const может быть опущено.

Формула (1.43) для вычисления эластичности замены факторов также упрощается. Заметим сначала, что предельная норма и эластичность замены факторов инвариантны относительно произвольного дважды дифференцируемого преобразования функции f. Именно, пусть ф — дважды дифференцируемая функция одного переменного и g (ж, х›) = = @ (f (41, %2)). Тогда в, = oy.

Значит, если речь идет о функции f степени однородно-

CTH Y, то достаточно вычислить эластичность замены: фак1

торов функции g = Й, являющейся линейно-однородной. Для линейно-однородных функций формула (1.43) в силу теоремы Эйлера xf, + xf. = Ёи вытекающих из нее соот-

ношений fy, = — 2 fio, foo =-— Е, имеет особенно про- . vy v стой вид*: Хх, Хх Ху, Ло G(X) х) = fa (хи, ха) Ь (ха, Xe) , (1.46)

Ра, хз) Ба (1, Хо)

* Это выражение было использовано Дж. Хиксом в 1932 г. для хронологически первого определения эластичности замены факторов линейно-однородной производственной функции [75]. Широкое распространение формула (1.43} получила после публикации в книге Аллена [70] в 1938 г.; эластичность замены факторов (1.43) будем называть в дальнейшем эластичностью замены факторов п

Аллену и обозначать через oA, |

Для функции произвольной степени однородности лу имеют место равенства

А — А — fi fe OF Gay о) = Opty 9 = ge EAD

Эта формула является BO многих случаях наиболее удобной для вычисления эластичности замены однородных функций.

В последние годы в практике экономико-математического анализа применяется еще одна характеристика замещения факторов, встречавшаяся, в частности, в работах Б. Н. Михалевского (см., например, [45]). Эластичность замены факторов по Михалевскому определяется выражением oe

(2) см — x1 se ‚ (1.48) d (* (x1, X2) | Не, ха) (жж, хо) fo (x1, ха)

в котором дифференциалы понимаются как полные дифференциалы, т. е. линейные дифференциальные формы с функциональными коэффициентами. Числитель и знаменатель формулы (1.48) представляют собой линейные комбинации независимых дифференциалов dx,, dx, с коэффициентами, зависящими OT Хх, хо.

Таким образом, о\ является функцией от четырех независимых переменных X,, х., dx,, Чх., причем относительно последних двух — дробно-линейной. Геометрически можно представлять функцию oM (х}, x2, dx,, dx.) определенной на касательной плоскости к поверхности y =f (x1, хо), при этом первая пара аргументов x], x3 определяет точку касания плоскости, а вторая — координаты на самой плоCKOCTH. \

Эластичность замены факторов по Михалевскому имеет следующую интерпретацию. Фиксируем точку (х1, x3) и рассмотрим близкую к ней точку (х1, x3). При переходе от (x?, х3) к (xf, +3) определенным образом изменяется как отношение х./х,, так и предельная норма замены f,/f,. Ве-

A(xe Xof xX (2/*y | (2/1) выражает соотношение между проACh /fa) Г 11)

центным изменением отношения факторов и отношения их

предельных производительностей при данном изменении 1

самих факторов. Соответственно величина

показывает, какое процентное изменение предельной нор-

личина

мы замены приходится на один процент изменения отношения факторов при переходе от точки (хи, х›) к точке (x, + dx, X_ + 4х2). Заметим, что при определении эластичности замены факторов по Аллену факторы изменялись так, чтобы обеспечивалось постоянство выпуска (т. е. в пределах одной изокванты), в то время как эластичность замены факторов по Михалевскому через предельную норму замены характеризует более общий процесс произвольного изменения факторов.

Если функция у = [(%, х.) — однородная, то o™ (x,, х., dx,, dx.) не зависит от 4х, dx, и, кроме того, тождественно равна OA (x,, x2) [36]. Общим для них является также свойство инвариантности относительно произвольного дважды дифференцируемого преобразования функции. Заметим, что независимость OM от dx,, dx, и ее равенство OA не являются характерным только для однородных функций: существует широкий класс неоднородных функций, для которых oM не зависит от dx,, dx, и равна oA (см. п. 2.2.5).

Для вычисления эластичности замены факторов по Михалевскому используются рабочие формулы:

ом (1, Xa, dx, dx») =

— ии dx, + — Чхо = fife = 2 . (1.49) (fix fa—fre fr) За ВР) dite Итак, первоначально эластичность замены факторов для двухфакторной производственной функции определялась через уравнение изокванты (1.37), затем — как частная производная предельной нормы замены по отношению факторов (1.39) и как частная производная отношения факторов при изменении предельной нормы замены (1.42). Все эти определения являются эквивалентными. Иную характеристику. представляет определение эластичности факторов по Михалевскому. На множестве однородных производственных функций все перечисленные определения эластичности равносильны. Легко проверить, что эластичность замены факторов для двухфакторной функции Леонтьева по всем определениям равна нулю, для линейной функции — бесконечности.

1.3.6. Показатели эластичности замены факторов для многофакторной производственной функции

В отличие от случая двух факторов, где различными по существу оказались лишь два определения эластичности замены факторов, для многофакторных функций круг не-

эквивалентных характеристик замещаемости факторов является достаточно широким. Каждая из них представляет собой обобщение одного из определений эластичности замены для двухфакторных функций, является (кроме эластичности замены факторов по Михалевскому) функцией от х1, ..., №1 И характеризует с определенной стороны возможности замещения f-ro фактора }-м фактором.

Различные определения эластичности замены двух факторов в п-факторной производственной функции y = f (x,

‚ X,) делятся на два класса. В первый из них входят определения, которые получены путем сведёния многофакторной функции к двухфакторной и последующего применения определений функции эластичности замены по Аллену-и Михалевскому для двухфакторных функций. ‚Именно, эластичность замены между {-м и j-M факторами функции } в точке Xy, ..., Xp Определяется как эластичность замены двухфакторHOH функции

y =F (хь x), (1.50)

полученной из } (4%, ..., Х,} фиксацией всех переменных, кроме х;, Xj, на постоянном уровне. Сохраним для эластичности замены факторов многофакторных функций обозначение о, добавив индексы переменных, к которым относит-

ся определение, и волнистую черту сверху для определе-

ний, в которых x, = const при А = |, ...,n, А # i, j. Тогда —А O17 (Х1, ..., Xn) = fi d(x, eee + Я 1, ui; Nps one Я; pr Ил Хун» ees » Xn) — } Ou; . fill; xj x x Nps nce y Xp py oy Mindy ee —1, и 1 i—] x; , --1› в ^/—1 —1 Е (жа, ces №), Mitty vee y Bn) . (1.51)

Данная характеристика многофакторной производственной функции называется также эластичностью замены факто-

ров по Мак Фаддену (0%) [72].

Поскольку все переменные х, «+, Xp, Кроме xX; их, остаются постоянными, dx, = 0 при # = |, ..., п, Е5ЁЬ j.

Эластичность замены факторов по Михалевскому oM 3a-

висит поэтому от 21, .... Xn, AX;, Чхл On (Xt, Алу Чх;, 9х;) = a— — А: x jf; а Fi (ty, .-- 1 Xn) fi (Xp, 2.6 [РУ ry eee tp) › (1.52) fy (ys 0 + Xn)

Для однородных двухфакторных функций эластичности замены по Аллену и Михалевскому совпадают. Этот результат не переносится непосредственно на л-факторный случай при л >> 2, поскольку функция f (%1, ..., Xp), однородная как функция от л переменных, может не быть однородной как функция от части переменных. Пример: линейная функция у = ах, + ... + а,х, не является однородной как функция от Xy, х.. Наоборот, функция Кобба—Дугласа у = 4х4: ...х„ однородна как функция от любых под-

множеств переменных (степень однородности, однако, будет различной). Можно доказать, что функция Кобба—Дугласа является единственной функцией, однородной относительно любого подмножества переменных.

Для вычисления эластичности замены Or; И of HCNOMbзуются следующие формулы: —А fe fy (xi Fett; Р)

a? = Gh | 1.53

iJ oe By (hit Pe Fag Fe Fi — Pay В) me d j dx;

_ и” (- 4+ =|

IM *) (1.54)

(fis Fy —Pag Fa) doce (fig Fy yy AY day аналогичные выражениям (1.43), (1.49).

Второй класс составляют определения эластичности замены двух факторов, в которых все остальные факторы также предполагаются изменяющимися. В этот класс входят обратная и прямая эластичности замены, эластичности замены по Аллену и Михалевскому. Прежде чем переходить к их определению, заметим. что относительное разнообразие характеристик второго порядка, отражающих эластичность замены факторов многофакторной производственной функции, связано с разнообразием ситуаций, в которых paccmaтривается вопрос о возможности компенсации одних факторов другими. Каждая такая ситуация для п-факторной функции и = Кл, ..., Х,) характеризуется тем, что какиелибо п — 2 величины, зависящие OT х1, ..., хи, остаются не-

3 Зак. 1104 65

изменными, а оставшиеся две величины считаются переменНЫМИ.

Будем называть обратными те определения эластичности замены факторов, которые получены обобщением определения (1.39), и прямыми — определения, обобщающие (1.42). Рассмотрим сначала варианты обратных эластичностей замены факторов. Обратная эластичность замены {-го фактора j-M предназначена для анализа изменения предельной нормы замены в зависимости от изменения соотношения между факторами в условиях неизменности значения функции. Для такого анализа, так же как и при п = 2, следует сделать замену переменных хи, ..., X, В предельной норме замены новыми переменными fy, ..., И», ОДНОЙ из которых должно быть соотношение между {-м и |-м факторами, другой — производственная функция. После этого характеристикой динамики предельной нормы замены может служить ее частная логарифмическая производная по отношению 1-го и j-ro факторов. Однако результат частичного дифференцирования функции по заданному аргументу зависит от того, каковы остальные ее аргументы. Поэтому в отличие от двухфакторного случая, где набор новых аргументов Wy, ..., Un, иИсчерлывался «обязательными» переменными и, = = х./ха, Иа = f (x, Ха), при п >> 2 вопрос об остальных аргументах становится принципиальным. Здесь имеются следующие возможности для выбора остальных постоянных

аргументов: а) исходные переменные Xp; 6) отношения xX, K xj, Е =|,..., м, RAG, j;

в) произвольные заданные отношения X,/x).

В первом случае при взятии частной производной по хиИх; остальные переменные Xp, Ё = 1, ..., П; k 5 i, }, OCTaются постоянными, следовательно, мы приходим к определению (1.51). Рассмотрим более подробно второй случай.

Обозначим через ty, ..., и, новые переменные, связанx x *j-1 Xft w=, Ug=—,...,uj1= ‚ Ин = gees xj xj xj xj *n-1 Un— 1 = pun =f (x, a) Xn). xj Tenepb x [ Uy, CCHH EY; (1.55) xj tj —1, если # > |,

В дальнейшем мы убедимся в том, что преобразование переменных х—и является невырожденным и, следовательно, обратимым, что дает возможность рассматривать каждую переменную х; как функцию OT Wy, ..., и». Поэтому частную производную f; (x1, ..., Xp) можно рассматривать как функцию f; от и, ..., ив, PE fi (ty, ..., Un) = В (а (и, ..., Un), ..., Xp (ty, ..., Ип)). Теперь обратная эластичность замены {-го фактора |-м в точке ж, ..., X, определяется как

КИС wes Un) Fi (и... » Un) fi (dy, .-- + Un) if (Ua ,- ип) ди; и; —1 (из (24) oy Хи), cov Ша (рн Ха) ‚ если {<} af (м1, ere ‚ Un) fe (ty, ... Un) Fj (ty, ... ‚ Un) fF: (tr, --+ > Un) | ди; _ | и —1 —1 (ty (жа, ce Жи), very Un (Xp oeey 2)}| ‚если >]

(1.56) Для сокращения записи OfSP в литературе используют также следующее выражение:

iy \-! др | — ft при } (х) = соп$1. (1.57) Следует, однако, заметить, что при такой записи неясно, Xi

от каких аргументов, кроме —, зависит предельная норма AF

= ° 3 гта замены [-го и {-го факторов, поэтому более точной была бы запись

р \— ‚ дш — oop =| ——t_ | при f (х) = сопз, = =const, (1.58) ain *j *}

k=1,...,n, ki, j.

Величина —: показывает, на сколько пунктов измеOF;

HHTCA предельная норма замены i-ro фактора |-м при из-

менении соотношения f-rO и jf-rO факторов на один пункт

в условиях, когда соотношения между остальными факто-

рами и j-M, а также значение функции остаотся неизменны-

MH.

Геометрическая интерпретация обратной эластичности замены 1-го фактора {-м аналогична геометрической интерпретации двухфакторной эластичности замены по Аллену. Касательная гиперплоскость, проведенная к поверхности y = f (xy, ..., Ха) В ToUKe x° = (xf, ..., x2), имеет вид

9 =f 0) аж). (0) (nen) РФ). (1.59)

Соотношение между частными производными f,-1 и fr точке х определяет положение двумерной плоскости

ур! (x°) (Xn —1 —Xn— А (x°) (Xp — хи) +] (x°) (1.60)

в трехмерном пространстве {y¥, X,-,, х„}, полученном фиксацией всех аргументов 21, ..., Хл-. ка уровне xX, = Xf, ..., Хл—о = Xp». (Все двумерные плоскости с одинаковым отношением коэффициентов при х„-: И х, параллельны.)

Непосредственной характеристикой этого положения может служить (так же как и в двумерном случае) тангенс угла между касательной к изокванте, проходящей через точку x8 —3, x8, и OCbIO X,_-, (при x; = x7, i =], ..., n— 2). Он равен _— fe?) Переход от точки х’ к близкой точке

fo{x°) xh приводит, вообще говоря, к изменению коэффициентов

касательной гиперплоскости

y= fy (x!) (4 —xt) +... НВ (4) (tn — ха) +x). (1.61)

a Новое соотношение ae также характеризует положение двумерной плоскости

Y=fn-1 (x?) (Xn—1— Xa— 1) + fr (x*) (Xn — хи) +f (x), (1.62)

однако теперь в подпространстве {y, Xz-1, Xp}, полученном фиксацией остальных аргументов хи, ..., Хи -. Ha другом уровне х; = x}, i=l, .. n—2. Вели f (x') =f (x), т. е. точка x) находится на той же изокванте, TO отношение

Fn — 102) 6 ——— с обратным знаком равно тангенсу угла между

In (x1) новым положением касательной прямой I той же изокван-

те и OCbIO х„_—1. Таким образом, величина ‚ опре-

об ont, п (x9) °

деленная (1.56) при =n — 1, } =n, показывает, на сколько пунктов изменится тангенс угла между касательной к изокванте (при х1 = XT, ..., Хл-а = Xn —2) И 06ЬЮ X, 4 При изменении тангенса угла между проекцией радиуса-вехктора точки х° на плоскость {хь-1, Хи} И OCbIO X,,_, на один пункт. Нредполагается, что при этом изменении углы проекций радиуса-вектора на ряд других плоскостей {x,, х,} с их осями нё меняются, а изменяемая точка находится на изокванте.

Геометрическая интерпретация определения of отли-

чается от приведенной выше только более жесткими ограничениями на изменения точки: постоянными должны быть не только углы, но и длины проекций ‚радиуса- вектора на все плоскости {x,, х,}, 7, $51 — 1,

Приведем без доказательства рабочую формулу для вычисления oper:

п fify Ур обр — f=) on = —

ч(- —й р 3 Fay Xu bhi Fi; z fa Xa

k= [

> | (1.63) +fi Ё; > fri Xh— fy fii > fn a |

#=1

Заметим, что определение 1, так же как и форму-

ла (1.63) для ее вычисления, несимметрично относительно ги]. Найдем в качестве примера обратную эластичность замены второго аргумента третьим в функции Y = хх, + -- х.. Для этой функции р = хо, fp = x, fs =1, Во = 1, fis =fee =fes =fa3 =O. Теперь согласно (1.63)

обр == 2х1 х.-- хз 3 Х1 Ха

Вычислим обратную эластичность замены третьего фактора вторым:

2x, хх Е x pep, +1 Хз

Заметим также, что если сгруппировать все члены, : со-

держащие производные по аргументам №, ..., Х‚—„ TO MOлучим формулу

met [ey fa— обр ~ =” 5’ Xn Е + Pn— Iya D> fix: " i=l Абв Xn — = 1, n—1 m): п!

где 5’ — сумма функций, обращающихся в нуль, если д = =f, =... =. Отсюда Гон!

обр A ton On—i. 91 0 an

где через S обозначена функция OT X4, ..., X,, обращающаяся в нуль в тех случаях, когда } не зависит от хи, ..., Хао через OA — эластичность замены факторов x,-; и xX, по Аллену для двухфакторной функции и =f (хх, Xp).

Рассмотрим теперь вкратце третий, более общий слу-

чай определения 0°б7 | когда в качестве постоянных apry-

ментов ил, ..., Un—p предельной нормы замены факторов выступают произвольно заданные отношения и; = Ха/хь,, i=l, ..., n—2. Какие возможности здесь допустимы?

Прежде всего необходимо, чтобы преобразование х > и было невырожденным и допускало обратное преобразова-

ние и — x. Иными словами, все х;, # =1, ..., п, должны выражаться через iy, ..., и». Далее, среди uy, ..., Ил не должно быть зависимых, т. е. между ty, ..., Ип-1 Не до-

пускается никакого функционального соотношения. Можно доказать, что эти условия выполнены, если каждый из Х1, ..., Xp—y ХОТЯ бы раз входит в ил, ..., Up—o. Следовательно, в качестве переменных Wy, ..., И, может быть в принципе выбран любой набор отношений ха,/хь,, включающих все переменные x4, ..., Xp—2g- Поскольку каждому такому набору при п >> 2 соответствует свое понятие обратной эластичности замены, в определение обратной эластичности замены факторов для многофакторных производственных функций следует включать явное указание того, какие отношения переменных остаются неизменными.

В случае, когда f (4, ..., X,) — однородная функция, определение обратной эластичности замены можно упростить. Так же как и в двумерном случае, предельная норма замены однородной производственной функции естественным способом может рассматриваться как функция от отношения переменных:

х п —1 ИН (=... - 1)

fn (x2, Б.у Xn) Xn *n -— x} fa—t [moe eee > ‚ | xn Xn / xy Xn] ` fn (= beens x , у п — ы . (1.64} xy a 1 1 (=. cece , Xn Xn x1 Если в качестве набора постоянных факторов B3ATb—, ..., . п

Ак А, eee, Xp определяется как

Fn (а... Uggs 1)

1 (ил, soe pity 1) БУ —1 1

Ап **) то обратная эластичность замены факторов в точке

бобр

п 1 п = Guy | Ly |

sot) | (1.65)

Переход к любому заданному набору отношений и; = =—№1=|,... n— 2, может быть легко выполнен, ес-

a ли учесть, что любое отношение = может быть записано в

Ма Ха Xp. виде — = —/ —# и получено, следовательно, myTem *b; Xn/ Xn *a, <p, деления © отношений Ua, =—, Ue, = —. Xn у Xn

Прямая эластичность замены i-20 фактора |-м для многофакторной функции вводится как обобщение определения (1.42) для двухфакторных функций. Обозначим через

Pip .--, Pn новые переменные, связанные с xX, ..., Xp COOTHOшениями 2 _ Я) вы — fia (&) Pay ag PI ay? _ fits) _ в @) _

Теперь М _[Рь если > р fi Pi-1, если {<}. Ниже мы убедимся в том, что это преобразование является невырожденным и имеет, следовательно, обратное. С

его помощью каждый из аргументов х!, ..., Хх, можно выра-

зить как функцию OT Py, ..., р: 4; =х; (0), f =1,..., п. Прямая эластичность замены {-го фактора }-м в точке хо = (xf, ..., ха) определяется Kak частная логарифмическая производная отношения {-го фактора к j-My по переменHOH р; = i вычисленная в точке р? = p (x°): i пр 0 _ OTP (x)=

Xi (р)

Же) || (xe (ууу (0) (no, a д, др; р; Ff; (x°) Fe (9)

если {> |,

х: (р) x; (р) (четы (4 (x9) Fa (x9) jt)

др;_1

Fa (x0) "Ну если i < j.

(1.66)

Величина ОТР (x°) показывает, на сколько пунктов долж-

но измениться соотношение {1-го и {-го факторов при изменении предельной нормы замены на один пункт в условиях, когда предельные нормы замены {-го фактора остальными и значение функции остаются неизменными.

Геометрическая иллюстрация понятия прямой эластичности замены факторов, так же как и обратной, основана на интерпретации х}/х? как тангенса угла между проекцией радиуса-вектора точки x° на плоскость {x;, xj} и предельной нормы замены f;/f; как тангенса угла касательной к изокванте в точке X°, взятой при Xp = x2, А = |, ...,n, kA В].

В сокращенной записи определение прямой эластичности замены 1-го фактора j-M выглядит так:

Xi o— отр = : a при f (x)= const, tk — const, (1.67) } Siti ft 1 k=1,..., 2, ki, j.

Рабочая формула для вычисления от? имеет вид

iif Ay Ня mp — ij ОТР (X1, 0+.) Xn) г я. 5 }. (1.68) где 0 р in H = hi [1 oes fin , bn hia . „Ра

Ay;— алгебраическое дополнение к элементу /;; матрицы Н. В качестве примера найдем прямую эластичность замены второго фактора третьим для функции у = хх» + х..

В данном случае H= 1, Hag =х, Hay = —2x Xo. Следовательно,

oop = 2х; Xe-tXs

23 хз

Прямая эластичность замены третьего фактора вторым в этой функции имеет другой вид:

one р Fg Hoo _ № Х1 №2 —^ ОПР 3 =X, — 7 23. Хз vg Хз Хз

Следовательно, определение прямой эластичности замены факторов несимметрично. Вместе с тем эластичности замены первого фактора вторым и второго фактора первым равны единице:

Если f (x) — однородная функция, то определение прямой эластичности замены факторов можно упростить. В этом (x)

. п, Ri, р МОЖНО рассматривать как функцию от отношений переменных х/хь, k =|,.... п, А 5Е фи (при определенных условиях) выразить эти ‘отношения через новые переменные, Py, ..., Pn—-1, разрешая систему уравнения ИН = р, Е =1, ..., п, Ri, р относительно хихь. Следовательно, отношение х;/х; в случае однородной функции f зависит только от ру, ..., ри И не зависит от р» при любых {52 }. В сокращенной записи определения прямой эластичности замены факторов (1.67) для однородных функций условие f (x) = const можно опустить.

Так же как и при определении обратной эластичности замены факторов, обязательными в составе аргументов р1, ..., Pn ФУНКЦИИ X; (рух; ( (р} являются лишь аргументы,

\ 73

случае отношения частных производных 4 —

..;

выражающие интересующую нас предельную норму замены f/f; и объем выпуска p, = } (x). В качестве остальных аргументов может быть выбран любой набор из (п — 2)-x отношений ра Рь в котором каждая из функций, кроме

р 4 fi, встречается хотя бы один раз. При этом фиксированные предельные нормы замены должны явным образом. yKaзываться в определении прямой эластичности замены факторов.

Сделаем еще одно замечание о симметричности Oj; относительно перестановки факторов. Определения обратной и прямой эластичностей замены факторов, как мы видим, не являются симметричными по отношению к перестановке факторов, в общем случае oper = O96P,. OTP = отр. Заметим, однако, что состав неизменных.отношений факторов для обоих определений зависел от того, какой из факторов идет первым, а какой — вторым. Можно модифицировать определения opop И о? таким образом, чтобы значение эластичности замены при перестановке 1-го и ]-го факторов сохранялось. Для этого следует «вынести за скобки» в определении O,; перечень неизменяемых переменных : (кроме переменной, выражающей значение функции): opsp следует определять не как «эластичность замены 1-го фактора ]-м», а как «эластичность замены {-го фактора j-M в условиях постоянства заданной системы отношений Ха, Г ХЬ k=], ..., ms) n— 2, a, i, Г бы = [, р.

Р. Аллен предложил [70] одно из наиболее известных определений понятия эластичности замены факторов для многофакторной производственной функции. Эластичность замены {-го фактора 7-м по Аллену определяется как

жж... ten fa | Hj

Xj Xj A

ON (Xp ..., Xn) =

Это определение обобщает формулу (1.60) для вычисления эластичности замены факторов двухфакторной функции. Действительно, при п=2 Н = 2}, — ИР» — ВЫ, Ay, = fife, откуда OA = от».

Ввиду симметричности матрицы Н имеет место равенство of = од. Интерпретация этого показателя, ‘приведенная Алленом, опирается на включение производственной . функции у = f (x) в более широкую и весьма условную модель, связывающую цены на факторы и товар, спрос на продукцию и ее производство. Ниже приводится независимая интерпретация Cf основанная на связи Of H OPP.

Поскольку

Ox; Ox; fi Aaj = = , 1.69 т | 7 ) = (1.69) 9! — то fi д \пх; xj fj р. = ——— 93}. (1.70) d\n и > xi fi

—=const, f=const j=l

xj fy Обозначим отношение —-^*^— через г; (x). Из равенст-

Dy ahi i=1 ва (1.62) вытекает следующее истолкование многофакторной пластичности замены факторов по Аллену: с точностью до множителя г; (х) величина on показывает, на сколько процентов придется увеличить количество ресурса х;, чтобы сохранить неизменными выпуск и предельные нормы замены остальных факторов {-м в условиях, когда предельная норма замены /-го фактора {-м уменьшилась на один процент. Аналогичным образом интерпретируется показатель

on: с точностью до множителя г; (x) величина oF показы-

вает, на сколько процентов придется увеличить объем х;, чтобы при уменьшении соотношения между предельными производительностями |-го и 1-го ресурсов на один процент выпуск и предельные нормы замены остальных факторов i-M остались неизменными.

Соотношение между прямой эластичностью замены и эластичностью замены факторов по Аллену раскрывается в следующей формуле, вытекающей из (1.70) при =Ёи k= jf:

-. отр (x) =r; (x) (oF ( (x) —of ‚ (x). (1.71)

Может показаться, что эта формула не согласуется с равенством между прямой и алленовской эластичностями замены факторов при л = 2. Здесь, однако, противоречия нет. Заметим сначала, что заменяя {1-ю строку определителя матрицы Н его первой строкой и разлагая по ней получившийся нулевой определитель, приходим к следующему соотношению между величинами Ни, ..., Hin:

hai - ... + РН т = 0. 75

Отсюда вытекает соотношение между величинами 4, R=1, ..., a: roof +... of =0.

Г. Нри п = 2 это означает, ЧТО oA, = -—- of,. Следовательно, - r ра

a при п = 2 правая часть равенства (1.71) запишется в виде

Го {o4, —o4,) = Fe (ot, + — псов, = — (и, +1.) o4, == oA,.

Наконец, обобщением на случай произвольного числа факторов понятия эластичности замены факторов по Михалевскому является следующее определение:

В xe

OM (x1, 0.0, Xm, At, A Xy) = fi , a ig В <) fe (x)

где в числитель и знаменатель входят полные дифференциалы соответствующих функций.

Величина 0} показывает соотношение между процентным изменением отношения (-го и }-го факторов и процентным изменением предельной нормы замены при переходе

от точки (х1, ..., X,) к близкой точке (x, + dx, ..., X, + м

+ dx,). Фактически функция O;; зависит от 2, ..., X, H

соотношения между 4х;; в частности, ее можно рассматри-

вать как функцию от переменных 24, ..., Xp и отношений дифd dxi dx; dx,

ференциалов <, ..., Stina 2+1 2 St Еели f— dx; dx; dx; dx;

однородная функция, то число аргументов функции of}

уменьшается еще на единицу: ом зависит только от COOT-

ношений между х;, ..., хи соотношений между dx, ..., ... ЧХа.

Связи между см и on возможны, если oN не зависит от dx, ..., dx,. В этом случае oM = of, = Sopp = ope.

if Формула для вычисления эластичности "замены факто-

ров по Михалевскому имеет вид

ot (x, cone Xn» dx, cen dx,,) = ах; d x; fi fs (- + №: xj

(fin fs—fax Fa) daa... + (fin fi —fin Fi) don

Несмотря на то что в отличие от случая двух факторов все приведенные определения эластичности замены факторов различны, легко убедиться, что нулевую эластичность замены между любыми двумя факторами по всем определениям имеет функция Леонтьева, эластичность замены, равную единице, — функция Кобба—Дугласа, а бесконечно большую эластичность замены — линейная функция.

Формулировка понятий парной эластичности замены факторов позволяет. исследовать также групповую взаимозаменяемость аргументов функции. Переход от пар к группам осуществляется путем объединения некоторых переменных в группы, обозначаемые одной буквой, и представления функции в виде функции от новых, агрегированных переменных. Пусть дана функция у = } (x, ..., Хи). Подмножество переменных X;,, ..., 4%, образует группу, если функцию f можно представить в виде суперпозиции функции 2; = & (Xi, --» ..., Xi.) OT Е переменных и функции 2, = Я (21, Хз, -.+) Xjn—n) от новой переменной 2; и остальных n — А переменных, где {Xj os Minoan} Ц (Xie or Xp b= Oy os Mnf.

Например, функцию и = XX, + х. можно представить в виде суперпозиции функций 2 = xX, x. H Zo = A+ Xz.

Предположим, что все аргументы хи, ..., х„ функции f разбили на $ групп, так что функция } оказалась представленной в виде суперпозиции функции А от 5 переменных и функций 21, ..., 25:

Г (же, sy №) В (2, +... 2$), где 2; — функция от {-й группы переменных X; = {x Qi, 1 Хи , Хы ps причем X; | X; = @. Тогда групповой эла- (i) стичностью замены факторов О, Хи re и Xai pote Xho функции f называется парная эластичность замены Oj; между {-йи]-й переменными 2;, 2; в функции A. Так, групповая Эластичность замены факторов х;, х., © одной стороны, их. — с другой, в функции у = хх. + х.з равна бесконечности. Дальнейшие сведения о связи групповой эластичности замены с эластичностями замены внутри групп для функций определенного вида можно найти в [77].

Глава 2

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

® 2.1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ

2.1.1. Общая характеристика процесса построения

Понятие производственной функции. данного объекта как функции, которая вместе с областью определения наилучшим образом аппроксимирует агрегированную экономическую технологию т, определяет строгую последовательность действий, необходимых для построения производственной функции.

Поскольку производственная функция получается в результате реализации вычислительного метода`оптимизации У, последним этапом ее построения является применение этого алгоритма. Предварительно необходимо `сформулировать принципы перебора и сравнения пробных функций и их областей определения, т. е. выбрать бинарное отношение р. на множестве вычислимых функций. Выбор этого отношения играет определяющую роль при построении производственной функции, поскольку в него входит и определение вида функции, и формирование принципов оценки параметров. Для его правильного выбора необходимо собрать, обработать и использовать обширную информацию о производственном процессе и влиянии на него внешних условий, сформулировать цели и задачи, для решения которых строится производственная функция, проанализировать возможности существования и свойства экономико-технологической функции т. Предварительно фиксируется система показателей оценки ресурсов и выпуска (и, Vv). Все это требует проведения тщательного экономического и системного анализа моделируемого объекта или процесса. Выделяются следующие этапы построения производственной функции.

Этап 1. Формулировка целей построения производственной функции.

Этап 2. Системный анализ моделируемого объекта.

Oman 3. Экономический качественный анализ объекта.

Этап 4. Определение системы показателей производственной функции (показателей ц, %).

Этап 5. Формирование информационной базы для анализа технологии и построения производственной функции.

Этап 6. Анализ существования и свойств экономиче- ‚ской технологии т.

Этап 7. Определение принципов сравнения функций по их близости к т (формирование отношения P = Pz).

Этап 8. Определение вычислительного алгоритма У для оптимизации отношения Px.

Этап 9. Подготовка программного обеспечения алгоритма.

Этап 10. Расчет производственной функции и ее области определения.

Ниже рассматриваются исходные и выходные данные каждого этапа и определяется схема их информационного взаимодействия.

2.1.2. Формирование информационной базы для построения производственной функции [этапы 1—5)

Создание информационной базы производственной функции является итогом выполнения первых пяти этапов ее построения. Последующие пять этапов реализуют методы переработки этой информации.

Исходной информацией для этапа 1 является экономическая постановка задачи. В данном ‘случае задача может относиться к одному из трех основных направлений плановоэкономической работы — планированию, прогнозированию, экономическому анализу. Так, если речь идет о прогнозе развития отрасли народного хозяйства, указываются период прогноза, варианты исходных предпосылок, уровень описания отрасли или система показателей, степень точности и условия использования прогноза. Выходной информацией первого этапа построения производственной, функции являются: а) желательная система показателей-аргументов и значений производственной функции; 6) ее желательная область определения; в) требования, предъявляемые к степени адекватности построения производственной функции; г) условия применения (будет ли применяться непосредственно производственная функция или одна из производных зависимостей, предполагается ли использовать ее автономно или в составе других экономико-математических моделей ит. д.). Структура входной и выходной информации этапа | построения производственной функции представлена на рис. 2.1.

Объект Система показателей производ-

исследования их ственной функции Период . Желательная <>. —

функционирования область определения

Условия Fe Требования к функциони- --— — адекватности рованил ` аппроксимации Экономическая Сфера применения постановка ‚ М. ароизводетвенной задачи oe функции Рыс. 2.1

Цель этапа 2 состоит в выявлении и анализе связей моделируемого объекта с внешней средой, а также внутренних — связей между показателями ресурсов и выпуска. Для правильного отражения функционирования объекта необходимо точно знать его функции, т. е. те требования, которые предъявляет к нему народное хозяйство и для реализации которых он предназначен.

Построение производственной функции предполагает, что функционирование производственного процесса можно представить в виде автомата, определив показатели входа, состояния и выхода системы (см. п. 1.2.3). Анализ возможностей и реализация такого представления также входят в задачу данного этапа. .

Важной частью системного анализа объекта является анализ его структуры, выявление степени самостоятельности отдельных единиц, входящих в него. Эти результаты используются на третьем этапе для формирования данных о CHстеме управления ресурсами.

Каждый народнохозяйственный объект имеет собственные внутренние целевые установки, реализация которых подчинена общим целям развития народного хозяйства, но имеет свою специфику в зависимости от специфики социально-экономического статуса предприятия. Выявление таких целей необходимо для правильного отражения функционирования объекта. Система целей также используется на третьем этапе.

Исходными данными для второго этапа служат результаты опроса экспертов (руководителей предприятия), норма-

Взаимоотношения объекта с народным хозяйством

Экспертная информация Функции объектз Документальная Внутренние информация цели Статистическая Структура и бухгалтерская объекта информация Возможности представления объекта в выде автомата

Рис, 2.2

тивные акты, бухгалтерская и статистическая отчетность.

Структура входной и выходной информации этапа 2 отражена на рис. 2.2.

На этапе 3 производится технико-экономический анализ условий функционирования непосредственно производственного процесса. Этот анализ основывается на данных системных исследований, полученных на предыдущем этапе, а также на использовании имеющейся информации о технологии, экономических и организационных условиях протекания производственного процесса. В результате проведения этого этапа определяется уточненный список факторов, наиболее существенно влияющих на динамику объема выпуска, что вместе с данными системного анализа позволяет сформировать систему показателей производственной функции (этап 4). На основе данных, относящихся к технологии самого производственного процесса, вырабатываются сведения о его технико-экономических характеристиках, анализируется динамика роста эффективности использования ресурсов и организация их распределения и использования. В целом данный этап является решающим при формировании информационной базы для построения производственной функции. Его входная и выходная информация отражена на рис. 2.3.

Вэзимосртношения Факторы, влияющие с народным на объем и структуру хозяйством выпуска.

Внутренние цели Сведения об агрегирои структура объекта ww | ванной технологии Функции | | Сведения о системе объекта управления ресурсами

Технологическая \ Динамика эффеттив- „М ности использования

инфармация ресурсов

Рис. 2.3

В результате проведения этапа 4 формируется система показателей производственной функции. Устанавливаются число и состав ее аргументов №, ..., Хи, интерпретация значений выходного объемного показателя у. Основанием для выбора той или иной системы показателей является, вопервых, целевая установка моделирования, во-вторых, определенный в результате системного и экономического анализа функционирования объекта перечень факторов, влияющих на объемные результаты производства. Здесь определяются (на качественном уровне) специфические для данного предприятия факторы роста производительности труда и оборудования, наличие диспропорций в обеспечении

Целевая система показателей производ-

ственной функции

Показатели объема

запасов ресурсов (/)

Результаты анализа

влияния факторов >

на выпуск Показатели объема

выпуска продукции .(Й } Возможности сбора Ра статистической

информации

Рис. 2.4 82

Статистические данные о производственном процессе

Документальные сведения о технологии процесса

Информационная база производственной функции

Информация о системе управления ресурсами

Динамика эффективности использования

ресурсов

Информация - о потребности в продукции

Рис, 2.5

ресурсами, резервы роста производства. Все эти сведения определяют степень и структуру дезагрегирования основных групповых аргументов производственной функции — труда, средств труда и предметов труда (рис. 2.4).

Наконец, важным ограничивающим фактором для разработки системы показателей-аргументов производственHOH функции являются возможности формирования статистической базы. По некоторым видам средств и предметов труда, возможно, отсутствуют статистические данные за ряд лет. Это мешает включать соответствующие показатели в список аргументов производственной функции.

Выбор выходного показателя производственной функции — объема выпуска — в решающей мере зависит от двух обстоятельств: цели построения функции и возможностей сбора достоверных статистических данных. Так, если предполагается прогнозировать объем выпуска нормативной чистой

продукции (НЧП), то для получения устойчивой производственной функции необходимо провести предварительную работу по расчету объема НЧП за ретроспективный период.

Информационная база построения производственной функции складывается из следующих составляющих, полученных на основе системного и экономического анализа

объекта: а) статистические данные о протекании производственного процесса; 6) сведения об особенностях технологии производства; в) информация о системе и принципах распределения ресурсов, организационных ограничениях на возможности пополнения и перераспределения ресурсов; г) сведения о предполагаемом изменении производительности ресурсов; д) информация о внешних связях моделируемого объекта (потребность в его продукции, возможности снабжения ресурсами). Все эти данные должны по возможности охватывать как можно больший промежуток времени, а также снабжаться характеристиками достоверности. На этапе 5 вся информация суммируется, обобщает-

ся и ранжируется по степени значимости и достоверности (рис. 2.5).

2.1.3. Методы определения вида м параметров производственной функции (этапы 6—10)

Следующие лять этапов предназначены для определения вида и вычисления параметров производственной функции и ее области определения.

Исходной информацией для анализа свойств и характеристик агрегированной экономической технологии т (этап 6) являются все данные, полученные в результате выполнения предыдущих этапов и сведенные в информационную базу на этапе 5. Выходная информация этапа 6 включает: а) сведения о существовании для данной системы показа-

Сведения о

существовании т

Сведения о

свойствах „

Информационная база производственной функции

Конфигурация области D

Значения в точках О

набл

Рис. 2.6

телей ци, V агрегированной экономической технологии т; 6) характеристики и конфигурацию области определения функции т; в) качественную информацию о поведении функции т в различных участках пространства ресурсов; г) значения функции т в точках множества ОД„ав, (рис. 2.6).

На этапе 7 осуществляется переход от экономико-технологической функции т к производственной функции f, определенной с точностью до числовых параметров (см. п. 2.2 —2.4). В результате выполнения этого этапа определяется вид производственной функции и конфигурация ее области определения, а также формируются принципы сравнения функций и их областей определения по степени приближения к функции т и ее области определения D. Если предыдущие этапы носили подготовительный характер, то на этапе 7 вся собранная информация должна перейти в конкретные характеристики функций из данного класса и их областей определения. Все характеристики агрегированной технологии должны быть переформулированы в терминах поведения функций из класса F. То же самое осуществляется и в отношении областей определения.

Исходные данные для этого этапа складываются из трех частей. Информация, относящаяся к целям моделирования, характеризует желательную область определения М, производственной функции и (совместно с результатами 3KOномического анализа) требования к качеству аппроксимации функции t. Вторая часть исходной информации касается характеристик и свойств функции т. Эти свойства в результате проведения этапа должны быть преобразованы в свойства класса F, из которого будет выбираться производственная функция, и отношения р для сравнения функций из Р. Для этого необходимо знать, какими свойствами обладают различные параметрические классы функций, параметрические классы областей в п-мерном пространстве, а также различные варианты методов сравнения их между собой. Наконец, при выборе вида функции, ее области определения и оценки их параметров следует учесть возможные ограничения на методы реализации вычислительных алгоритмов. Так, если в распоряжении исследователя имеются лишь алгоритмы и программы оценки коэффициентов линейных регрессионных уравнений по методу наименьших квадратов, то это существенно сужает возможности выбора вида функций. Входная и выходная информация этапа отражена на рис. 2.7.

Следующий этап состоит в создании или подборе алгоритма поиска экстремального элемента отношения р.. Если 0; — критериальное отношение (см. п. 1.2.6), то задача сво-

Целевая область определения производственной функции Вид производственной функции Требования к аппроксимации Вид области определения производственной функции Свойства и характеристики функциих Принципы оценки параметров ` производственной Свойства функции параметрических

‚ классов областей

Принципы оценки параметров области определения

Доступное математическое обеспечение

Рис. 2.7

дится к оптимизации критериальной функции. В зависимости от вида производственной функции эта функция (например, сумма квадратов отклонений) может быть многоэкстремальной, иметь весьма сложный рельеф. Поэтому для разработки эффективного алгоритма целесообразно было бы в рамках этого этапа провести исследование оптимизационных свойств критериальной функции и подобрать алгоритм, предназначенный непосредственно для оптимизации функций данного класса.

Исходная информация для выполнения этапа состоит из отношения Pz, сведений об имеющихся алгоритмах оптимизации, их особенностях и сфере использования. В kKaчестве ограничения выступают параметры ЭВМ, на которой предполагается реализовать алгоритм — объём памяти, быстродействие и т. д.

Результатом этапа 8 является подготовленный к использованию алгоритм У проведения расчетов (рис. 2.8).

На этапе 9 подготавливается (адаптируется или создается специально) программа, реализующая алгоритм У (рис. 2.9). В дополнение к данным о методе У, особенностях ЭВМ, для которой подготавливается программа, при ее

Отношение

Pr I~

Xopaktepuctukn

методов = олтимизации

Вычислительный метод V

Характеристики РАЯ

3BM

Рис. 2.8

составлении должны учитываться характеристики (в частности, объем) статистической части информационной базы расчетов.

Завершающий этап 10 построения производственной функции состоит в проведении расчетов параметров производственной функции (и ее области определения) по статистическим и иным исходным данным с помощью подготовленной программы (рис. 2.10). Кроме указанных параметров интерес представляют характеристики достигнутой точности аппроксимации функции и ее области определения, а также (при массовых расчетах) длительности или трудности поиска экстремальных значений параметров.

Необходимо отметить, что приведенная последовательность этапов (рис. 2.11) является в каком-то смысле идеализацией. В реальных расчетах нередки случаи, когда прниходится возвращаться к ранее пройденным этапам, корректировать те или иные предпосылки моделирования, расширять или сокращать его информационную базу. Если же

Вычислительный

метод V <

Характеристики Программы ЭВМ > расчета параметров Объемы р

данных

Рис. 2.9 87

Расчет параметров производственной функции

Программа

расчета параметров — Информационная aA база производ-

ственной функции

Расчет параметров области определения

Характеристики процесса расчетов

Рис. 2.10

все возможности такого рода исчерпаны, а построить производственную функцию данного объекта, удовлетворяющую максимально ослабленным требованиям, не удается, можно рекомендовать такую «крайнюю» меру, как смена объекта моделирования. Предположим, например, что таким объектом первоначально является некоторое промышленное объединение, состоящее из десяти структурных единиц более низкого организационного уровня (производственных и научно-производственных объединений). Пусть в ходе экономического анализа объекта (этап 3) выяснилось, что агрегированная технология для Данной системы показателей ресурсов и выпуска нестабильна. Тогда целесообразно вернуться к этапу 2 и более детально рассмотреть функционирование отдельных ПО и НПО, входящих в ВПО. Если при этом обнаружится, что неустойчивость общей технологии обусловлена работой двух НПО, в то время как остальные образуют технологически однородную группу, то в качестве нового объекта для построения производственной функции можно рассмотреть систему, состоящую из этих восьми относительно однородных производственных и научно-про-

Рие. 2.11

изводственных единиц. В этом случае процесс моделирования снова начинается с этапа |. Проблема выделения таких технологически однородных единиц и формирования соответствующих подсистем рассмотрена в [44].

2.2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

2.2.1. Двухфакторные производственные функции

Пусть @, — множество всех функций от п переменных, определенных на некоторой области М пространства К”. Подмножество Ё < Ф, называется параметрическим (точHee, Х-параметрическим), если существуют подмножество A; < R* и отображение р: Аз — Ф‚, такие, что р (Ay) = = Р. В Е-параметрическом классе F каждая функция f (x) =f %, ..., Xn) ЕЁ полностью определяется вектором параметров а = (а, ..., ак) и может записываться как fa (x). Смысл параметризации некоторого множества функций по существу аналогичен введению системы координат, с помощью которой каждая функция из этого множества отождествляется с последовательностью своих координат. Параметризацию допускают лишь не слишком широкие множества РК, в частности множество @, не может быть &-параметрическим ни при каком конечном №. Если отображение р линейно, т. е. р (a’ а”) =р (2) + pa’), a, а" € Aj, то класс F образуют функции, линейные по параметрам.

Что же общего могут иметь функции f, принадлежащие какому-либо параметрическому множеству F? Предположим, что все функции f Е F дифференцируемы до второго порядка включительно, а множество A; совпадает с R*. Соотноше-

ду ofa ду ` OF, = Xx = = 2 HHA у Fa ( ), Ox: Ox; ) дх;дх; дх;дх; рассмотрим >. ni(n+l . как ‘систему из n-+ [+ afer) уравнений относительно К параметров aj, ..., а». Число параметров & обычно имеет тот же порядок, что и число переменных п, поэтому в большинстве случаев параметры Qy, ..., а, можно выразить как ду ду функции OT х,, ..., Xn, 9, Bx; баб › используя Е из урав-

нений этой системы. Подставляя полученные выражения в оставшиеся. уравнения, можно получить систему дифференциальных уравнений относительно функции f, уже не содержашую параметров. Часто таким способом удается добиться того, чтобы множество решений полученной системы

уравнений относительно функции f совпадало с F, т. е. F был общим интегралом системы. Именно то, что функции из класса удовлетворяют этой системе дифференциальных уравнений с частными производными, и является объединяющим их свойством. Это обстоятельство в большом числе случаев дает ключ к проблеме выбора вида производственной функции данного объекта. Система дифференциальных уравнений (наряду с частными производными по факторам при формировании таких систем используются также. другие характеристики функции — средняя эффективность фактора, эластичность выпуска по фактору, предельная норма замены факторов и др.) связывает между собой в общем случае значения функции, ее аргументов и характеристик (в той же точке, что и значения функции)..Информация, полученная на этапе качественного экономического анализа моделируемого объекта, часто позволяет принять или отвергнуть предположение о существовании такой связи.

Для каждого из приводимых ниже видов функций мы будем указывать одну или несколько систем условий на характеристики функций данного вида, однозначно выделяющих его среди других видов. Эти условия представляют собой либо соотношения между различными характеристиками функции, либо описание поведения отдельных характеристик в различных частях области определения. Выполнение этих условий следует рассматривать как предпосылки для выбора функции данного вида. Доказательства эквивалентности систем` условий и принадлежности к функциям данного вида опускаются. Некоторые свойства приводимых ниже функций можно найти в [20, 27, 31, 11, 63]. Все функции y = р (x4, ха), которые рассматриваются в этом пункте, непрерывны и либо сами являются дифференцируемыми, либо могут быть получены предельным переходом по параметрам из дифференцируемых.

В приводимом ниже списке видов функции они располагаются в порядке возрастания сложности их записи и соответственно увеличения числа необходимых для этого параметров. Все эти функции допускают модификации, отличающиеся от основного вида тем, что в них априорно фиксируются значения некоторых параметров или их комбинаций. Такая фиксация может быть вызвана либо наличием априорной информации о величине данных параметров, либо стремлением упростить процесс оценки параметров. Так, если функция однородная и стелень ее однородности является оцениваемым параметром, то в качестве модификации основного вида может быть рассмотрен класс функций с предписанной заранее степенью однородности, скажем,

равной единице. Мы не будем выделять эти модификации в отдельные классы функций и специально указывать их.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (функция Леонтьева)

y =min (=, =). (2.1) а: a

Известно несколько альтернативных систем условий (пред-

посылок), выделяющих функции такого вида:

а) предельная производительность первого фактора является двухуровневой кусочно-постоянной невозрастающей функцией от отношения х,/х, с нулевым. нижним уровнем. Предельная производительность второго фактора — неубывающая кусочно-постоянная функция от х./х. с нулевым нижним уровнем;

6) функция представляет решение следующей задачи математического программирования:

{nes ary < Xp

где и — оптимизируемая переменная; в} функция однородна и эластичность замены факторов (по любому из приведенных определений) равна нулю; г) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью замены вида

путем предельного перехода a, -»> — оо.

Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов.

2. Функция Кобба— Дугласа

Y = Ay Ха! Ха. (2.2)

у — max,

Здесь также используется несколько систем предпосылок, выделяющих класс функций Кобба_Дугласа среди дважды дифференцируемых функций от двух переменных:

а) эластичности выпуска по факторам постоянны:

Xi (%, Xa) = а; Xoo (x1, Xo) = ay. 91

Решением этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является класс функций Кобба—Дугласа;

6) эластичность функции по одному из факторов постоянна и функция является однородной:

Yor (%, Xe) =а,; Nor (ха, ха) + Ха (а, х.) = а, + ао;

в) функция однородна и эластичности замещения факторов по Аллену и Михалевскому равны единице

СА (x1, X_) = OM (dx, dxe, хь, хо) = 1; г) предельная производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности: Ха: (Xr, Xe) = а, (Hy, хз); 1 — . X12 (х, хз) ~~ аз. (X41, хз); д) функция однородна как функция от xX, х. и как функция от X, при любом фиксированном хо; е) функция может быть получена из функции с постоянHOH эластичностью замены вида _ Y = Ay (Ay ха, хз)!

путем предельного перехода а. — 0.

Функция Кобба—Дугласа чаще всего используется для описания среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием (вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса). :

3. Линейная функция

и = ах, + AX. (2.3)

Предпосылки: a) предельные производительности факторов постоянны

1 — 1 -—. X11 = @1, Xie = a, и в нуле функция принимает нулевое значение;

6) предельная производительность одного из факторов постоянна и функция однородная первой степени:

т = GQ, ХЗ: + X32 = 1; в) функция однородна и эластичность замены факторов по Аллену бесконечна:

oA (4, Xe) = ©,

г) эластичности выпуска по факторам обратно пропорциональны его средней производительности:

1 ay 1 ‚ @2 X21 = ' X22 = . X31 X32

Линейная функция применяется обычно для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий. Особую роль играет предпосылка о постоянстве предельных производительностей факторов или об их неограниченной замещаемости.

4. Функция Аллена

у = ах. — ах — ах (2.4)

однозначно задается следующим условием: скорости роста предельных производительностей постоянны и функция однородна:

4711 = const, y?o2 = const, ¥3, + 5 = const.

Функция Аллена при a,, а. > 0 предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное воздействие на объем выпуска. Обычно такая функция используется для описания мелкомасштабных производственных систем с‘ограниченными возможностями переработки pecypсов. 5. Функция постоянной эластичности замены факторов (функция СЕЗ)

у = (ада ужо. (2.5)

Предпосылки:

функция однородна и эластичность замены факторов (по любому из приведенных в п. 1.3.5 определений) постоянна:

о (Xj, хе) = loan” —ilg

Функция CES применяется в случаях, когда OTCYTCTBY - ет точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и вместе. с тем есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Иными словами, экономическая технология обладает определенной устойчивостью по отношению к пропорциям факторов. Функция CES (при наличии средств оценивания ее параметров)

может быть использована для моделирования систем любого уровня.

6. Функция с линейной эластичностью замены факторов (функция LES)

у = хто (a; Xy + Qo Xe), (2.6) Предпосылки: функция однородна и эластичность замены факторов по

Аллену является линейной функцией от отношения факторов с единичным свободным членом:

oA (x1, Хз) == l+e rat Хз

где с = ay + a аз Qs a9 Go =

Функция LES рекомендуется для описания производственных процессов, у которых (в отличие от описываемых функцией CES) возможность замещения вовлекаемых факторов существенно зависит от их пропорций, причем при низком уровне x,/x, близка к единице, а с ростом x,/x, неограниченно возрастает. Такая ситуация возможна, например, если рост ресурса x, связан с общим расширением производства, появлением множественных технологических процессов с широкими возможностями комбинироваHHA. ` 7. Функция Солоу [86]

у == (а1 X49 + а, X54) (2.7)

характеризуется тем, что величина процентного изменения предельной нормы замены факторов, вызванного увеличением любого фактора на один процент, не зависит от начального уровня факторов:

911313 _ a! д пуз1 = =1— а. din x, ’ @lnx, Olin Xi,, (стоит обратить внимание на сходство величины 7 t „ Oln yd . с величиной ——*242 | использованной в п. 1.3.5 для опред In (= xX

деления эластичности замены факторов).

Функция Солоу может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и функция CES, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок функции CES (в частности, не требуется предлоложения об однородности). Это позволяет рекомендовать ее (при наличии соответствую

щих средств оценки параметров) втех случаях, когда предположение об однородности представляется неоправданным, например когда влияние на объем выпуска увеличения каждого из факторов проявляется совершенно различным образом. Функция Солоу может моделировать системы любого масштаба.

8. Ограниченная функция CES

у= inin (=. =, (аз x9 а ху). (2.8) ay ap,

Предпосылки:

функция моделирует процесс, в котором при малых значениях одного из факторов выпуск пропорционален объему этого фактора, при больших — описывается функцией CES. Функцию можно рассматривать как решение задачи оптимизации

AY SX; ух, у < (аз x48 На жа у —-ттах,

относительно переменной у.

Подобным образом могут быть построены ограниченные функции Кобба—Дугласа, Солоу и др.

Ограниченная функция CES предназначена для описания двухрежимного производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой — ненулевой постоянной (но не известной заранее) величиной эластичности замены. При этом переход от одного режима к другому осуществляется в зависимости от уровня лимитирующего первый режим факто-

а. P 9. Многорежимная функция [39]

у = (ах + алой vee (Ayn X90 + ал хае)а. (2.9)

‘

Предпосылки:

функция однородна и эластичность функции по первому аргументу представляет собой сглаженную #-уровневую убывающую ступенчатую функцию. Сглаживание осуществляется путем перехода от кусочно-постоянной функЦИИ

Ь при О<г<а,;

1 x21 (7) 0 при га,

где а, 6 — положительные константы, к функции

~ 6 ¥21 (г) = —,

Cy) где В» 1.

Многорежимная функция, одна из наиболее общих в числе приведенных форм производственных функций, используется при описании процессов, в которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меняется в зависимости от соотношения факторов. Функцию целесообразно применять при наличии априорной информации о числе режимов (A), а иногда и о ширине «переходной» области между режимами (чем выше | |4, |, тем более отчетливо выделяются режимы). „’.

10. Функция линейного программирования [35]

y=min ( м Хх ) +... +min( м Xe } (2.10) [4:31

111 aya ahy

Предпосылки:

а) функция является выражением зависимости между вектором ограничений и значением целевой функции в задаче линейного программирования

{one + 4129, +... бы <; али: + dose + ... t denYr < Xo, у =: + bays + ... + Onyn — тах,

где 411, ..., dee, бл, Db, — положительные константы, зависящие от ат, ..., @лз; Y1, Из — переменные;

6) предельная производительность по первому (второму) фактору представляет собой неубывающую (соответственно невозрастающую) многоступенчатую функцию OT х/х, с нулевым нижним уровнем.

Функцию линейного программирования имеет смысл использовать в тех случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования А фиксированных технологий, использующих одни и те же ресурсы. Иногда функции типа Леонтьева и функции линейного программирования оказывается возможным построить без статистического оценивания параметров, на основе нормативно-технической информации.

Связи между классами функций 1—10 изображены на рис. 2.12. Каждой вершине графа соответствует определенный вид производственной функции, а стрелка от {-й вершины к j-H означает, что {-й класс включается в }-Й тип или

Рис. 2.12

может быть получен путем перехода к пределу по одному из параметров. (Класс 5 может быть включен в классы 8, 9.)

Приведенный перечень видов производственных функций содержит лишь наиболее известные классы функций. Их список постоянно пополняется, в практику моделирования вводятся все более сложные, гибкие производственные функции.

Укажем некоторые пути обобщения приведенных видов функций.

|. Отказ от предположения об однородности. Из приведенных функций неоднородной являются только функции (2.7) и (2.8). Общий вид неоднородной функции CES не совпадает с (2.5) и включает кроме неопределенных параметров неопределенные функции [67, 78].

2. Отказ от предположения о постоянстве эластичности замены факторов.

Перёменную (в зависимости от уровня факторов) эластичность замены факторов имеют функции LES, Солоу, Аллена, ограниченная функция CES, многорежимная и функция линейного программирования. Общий вид однородной и неоднородной функций с переменной эластичностью замены (функции VES) приведен в п. 2.2.5.

3. Отказ от явной записи производственной функции.

Здесь можно отметить функцию, аналогичную функции Кобба—Дугласа с параметрами, зависящими от объема выпуска [45]; функцию CRESH, являющуюся решением функционального уравнения

4 Зак. 1104 97

xy as Xn Ча а ( т +a, ca) =i,

где hk (y) — заданная непрерывно дифференцируемая функция, для которой В (0) = 0, A’ (0) > 0 [77].

4. Применение арифметических операций и операций подстановки.

Новые виды функций образуются, например, путем перемножения функции Кобба—Дугласа и функции CES

У = Ay X41 HG? (Ay Ха" аа ХЗ)

(функция Сато в терминологии [11]). Используя операцию подстановки одной функции CES в качестве фактора для

другой, получаем двухуровневую функцию CES [77] ит. д. (cm. также 2.2.4

5. Использование различных шкал ‘измерения перемен-

ных. Возникающие при этом возможности рассмотрены в п. 2.2.3.

2.2.2. Прогностические функции и однородные двухфакторные производственные функции

Существует взаимно однозначное соответствие между двухфакторными однородными функциями данной степени однородности Y и функциями от одной переменной. Каждой функции f (x4, х.) степени однородности у соответствует функция от одной переменной g (r) = f (r, 1). Связь между функциями f (x, хо} и g (г) выражается соотношением

Ё (ж, хз) = x¥g (ж/х.). > (2.11)

Предположим, что } (x1, х.) является дважды дифференцируемой неоклассической функцией. Какие условия это накладывает на функцию g (7)?

Таким образом, функция f (x,, х.) не убывает по каждому аргументу тогда и только тогда, когда функция g (г) не убывает и темп ее роста не превосходит 7.

Условиям X7,, <0, Xieg <0 отвечают соотношения:

| g(r) < 0; (2.12) 9—0 8() — 24 — 1) re’) + Pg") <0. (2.13)

При условии g” (7) < 0 (вогнутость функции g) для выполнения неравенства (2.13} достаточно, чтобы

ding | 1 = —. dinr < =

Из (2.11), (2.13) вытекает также, что функция f (xy, хо) тогда и только тогда будет классической, когда функция 5 (г) не убывает и вогнута.

Функции g (г), удовлетворяющие таким условиям, часто используются для прогностической экстраполяции экономических показателей (см. [62]). Назовем их прогностическими. Каждой прогностической функции р (7) соответствует, таким образом, классическая функция

Ff (жа, Хх») = Xe (хх)

и (в случае, когда темп роста g (г) не превосходит 1/2) множество неоклассических функций вида

f (х:, Хз) — xg (x;/X_), где ding

sup <y<il. ,

dinr к? f

Каждой характеристике Yi, функции f соответствует

определенная характеристика функции g. Аналогом эла-

стичности замены факторов для функции в служит величина

gt (r) — Г g(r) ; dg’ (г) | rg’ (г)

Она показывает, на сколько пунктов изменится тангенс угла радиуса-вектора точки (г, g (r)) при изменении на один пункт тангенса угла касательной к кривой y = & (г) в точке г (ср. с интерпретацией эластичности замены факторов в п. 1.3.5). Можно показать, что так определенная величина о* (r} для функции в (г) совпадает с эластичностью замены факторов по Аллену для функции f (х, хо) = = хьв (х/хо), Т.е. of (г) = OA (гхь, хо) (при любом х.).

Класс функций с o’ = const состоит из функций вида

& (г) = ао (а, + г“) 11“,

где a, = | — I/o!, |

Нри ot — 0 функция g (г) стремится к функции g (г) = = а, min (1, г) (однофакторный аналог функции Леонтьева). Соответствие между двухфакторными однородными. производственными функциями и однофакторными функциями позволяет существенно расширить перечень видов несклассических и других однородных производственных функций за счет использования неубывающих прогностических функ-

4* 99

ций. В [62] описано {5 видов наиболее широко применяемых для экстраполяции прогностических функций. Каждой из них соответствует определенная производственная функция (их вид и характеристики приведены в [31)}.

С помощью описанной процедуры, используя широкий выбор прогностических функций с заданным характером поведения (наличие асимптот, экстремумов и т. п. [62, 65]), можно строить достаточно гибкие модели.

2.2.3. Шкалы измерения показателей и двухфакторные производственные функции

Список видов производственных функций можно расширить также, применяя преобразования показателей ресурсов и выпуска. Так, если дан класс функций F = = {РЁ (x, х.)}, то, применяя преобразования

ж —> Py (5), Xo — Po (Xo), у — Mo CY), (2.14)

где Фо, $1, Ф. — заданные неотрицательные монотонные функции, мы получим новый класс функций

С = {Ba а, х.)}, где Ba (5, х-) = Фо" (К (Pi 0), Pe (X2))). Например, исходя из линейной функции у = ах, + ах. + Ay (2.15) и применяя логарифмическое преобразование и — In и, x, — Ш x1, Хо. — Ш Хо, получаем функцию вида у == eto Хе Хо, т. е. функцию Кобба—Дугласа; применяя преобразование уши, хм, ж— V Xo, (2.16) получим функцию вида у = ха: Cea Xe,

Применение монотонных преобразований и —Ф, (и), Хх —> фи (х1), X%2 —> Po (х.) можно трактовать как изменение шкалы измерения. Измерение переменных в различных шкалах (часто в логарифмической или степенной} практикуется для выравнивания показателей, с разной скоростью изменяющихся во времени. Так, если показатели у и xy растут относительно быстро со временем, а показатель х. — медленно, применяют преобразование (2.16).

В данном случае преобразование шкал измерения показателей задавалось однозначно вне зависимости от модели

процесса. Однако возможны ситуации, когда сама шкала подбирается одновременно с построением модели процесса и содержит неизвестные параметры. Так, степенное преобразование с неопределенным показателем степени 6 вида yoy, x > x4, х, —>.х8 превращает линейную функцию (2.15) в линейно-однородную функцию CES:

== (Ay x + а» х8) 11°.

Если показатель степени для преобразования у — Yy% не совпадает с показателями преобразования х!, х., то получаем функцию CES произвольной степени однородности:

у = (а, хе + ay 8)! №.

Наконец, если различны все три показателя степени у > у, Xy — XT, х, > м, то в результате линейная функция превратится в функцию Солоу:

y= (а, хз + a, ха4) 1 19.

Особенно большое значение имеет подходящее шкалирование показателей в связи с вычислительными проблемами, возникающими при оценке параметров производственных функций. `Известно, что линейная функция наиболее проста для оценки параметров, и процедура их спецификации хорошо обеспечена как вычислительными методами и программами, так н математическими результатами.

Использование шкалирования переменных х — x =ф (x) существенно расширяет сферу применения линейных методов, позволяя рассматривать производственные функции вида

Po (Y) = QQ, (Xi) + 25$. (Xe),

где Py, “Py, ф, — различные числовые функции от одного переменного, удовлетворяющие условиям, налагаемым на шкалы. Заметим, что прогностические функции, приведенные в настоящей работе, могут фигурировать в качестве шкал для показателей.

Однако, если требовать, чтобы производственная функция была однородной относительно первоначальных переменных, то класс функций, получаемых из линейной функции в результате автономного шкалирования показателей, резко сужается. Пусть фо, (1, ф. — монотонно возрастающие дифференцируемые функции и и = Oo (а,ф, (x) + + азфо (х.)} =! (x, х›) — однородная функция степени

101

однородности y. Покажем, что функция f (а, х.) относится к классу CES. Предельная норма X%5,, замены для функции f имеет вид

я |S а2 Dn (Xe) 4 — 12 (1, Хз) = = 7 .

Поскольку } — однородная функция, X%3,, зависит только ь (x x

OT отношения х/х.. Пусть Pa (ха) = (=), где Wy — “AQ

Фу (x1) функция OT одного переменного. Полагая x, = 1, получа-

ем отсюда, чтотр (х,} = sac . Аналогично при x, = | име1) 2:6 0 sa) 9: (1% (+ Мы ему (-)= ——. Takum образом, : Xe} Фа (1) фу (4) фз (1)

= ар Е ). Решением функционального уравнения \р | [2 “1 = 2 №

| = cep (x) $ (--) в классе монотонных функций является,

х,\6

| как известно, стеленная функция ф (--) =a (2) ‚ где 2 2

а, 6 — константы. Поэтому ф, (х!) = x7, Po (X2) = 5х8, где Cy, Cg — некоторые константы. Интегрируя эти соотношения по xX, и X_, получаем, что ф,: (х,) = a,xpot! + Ay, Po (%_) = ах? + а, (при В == 1) и g, (4) = a Шх, + + dy, Po (х.) = а. In x, + 4. (при б = 1). Таким образом, имеет место один из двух случаев: ee С 1 (X;, Хо) = = фо" (ах +! Нах, et! -+ а), либо | (ж, хо) = фо" (п (x x

X ха) + 4). Так как функция f однородная "степени у, то в первом случае при А. >> 0 [ (Али, Ах.) = фо! (а (Аж) + + а. (Ах.)-2+!) = А”фо: (a,x). Подбирая такие 44 HX, что ах! ‚+ ах! = 1, получим, что фо: (А а) =

= АС" (1 + а) ‘для любого A>O. Если обозначить

A—o+1 + d через м, TO фо" (и) = ay (и — ден, где ay — постоянная. Отсюда } (x1, х.) = фо" (ах НТ ах -На)= У

=O (ах +!--а.х +)! . Во втором случае аналогичным

образом доказывается, что } (x1, X_) = ао (хаха: res,

Следовательно, если шкалы измерения показателей дифференцируемы и монотонны, то единственными однородныMH функциями, которые можно получить из линейных функЦИЙ путем применения этих шкал, являются функции с постоянной эластичностью замены факторов.

102

2.2.4. Многофакторные производственные функции

Один из наиболее естественных переходов от двухфакторных функций к многофакторным состоит в следующем. Рассмотрим двухфакторную функцию

у = Dy (%, №). (2.17)

Аргумент х. этой функции также будем рассматривать как обобщающий показатель, зависящий от двух других факторов Хз, Ха:

Xo = Po (Хз, Ха), (2.18)

где ф, — некоторая функция. Подставляя это выражение в формулу (2.17), получим трехфакторную функцию у = = P; (х1, Po (Хх, X4)), выражающую зависимость показателя у от аргументов Xj, Х., ха. Здесь удобно перенумеровать переменные: x, обозначить через Xo, х, — через x5. Тогда функция будет иметь вид у = ф, (%1, Po (хо, хз)). Этот процесс можно продолжить, считая, что х., в свою очередь, зависит OT х., Xs:

Хз = Pg (%, %5). (2.19) Подстановка этого выражения в (2.18) (после переобозначения переменных) дает уже четырехфакторную функцию у = Oy (%, Po (Xa, Pg (Xs, %4))).

В общем виде: если задана п — | двухфакторная функция Gy (x), Xe), Pe (Xs, ха), vee Dn-y (Хоз, Xon—2); TO Aфакторная функция у = f (хи, ..., Xp) может быть получена в результате их последовательной подстановки:

Fea, es Xn) = Фа (а, Po (Хо, «+s Ona pas Xn) -..)). (2.20)

Операция такой подстановки (суперпозиции) имеет очевидный экономический смысл: второй аргумент двухфакторной функции последовательно представляется в виде заBHCHMOCTH от показателей более низких иерархических уровней.

Нетрудно проверить следующие свойства операции суперпозиции:

а) если @y, ..., ф„—: — неубывающие функции, то f — гакже неубывающая функция; 6) если Po, ..., Ф,„— — линейно-однородные функции,

а @, — однородная функция степени однородности +, то fj — однородная функция степени однородности 7;

в) если ф:, ..., Pp — вогнутые неубывающие функции, то } — вогнутая неубывающая функция.

103

Таким образом, мы видим, что если двухфакторные функ ЦИИ Ф1, ..., Ф,—1 были неоклассическими, то полученная в результате их суперпозиции (2.20) функция { также является неоклассической.

Оказывается (это будет видно из дальнейшего}, что HaHболее распространенные виды многофакторных неоклассических производственных функций естественным путем могут быть получены с помощью суперпозиции (2.20) видов простых двухфакторных производственных функций.

Для произвольных функций OT л переменных справедливы утверждения, показывающие, что класс функций, представимых в виде сулерпозицни произвольных двухфакторных функций, достаточно широк. Доказано [6], что всякая непрерывная функция { (xy, ..., х„)гот п переменных при п > 4 представима в виде суперпозиции непрерывных функций от трех переменных. В свою очередь, каждая непрерывная функция от трех. переменных может быть получена как суперпозиция функций от двух переменных. Следует иметь в виду, что функции фу, Фо, ..., Фо. В таких суперпозициях могут быть, вообще говоря, весьма сложными. Отметим также следующий интересный результат [39]: любую непрерывную функцию от двух переменных можно с любой заданной точностью аппроксимировать суперпозицией непрерывных функций от одного переменного и функWHH Y = X, + Xo.

Приведем перечень и некоторые характеристики наиболее часто применяемых классов многофакторных производственных функций, располагая их в порядке возрастания сложности записи и соответственно соотношения между числом параметров и числом факторов.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (функция Леонтьева)

y=min (=... =" |. (2.21)

ay nf

Предпосылки, выделяющие эту функцию, следующие: а) функция реализует решения следующей задачи линейного программирования:

ау <=, (2.22) Yy — max

где у — оптимизируемая переменная; 6) функция является пределом функции

: и 81 a an . при b> — oo; 104

B) функция однородна, первой степени и эластичности замены между любыми двумя факторами равны нулю: А M O77, = 0;; = 0.

Представление функции Леонтьева в виде суперпозиции (2.20) реализуется также функциями Леонтьева от двух аргументов:

. ‘x Xo . Pi (ху, x) = min ( aa = } =... П— 1. ati @;--1

2. Функция Кобба— Дугласа Y == Ay Жи... KON, (2.23)

В классе дважды дифференцируемых функций выделяется следующими системами предпосылок:

а} Xb: (ж, ..., Xp) = а, 6 = [,..., п. (2.24)

Это условие означает, что процентный прирост выпуска, вызванный изменением :-го ресурса на один процент, не зависит от того, каковы были первоначальные размеры ре-

сурсов. Эквивалентной системе (2.24) являются также следую-

щие системы равенств, характеризующие функцию Кобба— Дугласа:

9х2, 6) 0, i fal ny (2.25) дх;

Последнее равенство интерпретируется как пропорциональность абсолютного прироста выпуска от увеличения ресурса на единицу средней отдаче от единицы этого ресурса. Или, короче, предельная производительность ресурса пропорциональна средней его производительности;

г) функция однородна и эластичность замены (по любому определению} между любыми двумя факторами равна единице:

O;= 1,4, f= 1, .., a, [52 |.

Функция Кобба—Дугласа получается как cynepno3n-

wun (2.20) следующих двухфакторных функций того же вида-

(Po (Xo, Хз) = ха" (аз +... Нан) хоз / (=... +в»).

а — Ка — ra 2 a, 4-a Фи-1 (Хи-ь Ха) =X PF} (4n—1 Tn) хат! n—-174n)

105

3. Линейная однородная функция gy = Я -- rae + Я „Ал. (2.27) В классе дважды дифференцируемых однородных функ-

ций ее однозначно характеризуют следующие системы предпосылок:

а) Xt, = а, Ё = [, п. (2.28)

Это означает, что прирост вылуска от роста каждого из ресурсов на единицу постоянен и не зависит от того, каковы были их первоначальные размеры; Интерпретация такая же, как и для (2.28);

в) функция однородна, первой степени и Of; = о = =— Ww.

Линейная функция является суперпозицией (2.20) ли-

нейных двухфакторных функций: Py (2, Xo) = GX, + Xo; Po (Xq, Хз) = ах, + ах;

. . .

Pn—1 (Xn~1, Xp) = An—1Xn~1 + AnXn-

4. Функция с постоянной эластичностью замены факторов по Михалевскому (функция CESM)

у= (а, хп... pa, хп Рича. (2.29)

Среди трижды дифференцируемых однородных функций (2.29) выделяется условием:

а) о;; = const, i, j=l, ... a, #52].

Эквивалентными при m >> 2 являются также условия:

6) of зависит только OT %, ..., Xn’

B) Хз: (x,, ..., Ха) зависит только OT ~x;/X;.

Иными словами, соотношение между приростами выпуска, связанными с увеличением на единицу f-ro и |-го pecypсов, полностью определяется соотношением объемов этих

ресурсов. В виде суперпозиции (2.20) она представляется с помо-

щью функции того же вида:

Po (X2, Хз) = (a, хот + дати) авт,

ъ a . . . ` e » ° . e °

a,,. a Lja 1 Pn—1 (Хп-1» Xn) = (Qn—1 Xn + an хат-+1) п-т.

106

5. Ограниченная функция CESM

у= тт (=, ak, (Gna Хр +... + а» xan tsyints), (2.30) ay ah

Значение функции определяется в зависимости OT уровня переменных хи, ..., хи и общего уровня группы переменНЫХ Хуа, ..., Хл. Между переменными x), ..., Хи и группой остальных переменных отсутствует взаимозаменяемость, и если объем каждого ресурса x,, ..., хх достаточно велик, то выпуск определяется переменными хь.1, ..., Xn, ЭЛастичность замены между которыми предполагается постоянной. Характеристики этой функции аналогичны характеристикам функции СЕЗМ, если ее значения не превосходят пороXk ap го порога «включается» функция Леонтьева.

Ограниченная функция CESM представляет решение задачи линейного программирования

[7] . x говой величины min (=, ...) ). В области превышения это1

QYyY Х,,

By Y Хь, а а, \@ чо | YS (Gnas xn! +... 4p x” Ht) nts,

y— max

относительно переменной у.

Представление ограниченной функции CESM в виде суперпозиции двухфакторных функций (2.20) задается функЦИЯМи

. x Аз фи жд = min A | =); Qy Qo

‚ xX} Фи (Xp, Xpqa) = Min (=. Xp =} he.

а а Чп--2 . Prt (Snr Хы) = (ан xa xnty)

Ont Фи (пл, Xn) = (а, xonta + Gy, xen) mo

107

первые к из которых имеют вид двухфакторных функций Леонтьева, остальные — функции CESM. Аналогичным образом строятся ограниченные функции Кобба—Дугласа и ограниченные функции других видов. 6. Функция Солоу

y= (ay x8) +... Нах". (2.31)

В классе дважды дифференцируемых функций функцию Солоу характеризуют следующие условия:

b,—1 при k=l; = 1—6; при =] i,j, k=1,...,n; (2.32) 0 при вУЬ j.

Иными словами, предельная норма замены i-ro ресурса j-m не изменяется при увеличении других ресурсов, а ее процентный прирост от увеличения {-го или {-го ресурсов на один процент не зависит от первоначального количества соответствующего ресурса.

Функция получается с помощыо суперпозиции следующих двухфакторных производственных функций Солоу:

dn x34;

Фа (X45 Xo) = (Ay 0°! х.)"; Po (Xz, Хз) = Ag x8 Хз,

b @n—1 (Хиль ¥n} = @в—1 xh

я Нах п.

Перечисленные выше виды функций 1—6 получены из «элементарных» двухфакторных производственных функций путем последовательной суперпозиции (2.20). Здесь переменные агрегировались, начиная с х„-1 и Xp, путем последовательного присоединения к уже агрегированным аргументам переменной x;, Е = п — 2, ..., lL.

В некоторых случаях удобны другие формы агрегирования переменных, представляющие функцию в виде суперпозиции двухфакторных функций. Tak, переменные x, ...,

‚ хи можно разбить на ряд групп, которые независимо агрегируются в новые переменные. Впоследствии из этих переменных строится результирующая функция.

Представление функции в виде суперпозиции такого рода удобно, в частности, для многофакторной функции с постоянными эластичностями замены по Аллену.

7. Функция с постоянными эластичностями замены факторов по Аллену (функция CESA)

108

т Ve

xe) be be у = (а, ха --...-К ав, XR (ах. . я + а, xB) х ... Yo+y X (a, xfetit Ра, хе Pst 2.33 Rs ke teh Roy ' ( у )

rye №, < й. <... Аман, Данная функция выделяется в классе однородных дважды дифференцируемых функций условиями

А би (х.,..-, Xn) =

‚ если А, < {<}, для некоторого Fr;

— г

1, если К, << ^,.. <] ANA некоторого г.

Таким образом, эластичности замены по Аллену между любыми двумя факторами, попавшими в одну группу с номером г, равны 1/(Е — 6,), а попавшими в разные группы —I

Используя двухфакторные функции Кобба—Дугласа:

ale № 1 s+

bo Be tet фа (%, Х5) = Хр XQ" sh.

КА | qe (ен Dy ь. 6-1 } bg bs bony } фа (хо, Хз) = Xe Хз

Ps [( + "+1 Vets [ (G+ т; bs bs sty st bs Bsty

Ps (Xs, X51) = Xs Xs +

и двухфакторные функции с постоянной эластичностью замены:

Ха (X1, хз) = (ay хе: + х8:}; * фа (X25 Хз) == Ay хх;

— $ O41. Фа, 1 (Ян, -1 Xn) = @л,—1 Хы, + ap, Xe

. .

x, Ys

= b = stro

можно получить функцию CESA в виде суперпозиции двухфакторных функций.

109

Наконец, возможен способ агрегирования, при котором в образовании новых переменных участвуют каждый раз все исходные переменные x, ..., X,, после чего группируются полученные агрегаты.

Функция, отвечающая такому способу агрегирования переменных, имеет, например, вид

у =D (1 (1, Pe (Xay.005 ®n —1 (Xn—v Хр)... .)), фл (Ха, Фо (X2)-045 Фи (Хп-ль Xn)---))). (2.34)

К числу таких функций относятся, в частности, многорежимная функция и «параллельная» функция Леонтьева. 8: Многорежимная функция

Y= (ayy 2h +... ban en PL... ... (а she ay, а ln (2.35)

Этот класс функций позволяет моделировать различные режимы производственного процесса (см. [38]}.

Функция (2.35) представима в виде суперпозиции двухфакторных функций с постоянной эластичностью замены и двухфакторной функции Кобба—Дугласа.

Многорежимная функция представляет собой один из наиболее общих видов дифференцируемых однородных многофакторных производственных функций, используемых в настоящее время в экономико-математических расчетах. Приведем один частный случай многорежимной функции для иллюстрации ее свойств. Пусть

у = (x82 — (ах x4)"2)—* (x92 — (а хе)... с. (т — (а tq)’, (2.36)

При be, ..., On < 0, ae, ..., аа > 0 функция (2.36) обладает следующими свойствами:

а) если = >, — ‚т >. —, то функция близка к степенной функции y= Ax, bt. ‚+8, и слабо зависит OT Xo, ..., ory Ад’

6) ели *«-, ..., = «_—, то функция близка к

x O2 +1 an b b функции Кобба—Дугласа у = apXo* ... Xn" OT переменНЫХ Xo, ..., X, И слабо зависит OT Xj. Иными словами, если ресурсы хо, ..., Xp избыточны по

отношению к х1, то х, является лимитирующим ресурсом и функция близка к функции от одного переменного x. Наоборот, если ресурсов х., ..., X_, недостаточно, то все они

110

влияют на значение функции, а сама она близка к функции Кобба—Дугласа.

10. «Параллельная» функция Леонтьева

у ти ( м pee? xn р-н. pin (=

Qiy ain

n (2.37)

ahi akn отражает процесс, в котором объем выпуска складывается из выпусков А параллельных производственных процессов с фиксированными пропорциями факторов, использующих общие ресурсы. Функция (2.37) может быть записана с помощью суперпозиции двухфакторных функций Леонтьева и функции ф (x1, х.} = м + Xp.

2.2.5. О классификации видов производственных функций

Проблеме классификации видов производственных функций, возникающей в связи с необходимостыо наиболее полного учета характеристик и особенностей объектов моделирования, в настоящее время посвящена обширная литература. Приведем (без доказательства) ряд результатов, характеризующих вид производственной функции в зависимости OT условий, налагаемых на эластичности замены между i-M и /-м факторами. При этом в качестве классификационных будут использованы три показателя эластичности замены факторов для п-факторных функций (см. п. 1.3.6): эластич-

ность замены факторов по Аллену of, по Михалевскому ой и яд замены факторов при x, = const,

kx i, j, 5} (по Мак Фаддену).

Теорема 1 [83]. Пусть у = f (xy, ..., x,) — неотрицательная трижды непрерывно дифференцируемая классическая функция. Если для любой пары, факторов х:, х; {i 52 ]) эластичности замены по Аллену Oj; постояйны, т. г. не зависят от х,, ..., Хи И не все равны 1, то функция f име-

ет вид (и (Be ote 8) 2.38) REN, REN,

где о», В, — постоянные параметры, В; = 0, М,,. ..., М, —

непересекающиеся подмножества множества {1, ..., п},

такие, что М, |]... UN, = {1, ..., п}. | При этом

|, если i, fj принадлежат разным

oh = подмножествам из числа Nj,..., №: ij}

| . ———_, если i, jE М, при [Е {1,.... 2}. В ГЕ Мь при [Е { } aw

Теорема 2 [36]. Пусть y =f (4, ..., *,) — неотрицательная трижды непрерывно дифференцируемая функция степени однородности у, число факторов которой больше двух. Если для любой пары факторов х;, x; (i = }} эластич-

ности замены факторов по Михалевскому 01 зависят толь-

ко OT х,, ..., Xp, TO все ory постоянны, равны между собой, а функция имеет вид

_~ _ в у=(а, хг® +... На, х, *) (2.39) ИЛИ у а. -...-+а Y == Ay (x21... xen) : oe где Qo, ..., 4», В — постоянные параметры, причем В 54 0.

Первый случай имеет место, если at == |, и тогда о! = = I/(1 + В) для любых #52}, второй — если of = 1,

Теорема 3 [72]. Пусть у =f (х, ..., х») — неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая классическая функция, причем на положительном ортанте ее первые частные производные положительны. Если для любой пары акторов x;, x; (1 => ]} эластичности замены факторов по Mak Фаддену on постоянны, TO функция неявно записывается в виде

“ П (“2 ) пе (П (= =! (2.40)

keN,\ Я / hen, ¥ HAH a 1] (= ae П (A) =, keN,\ ¥ ken, \ ¥ где а, ..., @, В — постоянные параметры, В 34 0; Ny, ...,

... М, — Непересекающиеся подмножества множества {1,... п}, такие, что М, U ... UN, = {1, ..., в}. Прн этом

1, если i,j€ М, для некоторого РЕ {1,..., п};

roe если :, / принадлежат разным подмноже-

ствам из числа М№,,..., Ns.

Г v ~A Первый случай имеет место, если хотя бы одна о; = |, BTOо ™A рой — если все ох; = |.

112

Из классификационных результатов для двухфакторных функций приведем общий вид неотрицательной дважды непрерывно дифференцируемой функции степени однородHOCTH y с заданной эластичностью замены по Аллену и Ми-

халевскому oA (=) = ом (2) (см. [36]):

Ха: Xs

y= a,x" X

xexp / — <2

xy xy

° \

d (<> Xs x 1 GA 4) Xe }’ здесь a, а, — постоянные параметры. Для линейно-одно-

родных функций с заданной эластичностью замены факторов аналогичная формула приведена в [80].

x Xe

2.3. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

2.3.1. Общие свойствз области определения промзводственной функцим

Согласно формальному определению производственной функции конкретного объекта ее областью определения слуэкит множество М, получающееся в результате аппроксимации области определения D агрегированной технологии т. К области М предъявляются следующие основные требоваНИЯ:

а) включать только точки пространства R", отвечающие допустимым для данного процесса значениям показателей ресурсов, при этом функция } должна быть близка к функции, T («допустимость» и «адекватность»;

6) включать все точки пространства ресурсов, в которых согласно условиям задачи необходимо вычислять объем выпуска продукции («эффективность»).

Согласно условию а) в множество М включают точки, наиболее характерные для данного производственного процесса. Особое внимание при этом должно уделяться пропорциям (соотношениям) между отдельными видами ресурсов. Если для данной точки х Е К" эти соотношения сущестзенно отличаются от тех, которые свойственны фактически наблюдавшимся значениям ресурсов, то точка х, как праBHO, не включается в множество М, поскольку в произ-

113

водственной функции должны отражаться не случайные, а закономерные черты данного процесса.

Полное соблюдение требований a) и 6) к множеству М обычно недостижимо, в какой-то мере они противоречивы. Чем шире область определения производственной функции, тем, как правило, ниже общая степень аппроксимации. С другой стороны, чрезмерное сужение области определения снижает эффективность модели, так как не позволяет выполнить цели моделирования. []оэтому реальная область определения построенных производственных функций всегда является результатом компромисса между «допустимостью», «адекватностью» и «эффективностыо». .

Отметим некоторые инструментальные требования к O6ласти определения производственной функции:

в) множество М должно быть ‚задано таким образом, чтобы в каждой его точке можно было вычислить значение производственной функции f («вычислимость»);

г) 8 качестве областей определения производственных функций мы будем рассматривать, как правило, открытые* подмножества пространства Ю” или открытые подмножества с присоединенной точкой x = 0 (предполагается, что если точка х.Е К" является допустимой, то такими же будут и все близкие к ней точки).

Производственная функция } обычно строится, как указано вп. 2.1, вдва приема: сначала определяется ее вид, т. е. параметрический класс F = {f,}, а затем с помощью оцен-

ки параметров а находится функция f = };. Подобным обра-

зом может строиться и ее область определения: сначала определяется ее «вид», т. е. параметрический класс множеств Q = {M,}, затем путем оценки параметров по определенному критерию из него выбирается наилучшгая область опре-

деления М = М;. При этом вид области определения М

(т.е. ее конфигурация) тесно связан с видом самой функции {.

Выбор вида и размеров области определения производственной функции является весьма ответственной задачей. Несколько сгущая краски, можно сказать, что нет плохих производственных функций — есть плохие области определения. Вопрос об однозначном выборе области определения далек от окончательного решения. Можно отметить следующие подходы:

1} эвристический. В качестве области определения берется множество одного из указанных видов исходя из экс-

* Множество М < АП называется открытым, если у каждой точки хС М существует — окрестность (множество точек, отстояЩИХ OT не более чем на =), целиком лежащая в множестве М.

114

пертной информации о предполагаемых значениях показателей ресурсов в течение моделируемого периода;

2) вероятностный. На основе статистических данных в пространстве ресурсов строится «доверительная» область изменения значений показателей ресурсов, после чего в качестве области определения выбирается наименьшее из множеств M,, покрывающее «доверительную» область;

3) теория нормальной ‘области. Этот подход основан на качественном анализе структуры пространства ресурсов и последующей оценке параметров границ так называемой нор_мальной области, т. е. области, включающей в себя точки,

‚для которых характерны нормальные пропорции между раз-

мерами ресурсов. По нашему мнению, корректное использование подавляющего большинства неоклассических производственных функций возможно только в нормальной области. Методы анализа и определения границ нормальных областей для различных классов и производственных функций излагаются в п. 2.3.4 и 2.3.5.

2.3.2. Области определения неоклассических производственных функций

Область определения неоклассической производственной функции должна обладать рядом специфических свойств, дополняющих требования а)—г) п. 2.3.1. Эти свойства связаны с «неоклассическими критериями» производственных функций (см. п. 1.3.4): а) множество М вместе с каждой точкой х должно содержать все точки вида х’= Ах, где А, > 0; 6) множество М должно быть выпуклым, т.е. вместе с каждыми двумя точками x’, x” содержать все точки вида Ax’ + (1— A) x", где 0 <^<1.

Первое условие отвечает неоклассическому требованию однородности производственной функции, так как об однородности функции имеет смысл говорить только в случае, когда AM <- М при любом A > 0. Второе условие носит по существу интерполяционный характер: если две точки x’ и х” являются возможными значениями показателей ресурсов, то возможными также будут все «промежуточные точки» отрезка, соединятощего их. Принадлежность этих точек области определения функции также используется при формулировке условия вогнутости неоклассической производственной функции.

Вместе с условием г) п. 2.3.1 приведенные два условия выделяют класс выпуклых конусов в неотрицательном ортанте п-мерного пространства R®. Каждый такой конус К будет открытым множеством, если из него исключить точ-

115

ку х = 0*. Области именно такой конфигурации мы будем в дальнейшем считать областями определения неоклассических производственных функций и называть неоклассическини областями.

Приведем некоторые сведения об открытых выпуклых конусах в п-мерном пространстве, полезные при выборе вида области определения неоклассической производственной функции.

Открытый выпуклый конус в N-MepHOM пространстве, как и любое другое множество, аналитически может быть задан в виде множества точек х = (х1, ..., х„) 6 Кл, удовлетворяющих неравенству

Н (%, oy Me) 50, _ (2.41)

где ff — некоторая функция OT nm аргументов. При этом если в точке х Е R* Н (x) < 0, то и во всех точках вида Ax, где A > 0, также должно выполняться условие Н (Ах) < 0. Кроме того, если Я (х’) COU (x")< 0, т Н (хх < < 0. Таким условиям удовлетворяет однородная субаддитивная функция**.

Если однородная функция Я (х} субаддитивна и принимает как отрицательные, так и положительные значения, то степень ее однородности равна единице. Действительно, пусть ff (х') < 0, Н (5) >0. Так кк Ни» = = 2VH (x) < 2H (x) для любого x, то при x = x’ получаем, что 27 < 2, при x = x” — что 27 > 2, откуда у = 1.

Каждой линейно-однородной субаддитивной функции от п переменных Я (x,, ..., X,) соответствует в пространстве Ю" открытый выпуклый конус К, состоящий из точек х = = (1, ..., X,), для которых Н (x) < 0.

Сечение выпуклого конуса BR гиперплоскостыо (т. е. пространством размерности п — 1) является выпуклым множеством [54]. С другой стороны, если в Ю*—! задано выпуклое непустое множество М, то ему соответствует конус в п-мерном пространстве Ю", получаемый путем соединения всех точек множества М с началом координат х = 0. Если R*—-! представлять как гиперплоскость, состоящую из TOчек вида (1, х», ..., Xn), то конус К, соответствующий вы-

* Образующееся после такой операции множество мы в дальнейшем будем называть открытым выпуклым конусом, хотя, строго говоря, конусом оно не является.

** Функция H (x) называется субаддитивной, если Н (x'+x")< <Н (x’) + H (x) при любых x’, x”, х + x", принадлежащих области определения HH.

116

пуклому множеству M < А7-!, задается как множество точек

К= {(Xq, Жахь,.. Xp Xn) Е В" | (Xa,.--, Xp) € М} (2.42) или, что то же самое,

К= [6 Hay. Xn) Е К | (=... =e м}

Обратная операция сопоставляет конусу К < R® множество

обще г говоря, если ал не х, а какую-либо другую переменную, сечения будут иными. Для определенности мы всегда будем под сечением конуса понимать его пересечение с гиперплоскостыо x, = 1. Таким образом, между выпуклыми конусами в п-мерном пространстве, не лежащими в (п — 1)-мерном пространстве, и выпуклыми множествами в (п — 1)-мерном пространстве имеется взаимно однозначное соответствие.

Если ДН (x%, ..., ха) — дифференцируемая вогнутая функция и a == 0, то множество

K= {н.в REA (Xp. Xn) <0} (2.44) может быть также ‘задано в виде

где @ — выпуклая, а Е. — вогнутая функции. Рассмотрим примеры выпуклых конусов. В случае п = 2 всякий выпуклый конус может быть представлен в виде

К = {(%, Xa) € R2 layxy < х.} (2.46) или в виде

К = {(хл, ха) € К | Oy х < х, < ах}, (2.47)

где Q,, а, — неотрицательные константы, причем ао = 0. Таким образом, всякий двумерный выпуклый конус ограничен лучами хо = ах, Хх. = ах. Если допустить, что а, может принимать значение GQ, = со, TO открытый выпуклый конус можно представить также в виде

К = (1, X3) Е

(2.48)

Прил > 3 выпуклый конус, не лежащий целиком в пространстве размерности п — 1, образованном точками (0, Xo, ..., Хя}, Определяется своим сечением в точке xX, = I.

117

h Ks a) А X3 6)

Puc, 2.13

Если выпуклое множество в сечении x, = 1 задается как множество точек, удовлетворяющих условию Н (Xp, Х., ..., ..., Xp) < 0, где A — некоторая функция, то конус К имеет вид

K= {On Xn) € В" ин oo =) <o}.

xy xy

Рассмотрим наиболее важные частные случаи.

|. Линейный конус

К — {(%, vey Xn) Е Re м + AX + eee + Я, < 0}, (2.49)

118

где а, ..., а, > 0. Здесь Н (xq, ..., Xn) = — 1 - ах. + +... + а,х,. Конус ограничен плоскостями положительного координатного угла, содержащими ось х, и плоскостью

х = ах. +... + ах (2.50)

(рис. 2.13, а). Конус определяется п — 1 параметром. 2. Многогранный конус общего вида

К = {(%, ..., Xn) ERG ах, +... + ах, < 0, {= =1,... $}. (2.51)

Конус образован пересечением полупространств ах, +- <... 4+ aint, <0, i = 1, ..., $ (рис. 2.13, 6), а функция Н имеет вид

1<2<‹

В сечении при x, = | получается выпуклый многогранник произвольного вида. При $ = 1, а: < 0, а. > 0, ... ..., Qj, >> 0 многогранный конус является линейным. В общем случае многогранный конус определяется (Ss Х п)-матрицей параметров (а;;).

3. Прямоугольный конус общего вида

К = {(%, ..., Xn) 6 RG Ваз < х, < ма», .., Ha < <= Xy <= жал}, где a;; > 0. Конус является одним из видов многогранных конусов. В сечении x, = | возникает параллелепипед, задаваемый ABYCTOPOHHHMH ограничениями на переменные

Ха, evry Хи: 491 < Хо < Ang, ..., Any < Xn < Ane (рис. 2.13, 8). Конус К допускает также запись

K= [Gi Xn) € Ry, | max [ м. =) < Goo ane < < min | 2.0, }}. (2.53) @21 Any

4. Ограниченный прямоугольный конус

К = {(%, soy Xn) | Ry IXQo. > Хэ, vey жал: > Хх},

где Ago, ..., Ang > 0, является частным случаем прямоугольного конуса при а, =... = аа: = 0. Параллелепипед, возникающий в сечении, примыкает вплотную к плоCKOCTAM хо = 0, ..., X, = 0 (рис. 2.13, г). Конус К допускает запись в виде

К= (м... же К-ж + тах ( 28. п ) < 0]. (2.54)

Qee ang

119

Ограниченный прямоугольный конус зависит от л — } параметра.

5. Круговой конус К == {(%,...› Хи) € RY | xT + (аж)? ...- (ах, < 0} (2.55)

ограничен координатными плоскостями и поверхноCTbIO

ж=а(ха-Н...-- х 2. (2.56)

В сечении x, = | образуется сектор шара раднуса 1/а (рис. 2.13, д).

Функция Н для него имеет вид Н = x3 --... + x2 —

— l/a. Конус определяется одним параметром. 6. Эллиптический конус

+. (dy < 0} (2.57)

является обобщением кругового. Отличается от него тем, что в сечении X, = | вместо сектора шара появляется сектор эллипсоида. Конус определяется п — | параметром.

7. «Сплющенный» эллиптический конус

К= {(ж,.... Xp) € Ва |-— хх +... +a, < 0}, (2.58) где ао, ..., а, > 0, В SO, представляет собой дальнейшее обобщение эллиптического конуса. В сечении x, = | получается сектор эллипсонда, как бы «сплющенного» со всех

сторон (рис. 2.13, е). Ограничен координатными плоскостями н поверхностью

x, = (а, x8 +... +4, xf)" (2.59) _ При. В =! получаем линейный конус, при В = 2, а, = =... = а, — круговой, при В — со — прямоугольный

ограниченный конус. Конус определяется л параметрами.

8. Ограниченный конус общего вида. Ограниченным назовем конус

(2.60)

где Н (x, ..., X,») — неотрицательная неубывающая по кажnol координате функция, определенная при xX, > 0,

, x, 20. Конус ограничен координатнымн плоскостями и | поверхностью х = HA (xe, ..., Xn). Характерным для этого конуса является то, что всеми его гранями, кроме одной, служат части координатных плоскостей, содержащих ось x,. Прямоугольный конус (2.53) является ограниченным, если 454 = 00, ..., Ang = 00. Линейный, круговой, эллип-

120

тический и «сплющенный» эллиптические конусы также являются ограниченными.

Отметим, что все приведенные классы конусов сформированы по характеру сечения при x, = |. Если рассматривать другую ось, группировка конусов изменится.

Поверхность (2.59), ограничивающая «сплющенный» эллиптический конус, определена функцией вида CESM с эластичностыо замены факторов Xo, ..., х„, равной с = = 1/ (1 — В) ` (поскольку В >1, то o< 0). Линейный, прямоугольный ограниченный, эллиптический конусы и различные классы сплющенных эллиптических конусов могут быть получены из общего вида (2.58) путем задания уровня эластичности замены факторов OA для функции H: прямоугольный ограниченный конус — в = 0; эллиптический конус — о = —1; линейный конус — 0 = oo.

Полезно ввести для общего ограниченного конуса (2.60) понятие эластичности бк как эластичности замены факторов по Аллену выпуклой функции Н (х., ..., x,). Тогда абсолютная величина ок показывает степень изогнутости «крыши» конуса — некоординатной поверхности, ограничивающей конус. Чем меньше [ox], тем более изогнута эта поверхность (см. рис. 2.14).

Характеристика эластичности поверхности конуса бк используется при выборе конфигурации области определения пронзводственной функции и связана с эластичностями замены переменных производственной функции O;; (f). Так, из изложенного далее будет ясно, что если G;; (1) = ов для

любых [52], то ок = —O.

2.3.3. Понятие и основные свойства нормальной области пространства ресурсов

Рассмотрим более детально структуру пространства ресурсов D = p (Res), каждая точка которого соответствует вектору значений показателей ресурсов хи, ..., х„. Для многих производственных систем характерно определенное соотношение между используемыми ресурсами. При этом пропорции между показателями различных видов живого и овеществленного труда задаются не однозначно, а в виде определенного интервала допуска, в пределах которого находятся соотношения между ресурсами при нормальном протекании производственных процессов.

Если соотношение ресурсов находится вне пределов это-

го интервала, то производство, возможно, будет функционировать, однако ресурсы будут использоваться неэффективно и производственный режим будет нестабильным. Вве-

121

дем следующее определение: точку х = (xX, ..., X,) ED будем считать нормальной, если соотношение между координатами x, ..., X, с учетом взаимозаменяемости ресурсов отвечает нормальным условиям производства. Множество нормальных точек N назовем нормальной областью.

Если точка х ЕД не принадлежит нормальной области, это означает, что либо какой-то ресурс или группа ресурсов присутствует в избытке, либо какого-то ресурса не хватает. Таким образом, множество D можно разделить на два подмножества: точки, соответствующие нормальному соотношению между ресурсами, и точки, в которых какой-либо ресурс или группа ресурсов имеется в недостаточном колиyecTBe или в избытке. coe

В большинстве случаев корректное использование производственной функции допустимо имённо в рамках нормальной области №. Однако объективное определение ее конфигурации и границ является достаточно сложной задачей и требует особых методов, основанных на анализе свойств нормальной области. Рассмотрим некоторые из этих свойств (более подробное обоснование см. в [30]).

В пределах нормальной области можно считать, что показатели отдельных видов ресурсов (Xj, ..., х„) независимы, т. е. между ними нет точного функционального соотношения. Это позволяет рассматривать N как открытое множество в пространстве А” и придавать содержательный смысл любому малому изменению x -+ Ах точки x Е М (если x принадлежит М, то x + Ах также принадлежит N при достаточно малом Ах).

Поведение агрегированной экономической технологии т в различных подмножествах ее области определения D различается. В условиях дефицита одного из видов ресурсов по отношению к остальным его увеличение должно, надо полагать, привести к значительному приросту продукции. Наоборот, в случае его избытка эффективность его увеличения должна быть близка к нулю.

Если число ресурсов равно двум, то все множество D можно разделить на три подмножества: В = NU 5 do, где М — нормальная область; /, — область избытка второго ресурса; J, — область дефицита второго ресурса. При этом область избытка первого J, ресурса совпадает с областью дефицита второго /, и наоборот. Обозначим через ey (хи, Xo) какую-либо характеристику эффективности малого увеличения второго ресурса при условии, что начальной была точка X,, х. (если функцию т считать дифференцируемой, то в качестве в, (X,, х.) может быть взята частная (логарифмическая частная) производная TNO х., в противном случае—

199

соответствующая конечная разность). Тогда различие в поведении функции т в областях J, /›, N можно выразить соотношением ey (X;, х.) <е, (Xi, х2) < ey (х1, хз), если (xy, Хх) Е Г», (x1, x9) | М, (x1, x9) Е J 9.

В принципе это соотношение должно быть справедливо при любой разумной функции е (x). Однако для разных характеристик неравенства могут проявляться более или менее отчетливо. Наиболее предпочтительными оказываются характеристики, подобные логарифмической производной; в этом случае увеличение второго ресурса на один процент приведет к наибольшему приросту выпуска в области недостатка второго ресурса и наименьшему — в области его избытка.

На основании изложенных свойств нормальной области далее определим ее конфигурацию и метод оценки параметров ее границ.

2.3.4. Конфигурация нормальной области для двухфакторных производственных функций. Двухфакторные многорежимные функция

Для двухфакторных технологий т принадлежность точки X = (х1, Xo) нормальной области определяется величиной отношения‘ х›/х! (или x,/x,). Если отношение хо/х, слишком мало, то количество второго ресурса недостаточно для нормального функционирования процесса и х = (ху, Xa) принадлежит области дефицита второго ресурса. Наоборот, если х./х! слишком велико, то (x,, х.) принадлежит области избытка второго ресурса. Таким образом, нормальными являются точки X = (хи, Х.), удовлетворяющие условию

ax t<b, (2.61) x1

где a, 6 — некоторые константы, свои для каждого моделируемого процесса. Иными словами, нормальная область в двумерном случае является открытым выпуклым конусом. Оценивание параметров a, 6, определяющих границу нормальной области, может производиться в принципе двумя путями. Во-первых, с помощью анализа фактических значений ресурсов за ретроспективный период и выделения точек, резко отличающихся от остальных NO пропорциям координат. При таком подходе выводы о структуре пространства ресурсов базируются только на информации OO использовавшихся ресурсах. Однако этот способ обычно не приводит к желаемой цели, так как часто соотношения между ресурсами испытывают определенный дрейф, стирающий

123

границы между областями дефицита, избытка, нормальной областью. Второй метод, излагаемый ниже, существенно использует не только фактическую информацию о ресурсах, но и информацию о выпуске продукции. При этом параметры нормальной области оцениваются одновременно с параметрами производственной функции.

Согласно п. 2.3.3 отдача от увеличения ресурса различна в зависимости от того, принадлежат ли ресурсы к области избытка, дефицита или нормальной области. Примем в качестве меры эффективности увеличения ресурса характеристику ез (хи, хз) = X2e (хи, х.) производственной функции, приближенно показывающую, на сколько процентов изменится значение функции при изменении количества ресурсов х. на один процент (эластичность выпуска по х.)}. В случае л = 2 нормальная область по своей конфигурации представляет собой выпуклый конус в пространстве ресурсов, которому однозначно соответствует интервал изменения отношения х./х.. Для однородных функций характеристика X20 (х:, х-} на самом деле зависит только от отношения X,/x,. Поэтому область J, дефицита ресурса х.

Хо образуют точки, для которых > <4, область избытка Г. — 1 Xx точки, для которых oa > $, нормальную область — остав4

х шиеся точки, удовлетворяющие условию а < — < 6, где 1

а < 6 — некоторые константы. В итоге получаем следующее описание поведения функции т: X29 Begg? Ml ct cy? Uh x4

Теперь перед нами стоит задача построения производственной функции, которая: 1) отражала бы всю имеющуюся информацию о характере технологии в нормальной области; 2) для некоторых значений параметров а < b удовлетворяла бы условию (2.62).

Как отмечалось выше, обычный способ построения производственной функции состоит в выборе наилучшей аппроксимирующей функции из параметрического класса Е = {f}. Предполагая, что среди элементов f Е F существует дифференцируемая функция, достаточно адекватно аппроксимирующая технологию на множестве М, мы построим

новый класс функций F = {fF}, который удовлетворяет следующим требованиям:

а) функции Ё Е F определены в достаточно широкой области положительного ортанта, охватывающей предпола-

(2.62)

№ х

Xe 1

124

гаемую нормальную область, однородны и дважды непрерывно дифференцируемы;

6) для любых чисел a < В в классе Е существует такая функция f, что при а < = < b функция [и ее частная про1

изводная NO х. аппроксимируют соответственно HEKOTOPYIO

функцию FEF и ее частную производную по х, а при x2

с <аи т < < 6 выполняется неравенство (2.62); 1 “1

в) параметры а, $ входят в число оцениваемых парамет- ‚ров функции 7 EF. Назовем такие функции трехрежимными.

Таким образом, функции класса Ё в нормальной области близки к функциям класса F, а за ее пределами ведут себя в соответствии с общими свойствами производственных функций; выбор из класса Ё функции р с наилучшими ап-

проксимационными свойствами путем оценки параметров по наблюдавшимся данным позволит одновременно оценить границы а, $ нормальной области.

Перейдем к построению класса F трехрежимных производственных функций, предполагая, что функции класса F являются неоклассическими.

Пусть f € F. Рассмотрим множество F функций F вида

(2) Fs, х) при 2 <a;

xy Хх Нхь х) =1 F (ey, x9) при а< ^* < в; (2.63) X, ху при — >6, \ xy

где с — произвольная константа, Y — степень однородности функции f.

Функция является однородной степени ‘у, кусочно-дифференцируемой, и ее логарифмическая производная 522 удовлетворяет условиям (2.62).

Каждая из функций f зависит от тех же параметров, что ира также от двух дополнительных — а и 6. Таким об-

разом, для класса F выполняются все требуемые условия, кроме дифференцируемости функций. Чтобы удовлетворить этому последнему требованию, аппроксимируем разрыв-

ную функцию Е дифференцируемой функцией fF следующим образом.

125

a) A в}

| 5 | | —>> а b Xs a b Хх Ex Е Рис. 2.14 nf a inf. Функция Fin x, получена из функции дих сдвигом

x ‘ x вверх на константу с при = < аивниз до нуля приз“ > b 1 J (на рис. 2.14,a изображен график эластичности функции |

по Xj, на рис. 2.14,6 — график эластичности функции f по хз). Перейдем от этой трехуровневой разрывной ступенчатой функции к трехуровневой сглаженной функции вида

é Inf $ =) с 9 In хо , о 64 Xo В, + Xo Bs ( (Ge) GG) aX, bx, где В, peo 1, с>> 0 — параметры. Если 2 Ka, то 1

(2) <1, (2) «Ги 5 (2) близко к ¢+ ee.

126

Xa xX В. Xe В Если 2 > 6 га, то! + (=) и! + (= ` относительно xy bx; aX, Xs велики, а BCA функция S (2) близка к нулю. Наконец, еслн 1

а< < в, 70 1+ | ха Pal, a ы —0

ах}

В итоге делаем вывод, что функция 5 (2) по характеру сво1

его поведения соответствует требованиям, предъявляемым к X32 (ха, №2) (рис. 2.14, в). Поскольку интервал (0, а) является областью недостатка второго ресурса и одновременно избытка первого, то эластичность выпуска по первому ре-

91 сурсу ых, ДОЛЖна возрастать на этом промежутке, при-

нимая при = = 0 нулевое значение (рис. 2.14, г). 2

Найдем теперь однородную функцию f, для которой

911} -5 (=.

9 ln x, м

(2.65)

Интегрируя (2.65) по x2, можно доказать, что множество

однородных степени } положительных функций } (xX, XQ), удовлетворяющих условию (2.65}, описывается как множество функций вида

Ро, Хх») = GY Exp Ф (=) “1

где © > 0 — параметр, Ф — какая-либо первообразная

для функции 5 ”.

; Поскольку

eye

* Напомним, что функция Ф (г) называется лердвообразной для функции Ф (г), если Ф’ (г) = ф (7.

127

то первообразная для > и функция Ф (г) может быть запи-

сана в виде

+6)

где 4 (г) — одна из первообразных для функции

Фи ers (ax)—% + x28)

Tenepb fF =axB-<* (ах) В + хе) № exp У “2 | (2.66) или _£ Oinf Xo f= ax¥—¢ ((axy)—%1 + x>P:) exp “eA

xy bx, Для каждой функции такого вида ее частная логарифмическая производная по второму аргументу при By, В. » ‘> | удовлетворяет условию (2.62).

Исходная функция f (x, х2) ЕР, естественно, также может быть записана в виде (2.66):

рак я exp (9 (=-)).

“1 Xo 3 > где © (22) — какая-либо из первообразных функций I

9 In Xn Г /* Tipu этом параметр «, определяется выбором пер-

9 In хо / д,

вообразной. [Поскольку при а< „< 6 функция 5 (=)

близка к т ‚ то при любом выборе первообразной © (г) 2

для функции г = 1 / г существует первообразная © (г) для

функции $ (r), которая близка к O (7) при а<г- 6. Поскольку все первообразные функции S (г) отличаются друг от друга на константу, то Ф (r) = Ф (r) + 65, где 6 — подходящая константа. _

Значит, существует такое значение < = Gy параметра <, для которого функции

128

f= axy exp@(“2) в f= “ty хр exp 6 ( Ny

LA;

будут близки при a < <b.

Следовательно, в классе функции (2.66) для любых а < 6 существуют функции f, удовлетворяющие условиям

(а), (6), (в). Первообразная \ (г) для функцин see / r (1 Е (2)

зависит от параметров 65, Вь. Следовательно, трехрежимные

функции (2.66) класса Ё зависят от параметров, входящих

In в выражение для min ‚ а также OT семи дополнительных 2

параметров: с (высота сдвига эластичности выпуска по х,);

(Степень однородности функции f); а (левая граница нормальной области); 6 (правая граница нормальной области); В,, В. (параметры «крутизны» спуска к нормальной области}; а, (свободный член). Параметры функции fF должны удовлетворять следующим условиям: 0 < а 6, В: > 1, Bs > 1,

с> 0, «> 0, у>с+ sm (0).

Приведем пример построения класса трехрежимных

функций F для определения границ нормальной области в предположении, что в ее пределах процесс описывается функцией Кобба— Дугласа

fay xt x82, где Gy, ау, a >>0.

Для этой функции 0 In f

—— = а., поэтом 9 IN xX» ° У

Ха =. с (ig 5( м )= Xo \Ё! + х, \fe ое +

Первообразная функция {Р (2) для функции 5 (Z)

“1 paBHa: ¢

= ——ы

Ф =) ex In [arenes (аж) x \ 1

Ч» \ ——

in) #0)

D Зак. 1104

Соответственно класс F состоит из функций вида с а;

В:

р от (а, хх) (6х) хр)

дм? Как указано выше, значение po в точке

должно быть близко к нулевому, поэтому у =

д п . =¢ + Ух o inf ‚ O = с + а.. Следовательно, класс функций для оценки параметров нормальной области в случае функций Кобба—Дугласа состоит из функций, являющихся произведением двух функций CES:

io |

f= а ((axy)-8: 4- xP) * (bx) Ps xcs)

Оцениванию здесь в общем случае подлежат параметры a, Cy, Co, @, b, В, В».

Появление функции CES в данном контексте не случайно. Функция CES с эластичностыьо замены факторов o < | представляет собой одну из двухрежимных производственных функций, т. е. функций, отражающих два уровня эффективности использования ресурсов. Эластичность выпуска по каждому из факторов функции CES при б < | имеет вид сглаженной ступеньки с приближающимея к нулю нижним уровнем. Функция Кобба—Дугласа служит примером однорежимной функции, поскольку для нее Xoo = const. Произведение двух функций CES с эластичностями замены факторов, меньшими единицы, относится, как мы видели, к числу трехрежимных функций. В общем случае произведение & таких функций CES дает (k + 1)-режимную производственную функцию: эластичностн выпуска по каждому из ресурсов образуют сглаженные (& + П-уровневые «лестницы», нижний уровень которых приближается к нулю, верхний — к степени однородности функции.

В приведенном примере оказалось возможным записать Эт} г \В: интеграл от функции 5, w/t (1 + (=) | аналитически, т. е. в виде формулы. Для более сложных, чем функция Кобба — Дугласа, ПФ это сделать невозможно. Тогда рекомендуется воспользоваться одним из методов численного

интегрирования. Значение первообразной у (2 : от функции

9 oinf 2 (] + (2)") может быть вычислено с помощью 9 шо / x bx,

определенного интеграла по формуле

г д Inf dr a Inxs ¥(=) —W (ry), (2.67)

L4G) )

где г, — произвольная точка. На практике эту точку луч-

. (2

ше выбирать исходя из условия ry< min 20, где Ite T м (Е)

x, (2), x. (f) — наблюдавшиеся значения переменных х,, х,

в моменты Ё-= |,..., Г. Тогда

fr axt—e(ay)— хр) мох

х, дп} 9 пох.

2.3.5. Конфигурация нормальной области для многофакторных производственных функций Многофакторные многорежимные функции

—

x ехр (2.68)

Рассмотрим теперь случай, когда число факторов больше двух. По-прежнему нормальную область составляют точки, в которых координаты X;, ..., X, находятся в «правильной» для данного производства пропорции. Однако дополнение к нормальной области в общем случае не может быть разбито на множества дефицита или избытка какоголибо ресурса. Для определения структуры множества D\ № примем некоторые дополнительные предположения. Как указано в п. 1.2.3, ресурсы, учитываемые при исследовании функции т, не одинаковы по характеру своего участия в процессе производства. Между видами ресурсов существует некоторая иерархия, в которой отдельные виды выделяются как наиболее важные [20]. Предположим, что среди этих наиболее важных ресурсов существует один вид ресурсов, запасы которого определяют производственный потенциал системы. Этот вид ресурсов назовем определяющим. Использование запасов определяющего ресурса должно быть максимально эффективным, поэтому вопрос о дефицитности остальных ресурсов решается в зависимости от того, достаточно ли их для нормального использования определяющего ресурса.

5+ 131

Будем считать, что определяющий ресурс имеет номер |. Тогда возможны три взаимоисключающие ситуации: либо

запасы ресурсов х., ..., Х„ C учетом их взаимозаменяемости недостаточны для полного использования ресурса xX, и тогда точка (x), х.,..., А.) принадлежит области дефицита, либо ресурсы Xo, ..., X, Имеются в избыточном количестве н точка (х1, хо, ..., хи) принадлежит области избытка, либо точка (X;, ..., Хи) относится к нормальной области. Рассмотрим сначала случай, когда заменяемость между Xo, ..., Xp отсутствует, тогда можно говорить о недостатке каждого из ресурсов х., ..., Х„ в отдельности, так как недостаточное

количество 1-го ресурса не компенсируется другими ресурсами и стелень дефицитности непосредственно характеризуется величиной отношения х;/х,..Область дефицита {-го ресурса J; включает в себя все точки (т, ....Х„), В KOTOPbIX

Xj ~ <а,, где а; — константа. Если же 7 — „> р,, где 6; — co1

ответствующая константа, то запас { 10 ресурса избыточен. Такнм образом, в условиях невзаимозаменяемости ресурCOB Х., ..., X, Нормальная область {-го ресурса

М; == = { (mr. on) RY Та SL bi) 1-7, .. п; (2.69) область дефицита — = [© к) Аа > AL, im... (2.70) область избытка — и

= {Oty on) ERS м FEN р... п. (2.71)

Все множество D представимо для каждого i = 2, ... ‚п в виде

D=NiU Ил. (2.72)

Пересечение нормальных областей для всех ресурсов образует нормальную область

м =. soy Xn) € Ва ay << AE xe <b iy #=2,.. п} (2.73)

в которой соотношения между ресурсами соответствуют нормальным для данного производства пропорциям. Дополнение к этому множеству состоит из множеств вида

132

При этом отдельные множества 7;(] У; могут пересекаться между собой. Теперь рассмотрим общий случай, когда между ресур-

сами х., ..., Х„ возможна взаимозаменяемость. Первый ресурс по-прежнему будем считать определяющим. В условиях взаимозаменяемости ресурсов хо, ..., хи TO-

ворить о дефиците отдельного ресурса хи, k > 2, нельзя, так как его недостаток в принципе может быть восполнен за счет других ресурсов x;, ix А, i > 2. Следовательно, по отношению к ресурсу x, имеет смысл понятие дефицита HAH избытка только для всех ресурсов Xs, ..., х, в совокупности. Поскольку во взаимодействие с первым ресурсом может вступать любой ресурс Xo, ..., X», оценка производственного потенциала этих ресурсов должна выражаться некоторой функцией & (хо, ..., Ха), которая и определяет совокупный «объем» этих ресурсов. Соответственно технология т, зависящая, вообще говоря, произвольным образом от аргументов ха, Хо, ..., Х„, в рассматриваемом случае представима в виде суперпозиции функции E or (n — 1)-го переменного х., ...,X, и функции от двух переменных

$ (x), 5) T (хи, .... Ха) = 0 (Oy, E (Xa, ..., М). {2.75)

Например, если’ речь идет о функции постоянной эластичности замены по Михалевскому CESM

== (а, хе... +a, xp)? (2.76) то указанное представление задается функциями: 8 (xa, 6) = (ay x8 + B00; (2.77)

Е (хо,..., Xn == (а xb + ba, x2)!

(см. п. 2.2.4). Здесь 0 и & являются функциями с постоянной и одинаковой с функцией (2.76) эластичностыо замены.

Поскольку функция Ё (x,y, ..., X,) выражает потенциал ресурсов х., ..., Xn, BOMpOC о дефицитности ресурсов х., .... Ха решается в зависимости от соотношения величины ё и размера определяющего ресурса x,. Следовательно, область дефицита задается условием

Е (Xe, rans Xn) < a, (2.78)

где а — константа. Пусть

=. ty) € RE | Bnet

IN a

133

Представление технологии т в виде т= = 0 (х1, 6 (хь, ..., Xn)) может быть неоднозначным, однако если ти & — однородные функции, причем & — однородная первой степени, 6 — возрастающая, то определение области дефицита корректно и не зависит от конкретного представления функции как суперпозиции функций ди Ё.

Перейдем к анализу конфигурации области избытка ресурсов Xo, ..., Х,. Наиболее естественное предположение о том, что область избытка состоит из точек, для которых Е (x2, «++. Xn)

ся отвергнуть по следующим лричинам. Во-первых, в этом случае не обеспечивается выпуклость нормальной области № = { (4, ..., Mm) Е ЮФ Е et) <b}, поскольку функция внутрисистемной оценки & ресурсов вогнута. Во-вторых, из общих соображений ясно, что определить точную границу области избытка ресурсоз, пользуясь только информацией о ловедении самой моделируемой системы, вряд ли возможно, К избытку ресурсов любая производственная система, как правило, менее чувствительна, чем к их недостатку.

Динамику развития реальной производственной системы определяют две группы факторов. С одной стороны, интересы развития системы требуют расширения ее производственных мощностей, вовлечения в производство дополнительных количеств ресурсов. В конечном счете при условии роста эффективности их использования это ведет к повышению размеров прибыли, фондов экономического стимулирования и т. д.

С другой стороны, существует ряд внешних факторов, препятствующих расширению размеров системы. К этим факторам относятся ограниченность народнохозяйственной потребности в продукции объединения, наличие лимитов ресурсов, выделяемых данной системе, введение платы за производственные фонды, сверхнормативные запасы товарно-матернальных ценностей и т. д.

Следовательно, вывод о недостаточности ресурсов х., ... ... Хи При данном количестве определяющего ресурса x, можно сделать на основе анализа технологии работы самой системы, что же касается заключения 0б их избыточности, то здесь необходимо учитывать их ценность не только для самой системы, но и для народного хозяйства в целом“.

> 6, где 5 — некоторая константа, приходит-

* Соображения такого рода играют важную роль прн отборе варнантов развития производства с точки зрения HX народнохозяйс?- венного эффекта.

134

Рассмотрим вопрос о количественной оценке полезности (ценности} данного набора ресурсов хи, ..., x, в отдельности для локальной производственной системы и для народного хозяйства. Обозначим через и (ж, ..., X,) величину суммарной оценки ресурсов X,, ..., х» для анализируемой системы. Поскольку основной ее функцией является преобразование ресурсов х:, ..., х, в продукцию, суммарной оценкой этих ресурсов будет соответствующий объем продукции у. Поэтому и (X%, ....Х,) = T (%, ..., X,). Если же функция т допускает представление в виде (2.75), то функцией полезно- ‘CTH ресурсов хь, ..., X, будет функция Ё (Xs, ..., Xp).

Теперь рассмотрим вопрос об оценке ресурсов хи, ..., Xp с народнохозяйственной точки зрения. Передавая эти ресурсы в распоряжение данной производственной системы, государство изымает их из хозяйственного оборота, лишается возможности непосредственно управлять ими, направить их в какую-либо другую систему. Для народного хозяйства в целом оценка ресурсов xj, ..., x, будет иной, чем для самой производственной системы. Величина этой оценки выражает суммарные потери, с которыми связано изъятие данных ресурсов из хозяйственного оборота. Обозначим через U (x), ..., X») народнохозяйственниую оценку потерь ог передачи ресурсов хи, ..., X,. Передавая ресурсы ха, .... х. в распоряжение самостоятельной производственной системы, народное хозяйство стремится свести к минимуму свон потери, т. е. минимизировать UV (x).

Различие между и (x) и о (x) обусловлено несколькими причинами. Во-первых, для системы с супераддитивной (в частности, с классической) производственной функцией отвлечение части ресурсов и передача их другой системе с такой же производственной функцией не компенсируется обычно передачей первой системе полученного во второй системе продукта (неэффективность дробления ресурсов). Наоборот, пока. ресурсы не переданы локальной системе, они могут быть присоединены к уже функционирующим ресурсам, что (опять же ввиду вогнутости производственной функции) способно дать положительный эффект. Кроме того, данный набор ресурсов хи, ..., х„ может быть неоптимальным для конкретной системы по пропорциям между ресурсами отдельных видов. Поскольку в народном хозяйстве функционирует одновременно большое число различных производственных систем, становится возможным направление этих ресурсов в такую систему, где они будут использованы оптимальным образом. Можно привести и другие обоснования несовпадения величин и (x) и у (x).

В качестве примера конкретной функции потерь рассмотрим простейший случай, когда заменяемость между ресурсами хи, ..., х„ отсутствует. Тогда производственная функция и внутрисистемная функция оценки ресурсов и (х,...Х,) имеют вид

у = и = min (x,/a,, ..., ха). (2.79)

Народнохозяйственная функция потерь о (ж, ..., X,,) в этом случае равна:

= max (x,/q,, ..., x, /a,). (2.80)

Действительно, пусть для определенности max (x,/a,,

., X,/a,) = X,/dy. Тогда исключение. ресурсов х;, ..., х„ из народнохозяйственного оборота’ B наихудшем случае может привести к тому, что He будет выпущена продукция в размере X,/a,. Этот наихудший случай возникает, если в распоряжении государства остальные ресурсы х», .... Аи OKAMYTCA в количестве, при котором первый ресурс станет лимитирующим.

Построение и детальный анализ свойств функции народнохозяйственных потерь и (х) требуют привлечения значительной информации по народному хозяйству в целом и выходят за рамки настоящей работы, посвященной в основном анализу локальных производственных систем. Представляется разумным, чтобы функция потерь о (ж, ..., х„} удовлетворяла следующим условиям:

1) функция v (xX, ..., X_) является выпуклой;

2} эластичность замены аргументов функции U (х1, ..., Xp) определяется эластичностью замены факторов в локальной функции потенциала и (х/, ..., X,), равна ей по абсолютной величине и противоположна по знаку;

3) U(X, ...х,) и, ... Хи), причем v (Xj, ..., X_) = = (х,.... ха), если хх. 2 Хи == dt... i d,, где d,, ..., 4, — заданные числа;

4) степень однородности функции о (ж1, ..., X,) равна стелени однородности функции и (х;, ..., Xp}.

Из этих условий вытекает, в частности, что если локальной функцией потенциала ресурсов является функция Кобба — Дугласа

то функция потерь при d, = 4, имеет вид

te ie

ae" ". (2.89)

v “a о

136

‚ Вообще, если локальная функция потенциала — функция с постоянной эластичностью замены, то такой же вид имеет и функция потерь.

Свойства функции потерь определяются свойствами производственной функции и служат как бы их зеркальными отражениями.

Если локальная функция полезности и (x) представлена в виде и = и (ль, & (Xs, ..., Ха) для некоторой функции E, то аналогичное представление, видимо, должна допускать и функция потерь

vv (x, V (te, ..., Xn)), (2.83)

где функция Ф выражает оценку потерь от искллочения из оборота ресурсов х., ..., X,. Условие избыточности ресурCOB Хо, ..., X, Выражается тогда в виде

\ (х2...., Х xy где Ь — соответствующая константа. В итоге нормальная область в пространстве ресурсов задается условиями

a< Е (ль... Xn) , WY (хо,..., Xn) < b. (2.85)

В частном случае, когда технологическая функция имеет вид функции с постоянной эластичностью замены, нормальная область имеет вид

N= (x, x ye Rn а < а”. (an жи) = ‚...) Ха и

Xx ta)? —8 -y2—BY1 /(2—B) м Если же эластичность замены между Xo, ..., Х„ равна нулю, то Е (Xe, ... Ха) = Min (хо/аз, .... ад), W (х., ..., Xp) = тах (х./аз, ..., аа).

В этом случае нормальная область задается условиями А, x x 2 . а<- г р 2 <65....,

pees @5 xy Qn Xn а Х\ Qn Xn

—

а< <b

ИЛИ

а. <2 <bby,..., аа, < —> <.

My xy

137

0 4

Puc. 2.15

Таким образом, в случае нулевой эластичности замены мы пришли к той же конфигурации нормальной области (2.73), которая была выведена выше. Перейдем к проблеме оценивания параметров, определяющих границы нормальной области.

Пусть F — класс п-факторных производственных функций, который предполагается использовать для моделирования производственного процесса в нормальной области.

Будем считать, что среди ресурсов x, ..., х„ существует определяющий ресурс x,, а функция { представима в виде суперпозиции двух функций — функции Ё от (п — 1)-й переменной хо, ..., х, и функции OV от двух переменных (ха, &):

Ё (ж, ..., Xp) = 0 (ж, Е (хо, ..., Xp). (2.87)

Поскольку функция & в этом случае играет роль внутрисистемной оценки производственного потенциала ресурсов Xo, .... Хи, ВОПрос о дефицитности вспомогательных ресурсов решается исключительно в зависимости от соотношения величины & и размеров определяющего ресурса x,. Следовательно, область / дефицита вспомогательных ресурсов

х., ..., X, В пространстве R2 состоит из тех точек, для которых

0. tn) О (2.88)

1 где а — некоторая константа. 138

Область избытка вспомогательных ресурсов определяется как

F=f a xq) € Re | Mee “lol, (2.89)

где У (x2, ..., X,) — народнохозяйственная функция потерь; 6 — некоторая константа. Однако в силу неравенства x. ’ mee, Хх

ф (х,, .... Xn) > & (хо, ..., 4) точки, в которых b(t, с. п) > 6, заведомо принадлежат множеству избытка /. Поэтому для получения первого приближения оценки границ области избытка мы будем пользоваться функцией Ё и условием избыточности вспомогательных ресурсов в виде

E (х.,..

Xn) В. (2.90)

После приближенной оценки параметров а и O нормаль-

ной областью в пространстве ресурсов х;, ..., х„ будем считать множество точек

М == {ares X,)E Re la< Е (ха... Xn)

vy ф (Xo, ae | Xn)

| 291 <5, (2.91)

(рис. 2.15). Легко видеть, что множество N выпукло.

° Благодаря представлению (2.87) дальнейшая задача построения производственной функции, удовлетворяющей условиям заданного поведения в различных областях пространства ресурсов, решается аналогично двухфакторному случаю. На основе класса F строится класс п-факторных

функций F = {}}, элементы которого удовлетворяют сле-

дующим требованиям: в нормальной области N функция } близка к некоторой функции f € F; в области избытка влняние увеличения ресурсов xy, ..., X, на прирост выпуска существенно уменьшается, в области дефицита — увеличивается. Представление функции { в виде суперпозиции функций 0 и Ё дает возможность использовать результаты,

Полученные в п. 2.3.4 при построении класса F для двухфакторных функций.

Поскольку @Inf ~~ Olnf | ОЕ (x... Xn) Е 4 @inx; 91пх;

i=2

139

то согласно формуле (2.66) f= Oy x¥-8 ((ax,) В: +E (ay... Xp) Ва) в/в xx $ 9 | OnE (xe,.....Xn) , Ё

. 9 д п Xj x

Е (ха... Xn) Ё (ло...., Xn) \Be

Параметры a, y, а, 6, By, с подлежат оцениванию по статистическим данным.

В качестве примера рассмотрим класс трехфакторных производственных функций Кобба — Дугласа Е = = {ах хаха}. Для функции f = ах х@:хаз представ-

ление функции в виде суперпозиции: (2. 87) задается функЦИЯМИ:

x exp

- (2.92)

Класс функций Ё состоит из функций вида у f= Ay ((Xy) — Bs - ха=Вь / (аз Раз) xgpBa {Cas аз) eri м х ((bx,)—B: - x42Be/ (ага) хз В: / (паз) ) —C0/Be Область дефицита имеет вид

Ga ay

J= le Xp, X_) € R3 | (= ха у" (2) < о

А1 Область избытка в первом приближении

Qs у (ls

- \tlsbas . и. {а P= {on Xo, Хз) Е RY (==) (=) sol vy vy | В случае функции Кобба — Дугласа функция народно-

хозяйственных потерь представляет собой, как указыва-

лось в п. 2.3.4, корень квадратный из суммы квадратов показателей ресурсов:

W (xX, хз) = (Ag хз + 9.3)! /?,

где коэффициенты @., &, определяются из соображений Ha-

роднохозяйственной значимости ресурсов при выполнении условий:

Ч (хо, Хз) > 6 (ха, хз); $ (x2, хз) = Е (x2, x3) при некоторых хо, хз.

140

Теперь нормальная область имеет вид

Я» as

(аз + аз ._ \ а2`раз N= [ох ) ЕЮ jax [= } (=) > xy

xy x Xx, J

ИЛИ

a 31/2 Gan сх № = | хь 6 RY | AEE << Us Из 1 аз -| аа areas | X22 ХЗ [. J

2.4. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

2.4.1. Принципы формирования критериев оценки параметров

Обычно отношение Pz, определяющее правила сравнения пробных функций f, (x) по их близости к агрегированной экономической технологии т, строится, как указывалось в п. 1.2.6, в виде р. = Prfltr, где Px — отношение принадлежности к некоторому классу функций (множеслву функций одного «вида»); р. — отношение частичного порядка на этом множестве. В большинстве случаев \рх задается с помощью числовой функцин Qz, которая для каждого вектора параметров а показывает степень близости данной пробной функции fF, (x) к функции т. Исходную информацию для сравнения fy (x) ит (x) доставляют, с одной стороны, известные характеристики Yije функций fy ит,

с другой»-— сведения о целях построения функции и сфере ее применения.

a uw { Для каждой известной XapakTeplcTHKH YXijz (tT) функции т могут быть вычислены соответствующая характеристика Xi ik (f) функции f и показатель их расхождения

[Х:л (<) — 1» (В |, если нежелательны отклонения в обе стороны; !

жи = | > (= (yin (tI) — hie (D+ xin © — нь ©, если

нежелательны отклонения только в одну сторону | (см. п. 1.3.3}.

151

Значения этих показателей отклонения функции f от функции т зависят от вектора параметров а и служат крнтериями «качества» данного вектора параметров. Оценка (расчет) параметров требует, вообще говоря, решения мно-

гокритериальной задачи математического программироваНИЯ

Kee —> min. (2.93)

Число критериев в этой задаче зависит OT того, сколько и какие характеристики технологии известны при построении производственной функции. Наименьшее возможное число критериев равно числу наблюдавшихся значений показателей у, Xy, ..., Хи, T. е. числу точек множества Миабл. Ecли же кроме значений у( в наблюдавшихся точках (x, (2), ..., х, (A), =1,..., Т, известны другие характеристики технологии, в частности данные о границах изменения функции т в том или ином подмножестве области определения, то число критериев в исходной постановке задачи оценки параметров может неограниченно возрасти.

Для решения этой задачи критерии жил» (2.93) объединя-

ют вединый критерий с помощью функции свертки Q ({4;0}), после чего решается однокритериальная задача

0 ((*! |) = min. (2.94)

Функцию @ подбирают с таким расчетом, чтобы минимизация значений Q автоматически приводила к уменьше-

нию значений Ki jh Для этого в качестве Q берется неотрицательная возрастающая по каждому аргументу функция,

равная нулю в точке “ijk = 0. Различия в степени влияния

каждого из аргументов %!j, на О регулируются с помощью

параметров свертки (обозначим их вектор через @).

Таким образом, задача формирования критерия оценки параметров производственной функции сводится к построению функции свертки Q частных критериев (2.93). Так же как и при построении производственной функции, для этого придется определить состав аргументов, общий вид функции Q и ее параметры.

Состав аргументов критерия Q, так же как и его BHA, определяется на основе имеющейся информации об агрегированной технологии т и целями моделирования. В принципе в число аргументов Q могут быть включены любые из-

вестные показатели Kiih отклонений характеристик функций Гит. Однако для каждой конкретной задачи существу-

142

ет обязательный набор аргументов функции 0. В п. 1.3 характеристики производственного процесса, а вместе с ними характеристики функций f Ut разбиты на три группы характеристики нулевого, первого и второго порядка. Соответственно делятся и показатели отклонений этих характеристик для f и т. Если производственная функция y = = f (x, ..., X,) предназначена для прогнозирования или анализа самих значений выходного показателя у при тех или иных заданных значениях аргументов хи, ..., х„, то при оценке ее параметров следует стремиться к сближению значений функций f ит, в данных точках, поэтому в число аргументов критерия Q обязательно должны включаться отклонения характеристик нулевого поряка хр», в том числе —

Если же ставится задача прогноза или анализа не самого показателя у, а его изменений, вызванных вариациями №1, ++, Мл, ТО в число аргументов @ следует обязательно включать характеристики хЁ»ь первого порядка. То же самое относится и к случаю, когда ставится задача анализа тех параметров производственной функции, которые непосредственно выражаются через значения ее частных производных первого порядка. Наконец, для прогнозирования или анализа характеристик производственного процесса второго порядка (т. е. динамики характеристик первого порядка) необходимо в состав аргументов Q включать характеристики %jj, второго порядка. То же относится и к случаю, когда целью является определение параметров производственной функции, отражающих ее производные второго порядка (например, эластичности замены факторов}.

Обычно каждому аргументу Mi jk функции О соответствует параметр Gizp,, определяющий относительный «вес» ijk и его влияние на Q. Этот параметр oy jk входит, в функцию @ либо в виде произведения на переменную хр, либо

в качестве показателя степени (к) tik . Далее все множество переменных {%;;4} делится Ha две группы. Для одной из них веса ата полагаются бесконечными (или равными достаточно большему числу), для другой они сравнительно невелики. Тогда значения переменных первой группы будут оказывать доминирующее воздействие на величину интегрального критерия Q, а соответствующие критерии

1 . %ije —> п превратятся в безусловные ограничения ! Xie = 0. В большинстве расчетов бесконечные веса приписывают всем критериям, кроме тех, которые характеризуют отклоне-

143

ния значений функции от наблюдавшихся значений технологии. Как правило, именно величины 1}, = |, ..., T, и являются основными аргументами интегрального критерия

Рассмотрим более подробно возможности и применяемые способы свертки этих показателей. Во многих практических

расчетах в качестве функции свертки критернев X71], ..., X37 берется сумма квадратов О (u,..., ит) =... ит, (2.95)

==], Ё=1,..., Г.

Этот выбор обосновывается следующим образом. Объем выпуска продукции в период ft y(t) „рассматривается как случайная величина, а производственная функция у = = (%, ..., X,») — как математическое ожидание этой величины в ситуации, когда фиксированы ресурсные показатели x4, ..., X, [24|. Для линейной производственной функцни в рамках этой концепции теорема Гаусса — Маркова или соображения, вытекающие из принципа наибольшего правдоподобия при условии нормальности распределения ошибок (для производственной функции произвольного вида}, приводят, как известно, к методу наименьших квадратов (мнк). Высказываются, однако, аргументы и в пользу метода наименьших модулей (мнм), где выражение

для Q вида О=ы +... + ur (2.96)

также выводится H3 принципа наибольшего правдоподобия при других гипотезах о характере распределения ошибок [49]. Известны также минимаксные методы оценивания (чебышевская аппроксимация, мча), основанные на критерии вида

Q = max (th, ..., ит). (2.97)

Вопрос о выборе того или иного критерия оптимальности оценки параметров не решается, следовательно, однозначно в рамках теоретико-вероятностного подхода к производственной функцни, который, заметим, и сам по себе нуждается в специальном обосновании (см. например, (64}).

Ниже изложен иной подход к формированию критерия оценки параметров производственной функции, основанный на концепции адаптивного критерия.

В общем случае, когда деятельность некоторой системы описывается набором более или менее однородных показателей uy, ..., ит, построение интегральной характеристнки

144

ее работы производится на основе информации о взаимной приоритетности (относительной важности) показателей ly, ..., Up при оценке деятельности системы и роли каждого показателя в формировании интегральной оценки. Количественно приоритетность может выражаться, например, утверждениями типа «показатель Uy в O&),; раз важнее для оценки системы, чем показатель из. Распространен также способ упорядочения путем балльного шкалирования показателей, в котором каждый показатель получает определенный балл соответственно его важности. Этот способ также приводит к определенным коэффициентам относительной важности @,;. Приоритетность показателей устанавливается независимо от последующей свертки их в обобщенный показатель н по существу представляет собой выравнивание приращений показателей. Смысл утверждения об OTHOCHтельной важности показателя и, по сравнению с показателем и; состоит не в том, что первый показатель сам по себе важнее второго, а в том, что изменение и, в нужном направлении на единицу в @,; раз ценнее, чем такое же изменение и;. Исходной точкой при этом (при постоянных &,;) должны быть равные значения и; ии;

Каким образом используются априорные коэффициенты относительной‘ приоритетности при построении обобщенного показателя (© (№, ..., ит}? Если функцию Q (ity, ..., ит) предполагать непрерывно дифференцируемой, то эффект от

изменения показателя и, на единицу приближенно выра-

wo 9 v жается величиной >, зависящей, вообще говоря, от т

Uy, -.., Их. Относительная ценность изменеиня на единицу f-ro и j-ro показателей, в свою очередь, приближенно выражается функцией

90 dQ Ou, Ott

m= (2.98)

(предельная норма замены 1-го и го аргументов). Следовательно, Для отражения в критерин Q информации об OTHOснтельных прноритетах показателей нужно, чтобы при и; = и; выполнялось равенство

Таким образом, коэффициенты относительной важности частных показателей uy, ..., ит определяют значение пре-

дельной нормы их замены в точке и/и; — 1.

Поскольку при и; = и; величина 1; не зависит OT значений остальных показателей uy, ..., Ц Upga, «+s Ирь 1:1, --- Чт, будем считать, что и при любых других зна-

145

чениях и; и и; величина 1; определяется только отношением и/и;. Оказывается, что это условие почти полностью определяет вид интегрального критерия Q (и, ..., ит). Действительно, в этом случае эластичность замены [го и j-ro факторов

ат/чн \-! off =( п/л din {tz /u;)

также является функцией от отношения и/и;, откуда следует (см. п. 2.2.5), что при Т > 3 линейно-однородная функция

Q (и, ..., ит) имеет вид функции с постоянной и одинаковой для всех факторов эластичностью замены CESM:

Q =- (ли... ати)! В, (2.100) где ©, ..., от, В — параметры, причем все эластичности

замены равны: O77 = со = 7—> -

В дальнейшем будут строиться критерии оптимальности именно такого вида; как отмечено в [51], это один из наиболее распространенных способов свертки критериев в многокритериальных задачах. Функции (2.100) являются выпуклыми ло ил, ..., ит при Gg <0и включают: при dg == = —1 критерий наименьших квадратов (2.95), при во = == —oo— критерий наименьших модулей (2.96) и при бо = 0 — минимаксный критерий (2.97). Предельная

a, [и \8В—1 норма замены для (2.100) имеет вид Hi; = = (=!) . При 7 ) и! и; = | должно выполняться равенство (2.99), поэтому а /а; = у В] =Ё..., Т. Отсюда следует, что критериальная функция @ может быть записана как

9 = (ив + oy. ub + air ив) "В,

где а; — коэффициент относительной важности и; по сравнению C dy.

В общей постановке задачи многокритериальной оптимизации коэффициенты относительной важности критериев определяются на основе экспертных данных [54]. В случае, когда в качестве и; выступают отклонения фактических значений от вычисленных, сравнение их по существу сводится к выделению тех точек x (1, f = 1,..., Г, в которых близость f (x (#)} ит (x (f)) наиболее предпочтительна. Ос-

* При постоянном В минимизация (2.100) эквивалентна MHHUMHзации критерия Q = слив -... + тив, однако при переменных

В (этот случай также рассматривается ниже), классы указанных критериев не совпадают.

146

нованием для такого выбора служит информация о целях моделирования (прогноз, анализ или планирование), а также O TOM, насколько характерным (информативным) является функционирование системы в 2-й период для ее деятельности в целом.

Теперь для завершения построения критерия оптимальности оценки параметров производственной функции в виде (2.100) осталось определить коэффициент В (или, что то же самое, параметр эластичности замены факторов критерия

Отметим, сначала, что если среди класса пробных функ-

—

ций F = {№} существует единственная функция f, (x) =

= fa (x), для которой значения в точках x (1), ..., x (T) равны фактическим наблюдавшимся значениям выпуска, fr (х (1) = и, t= 1, ..., T, (2.101)

то в качестве коэффициента В может быть взято практически

любое отличное от нуля число: при применении достаточно

совершенного вычислительного метода вектор парамет- —

ров а, минимизирующий критерий Q, одновременно минимизирует и все критерии х11, ..., х?:. Однако такая ситуация является уникальной. Обычно результат решения задачи (2.100) не совпадает с результатом решения задачи (2.101) и существенно зависит от уровня эластичности замены факторов критерия 0.

Для выяснения характера этой зависимости заметим, во-первых, что минимизируемый критерий @ должен быть выпуклой функцией от аргументов #1, ..., ит, следовательHO, бо <Q. Далее, если данный критерий предназначен для построения производственной функции, у которой эластичности замены между некоторыми факторами зависят от оцениваемых параметров, то при любом фиксированном Dg следует ожидать, что оценка уровней этих эластичностей

о; (Г) будет завышена. Причина этого состоит в следующем.

Обычно наблюдавшиеся значения y (1) не «ложатся» ни на одну из поверхностей f, (х) ЕЁ, а образуют рассеянное «облако» вокруг поверхностей. Эластичность замены {-го и /-го факторов в данной точке х характеризует локальную кривизну производственной поверхности в окрестности данной точки. Если агрегированная технология имеет в ряде точек низкую эластичность замены между данными факторами и соответственно высокую степень кривизны поверхности, то при значительном разбросе значений у (ft) эта кривизна аппроксимирующей функцией, как правило, не улавливается. Чем выше разброс наблюдавшихся значе-

147

ний выпуска у (1), чем дальше друг от друга отстоят зиначеHHA ресурсов x (#} при различных Ё, тем выше будет оценка эластичности замены факторов. Следует учесть также, что эластичности замены факторов являются характеристиками второго порядка, а возможности включения в информационную базу построения ПФ информации о характеристиках второго порядка весьма ограничены. Обычно по рассеянным данным улавливается лишь общая, упрощенная картина поведения функции, а это, в свою очередь, ведет к прноритетностн более «плоских» производственных поверхностей. Смещение вверх оценки эластичности замены факторов, полученной при построенин функции CESM по методу наименьших квадратов, отмечалось, в частностн, в [45].

Влияние изменения величнны бо “Ha результат оценкн параметров, порой значительное [46], нмеет следующую общую направленность: чем больше абсолютная величина эластичности замены факторов критерия оо, тем, как правило, выше оценки параметров, определяющих эластичности замены факторов производственной функции. Это связано с тем, что меньшему значению |0о| отвечает более «строгий» критерий оценки качества параметров Q. В пределе при |00| —=Ои о < 0 критериальная функция имеет вид Q == max (uw, ..., иг). При этом критерии производственпая поверхность в большинстве случаев будет равномерно «прижиматься» ко всем наблюдавшимся значениям у (1), ..., и (Г). Если же, напротив, [og] = оо, то критерий @ имеет вид линейной функции О = au, + ... + атит. Его минимизация возможна за счет уменьшения любого из

отклонений ty, ..., ит. Поэтому при этом критерии обычно разброс отклонений 4), ..., ит для итоговой функции } значнтелен.

Естественно, что в первом случае геометрические харак- —

теристики производственной поверхности [, полученной в результате оценки параметров, будут более точно отражать характеристики «истинной» производственной функцин, чем во втором. Следовательно, при оценке параметров с помощью более «строгого» критерия уровни эластичности замены факторов производственной функции /, отражающие, в частности, характеристики кривизны производственной по- —

верхности /, в большинстве случаев будут ниже, чем при оценке параметров по более «мягкому» критерию. Таким образом, 0; следует считать неубывающей функцией от log|. Условно предполагая зависимость эластичности замены {-го и /-го факторов производственной функции в

148

точке x (1) от эластичности замены факторов критерия Og дифференцируемой, можно записать, что

Оо pg te l,..., Г. (2.102)

9| о | Теперь вернемся к вопросу о выборе величины Oo. Выше отмечалось, что в идеальной ситуации, когда для не-

“~ которой функции f, ЕР имеют место равенства у (1) =

“=f, (x (1)) при = 1, ..., Т, величина OF, почти не зависит 99:11 (x {t)) 9] “о | при фиксированном со, как мы видели, оценка 0;;, имеет хенденцию к завышению. Единственным выходом из такого положения было бы использование критерия О с пере-

менной эластичностью замены факторов Og.

Оценка параметров производственных функций ведется, за исключением линейных моделей, итеративными методами. Каждый шаг итерации включает анализ текущего вектора параметров, определение одного или нескольких возможных вариантов нового вектора и сравнение их с текущим. При использовании критерия с фиксированными параметрами &, Og «качество» любого вектора параметров определяется с помощью одной и той же меры, что и приводит к завышению итоговых оценок эластичности замены факторов производственной функций. Если отказаться от постоянства эластичности замены факторов критерия со и наделить критерий способностью адаптации к текущей ситуации, можно избежать необоснованного смещения

—

вверх оценки 0;;. Для этого величину во следует связать такой функциональной зависимостью с текущими значениями параметров, определяющих эластичности Gj; (x (f}), f= 1,..., Г, чтобы к оценке качества вектора параметров функции с большими эластичностями применялся более «строгий» критерий, к оценке качества вектора параметров функции с меньшими эластичностями — более «мягкий».

Приведенный адаптивный подход к формированию критерия оценки параметров допускает следующую системную интерпретацию. Предположим, что каждая пробная функция f, из класса F представляет один из возможных вариантов функционирования некоторой производственной системы $, осуществляющей преобразование производственных ресурсов х;, ..., х» в продукцию, объем выпуска которой равен и = fy (х1, ..., Ха). Вектор параметров a = =: (а,..... а») определяет технологию этой переработки.

от выбора бо и близко к нулю. С другой стороны,

149

Выбор технологии осуществляется внутри самой системы $ из стремления к сближению показателей ее работы и утверждаемых показателей плана. Плановые показатели представлены объемами выпуска продукции y (1) при заданных объемах ресурсов x (1) = (x, (1), ..., х, (1), t= 1, ..., Г.

Фактически показатели работы системы при использовании технологии а представлены значениями f, (x (1), t= 1,..., Г. Качество работы системы $ характеризуется отклонением плановых от фактических значений объема выпуска, причем план является «жестким» в том смысле, что равно нежелательными будут отклонения как в сторону уменьшения, так и увеличения значений показателей выпуска по сравнению с плановыми. |

Процесс оценки параметров интерпретируется в этой ситуации как поиск технологии, ‘позволяющей системе $ наилучшим образом выполнить задания плана. При этом количественные характеристики расхождения даются выражениями

ш = |1 © (Об У), = 1... Т.

Обобщенную (интегральную} оценку данного состояния системы S представляют значения функции g = = Q (ш, ..., ит). Эта функция рассматривается как адеккватная производственная для некоторой системы С, входами которой служат значения отклонений и, ..., ит, а выходом — интегральная оценка деятельности системы $ в виде g = Q (м, ..., ит). Система С, таким образом, реализует функции контроля за деятельностью системы S и может рассматриваться как часть системы управления ею.

Взаимоотношения систем $ и С с окружающей средой в определенном смысле противоположны., Если производственная система S стремится к расширению, выпуску большего количества продукции и максимизации выходных показателей, то задачей системы контроля С является минимизация отклонений результатов деятельности S от плана. Поэтому производственная функция fg системы $ является супераддитивной :

fa их) > fa (*) + fa (©), (2.103) а производственная функция Q системы С — субаддитивной:

Ч (ии) < 9% +9 (и).

Производственная система S выбирает технологию функционирования исходя, во-первых, из необходимости выполнения плана на данный период и, во-вторых, из обеспечения устойчивости своего собственного развития. Поэто-

150

му при близких прочих условиях выбираться будет та технология, которая предоставляет большую свободу в маневрировании ресурсами и облегчает выполнение плана за пределами данного планового горизонта. Величина прямой

эластичности замены о характеризует степень влияния соотношения между [-ми |- М факторами на соотношение их

эффективностей. При большой величине off это влияние незначительно, что облегчает компенсацию ресурсов в условиях дефицита или несвоевременной поставки одного из них. Следовательно, в условиях относительной свободы выбора есть основания полагать, что предпочтительнее окажется высокоэластичная технология.

Однако чрезмерный рост взаимозаменяемости основных факторов производства может привести к снижению эффективности их использования. Если речь идет о масштабной народнохозяйственной системе, такой, как крупная отрасль, союзная республика, ит. п., в которой имеются значительные материальные, финансовые и трудовые ресурсы, одновременно функционируют различные технологии и существует возможность их сравнительно быстрой замены, то для такой системы естественной является высокая эластичность. Если же масштаб системы относительно невелик, то обеспечение возможности технологического маневра приводит, как правило, к завышению производственных запасов и омертвлению части производственных ресурсов. Поэтому при определении вектора параметров должен учитываться уровень эластичности замены факторов: высокоэластичные технологии должны оцениваться по более жесткому критерио, низкоэластичные — по более мягкому. Такой подход, препятствуя как завышению, так и занижению технологии, реализует один из вариантов обратной связи, осуществляемой с помощыо системы контроля С. Системы $ и С можно представлять связанными отношением взаимности.

Эластичность замены факторов критерия оценки параметров может также непосредственно испытывать влияние цели построения производственной функции. Если функция предназначена для прогнозирования [19], то в качестве критерия рекомендуется выбирать высокоэластичную функцию (например, сумму модулей отклонений); для краткосрочного прогноза — низкоэластичную функцию (сумму квадратов отклонений, максимальный модуль отклонений).

Изложенные в данном пункте принципы формирования критерия оценки параметров, как в вычислительной, так и в системной интерпретации, мы используем далее для определения конкретного вида критериев оценки параметров функции CESM.

151

2.4.2. Критерми оценки параметров производственных функций с постоянной эластичностью замены факторов

В данном пункте под производственной функцией понимается линейно-однородная фувкция, имеющая постоянную эластичность замены факторов по Михалевскому. Согласно п. 2.2.5, такие функции имеют вид

= (а xe ta, xy” (2.104) (здесь в = I/ (1 — b) = 1!) ИЛИ Y = ay хи... хп (2.105)

(здесь о = 1). _

К этому же классу естественно’отнести и функцию Леонтьева

y= Min (a, х,,..., а. Хи) (2.106) (здесь o ==0)

Эластичности взаимной замены любых двух факторов по любому из приведенных в п. 1.3.6 определений для таких функций одинаковы, постоянны и равны: Oj; = 6, причем для функции CESM общего вида (2.104) эластичность замены факторов является оцениваемым параметром, а для функции Кобба — Дугласа (2.105) и Леонтьева (2.106) она фнксирована на уровне в = | ис = 0 соответственно.

Таким образом, в данной снтуацин п производственная функция, и критерий оценки ее параметров относятся к одному и тому же классу функций CESM. Возникает, образно говоря, своеобразный замкнутый «мир. функций СЕЗ М», В системной интерпретация процесса оценивания параметров, данной в предыдущем пункте, это означает, что производственная система $ и контролирующая система С адекватно описываются функциями СЕЗМ.

При оцениванни параметров функции вида (2.104) принWun дифференцированного подхода к оценке качества различных векторов параметров производственной функции реализуется с помощью функциональной обратной связи между эластичностью замены факторов критерия оценки Og и эластичностью замены факторов функции Oy. Поскольку

итоговая оценка эластичности замены факторов OF может

рассматриваться как неубывающая функция от |001, то обратная связь, препятствующая как завышению, так и занижению оценки O-~, должна определять |Og| как убываю-

152

щую функцию от текущего значения Oy. Такому условию отвечает, в частности, функция

60| = Loy. (2.107)

Обоснование именно такой зависимости будет приведено ниже. Сейчас же заметим, что при использовании формулы (2.107) к вектору параметров Qj, ..., а,, В, где величина о; = 11 (1 — В) относительно велика, будет применяться более «строгий» критерий качества, чем к такому же вектору с малым значением о; = И (1 — B)*. При этом «равновесие» между эластичностыо замены факторов производственной функции и критерия оценки будет иметь место при

oj = 1, [60| = |, т. е. когда производственная функция имеет вид Кобба — Дугласа, а критерием является сумма квадратов.

В некотором смысле это соответствует распространенной точке зрения, что функция Кобба — Дугласа в наибольшей степени отвечает системам среднего народнохозяйственного уровня (отрасль, крупная подотрасль ит. п.), а критерий мнк является наиболее обоснованным.

Поскольку б; > 0, бо < 0, получаем, что во = —1/o;. Таким образом, в качестве критерия оценки параметров функции CESM вида (2.104) должен использоваться критерий

9 = (a, ub +. Нат uh)? (2.108)

где значение ©, ..., ат с точностью до мультипликативной константы определяется сведениями об относительной информативности данных в различные моменты времени, а параметр В следующим образом выражается через текущее значение параметра с; (или параметра 65):

2—5

]

Вычисление параметров а, ..., аа, 0 в производственной функции (2.104) сводится теперь к задаче нелинейного математического программирования относительно неизвест-

ных 4, ..., Qn, 6:

* Для полноты анализа работы адаптивного критерия оценки параметров следует принять во внимание, что, хотя с ростом | dg]

критерий Q становится более «мягким», при фиксированных ц,,..., ит функция вида (2.100) возрастает с ростом | со |. Однако можно

показать, что этот эффект оказывается незначительным по сравнениго с эффектом от «смягчения» критерия,

153

1—5

2—b 2—b 2—byl—b | l—p (—b 2—b | Ob Uy +O tte +-...-4+-Grur

— min; ! uy —| y(t) —(41 х, (P+. +n Xp (#)”)° |0 f=1,..., Г.

Усложнение предлагаемого критерия @ по сравнению, скажем, с мнк не должно вносить существенных дополнительных. вычислительных трудностей в задачу оценки параметров нелинейных производственных функций. Критерии наименьших квадратов и наименьших модулей в общем случае не требуют решения общей задачи нелинейного программирования лишь при оценке`параметров линейной функции (мнк сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, MHM — к задаче линейного программирования). Во всех остальных случаях, т. е. когда производственная функция не является линейной по параметрам и не приводится к такому виду с помощью известных преобразований, задачи оценки параметров по критерию переменной эластичности (2.110) и по критериям (2.95), (2.96) или (2.97) равносильны по трудности.

Для построения производственной функции класса CESM, у которой эластичность замены не является оцениваемым параметром, принятый подход приводит к следующим выводам:

1. Если o; = 00, TO 0g = 0, поэтому для оценки параметров линейной производственной функции следует использовать критерий минимакса

@= мах |у(—Р1цх (6) — min. 1«5Е<Т

2. Если о, = 0, то dg = — 9, поэтому для оценки параметров производственной функции Леонтьева используется критерий наименьших модулей

@ = > a, | y ()— Р(х (1)) | > min.

3. Если о; = |, то во = —1, следовательно, для оценки параметров производственной функции Кобба — Дугласа нужно использовать критерий наименьших квадратов

Я = я а, (y (t)—F (x (1)? — min.

4. Если о; априорно фиксируется Ha определенном уровне, то параметр В критерия оценки @ также фиксируется на

(2.110)

154

уровне В = | + во. Мы приходим здесь к так называемым Ly-OUeHKaM Хубера, рассмотренным для линейной регрессий в [23].

В заключение вернемся к системной интерпретации процесса оценки параметров и сформулируем системные предпосылки, однозначно определяющие для линейно-однородных производственных функций зависимость между Og и о; в виде (2.107).

Адаптивный характер связи между производственной и оценивающей системами реализует отображение &, которое каждой линейно-однородной производственной функции [о ставит в соответствие оценочную функцию 0. Так как параметры оба, ..., от функции Q не зависят от того, какая функция оценивается, то фактически @ определяется эластичностью замены факторов бо. Если же учесть, что во зависит только от уровня эластичности замены факторов функции f (и не зависит от ее остальных параметров Qj, ... .... ая), ТО получим, что = определяет отображение вх: б; Og, переводящее каждую точку луча (0, со) в точку луча (—оо, 0).

Поскольку контролирующая система С также рассматривается как особый вид производственной системы и описывается с помощью «производственной» функции с постоAHHOH эластичностью замены факторов Q, то можно представить себе еще один уровень контроля — систему D. задачей которой является оценка. деятельности самой системы С. В «мире CESM» деятельность этой системы также описывалась бы с помощью одной из функций с постоянной эластичностью замены. Отображение 50: 6; — бо можно, следовательно, расширить на отрицательную часть числовой прямой. В экономической практике принят, однако, иной способ оценки деятельности системы контроля: не путем создания новых систем, а путем исследования работы самой управляемой системы. Эластичность замены факторов Функции, описывающей работу системы «вторичного контроля» D должна быть, следовательно, такой же, как и у исходной системы $. Отсюда вытекает, что двойное применение отображения =, должно приводить к исходной TOUKE: Ey (Eo (0)) = с для любого в > 0. Кроме того, взаимно адаптивный характер связи между системами $ и С определяет = как нечетную функцию: & (—0) = —é (6}.

С каждой линейно-однородной производственной функцией y =f (x, ..., X,) можно однозначно связать функци!о минимальных удельных затрат 2 == g (с;, ..., Cy), которая задается правилом

155

8 (С1,..., С) = — inf О (ам... ел x,). (2.111)

У ГО = Если аргументы x), ..., х, функции f делятся на три группы, характеризующие средства труда, предметы труда п труд, то аргументы Xj, ..., х, функции в соответственно

определяют амортизационные отчисления, отношения между материальными затратами различных видов и оборотнымн средствами, а также размеры средней заработной платы по группам работающих таким образом, чтобы сумма Cyt, +... + сих, выражала себестоимость продукции, пронзведенной с помощью ресурсов хи, ..., Ха.

Величина g (cy, ..., Cy) будет равна тогда минимальным затратам на | руб. объема выпуска продукции в размере и.

Отображение, переводящее функцию f (x), ..., x) в функцию g (с, ..., с»), обозначим” через 5

_В п. 3.1.2 доказывается, что для производственных функций f (x) вида СЕЗМ функция минимальных удельных затрат g (с) также относится к классу CESM, причем если эластичность замены факторов Xj, ..., X, функции f (x) равна о >> 0, то эластичность замены факторов Cj, ..., Cy функции д (с) равна 1/0. Повторное применение оператора 4 к функции g, как показано в п. 3.1.2, приводит вновь к функции /, так что связь между ри в относится к числу двойственных.

Для критериальной функции Q (i, ..., ит), которую мы интерпретируем как производственную функцию оценивающей системы С, также вводится понятие, аналогичное функции мннимальных удельных затрат. Пусть

R (Uy, = sup (иш-|-... Кот ит). (2.112) 9 (u}Q (и) =9)

Если считать, что аргументы 91, ..., Ur этой функции выражают «LITpadbm за единичное отклонение значения функции f (x (1) от плана y (1) в момент 7, то величина и! |... + отит будет выражать общую «штрафную» оценку работы данной функции f (x). Значение функцин R В TOUKE Uy, ..., Uy покажет тогда максимально ожидаемую «штрафную» квоту единицы общей оценки а = О (и). Иными словами, R (0) представляет собой штрафную функцию, которая определяет максимальную плату за каждую единицу уровня оценочной функции @ в зависимости от структуры распределения штрафов по периодам отклонений от

плана. Если Q (и) — функция с постоянной эластичностью за-

мены факторов вида (2.100), то к этому же классу функ-

156

ций будет принадлежать и функция R (0), причем Op = = |/dg. Отображение, сопоставляющее функции О сопряжеиную с ней функцию R, также обозначим через 6. МожHO доказать, что, применив 6 к функции О повторно, мы вновь придем к исходной функции Q, т. е. 6 (6 (Q)) = 0. Поскольку система $ допускает двоякое описание (с помощью производственной функции f (x) и с помощью функции удельных затрат g (c)), отклонение ее функционирования от плана, также может оцениваться двояко — путем оценки отклонений и; = |f (x (1) — y ()| и путем оценки отклонений UV; = lg (с (t)) —2(1)| (здесь с (В, z (В — плановые задания по структуре себестоимости и затратам на | руб. выпуска продукции). Если план по ресурсам и выпуску x (1, и (1) надлежащим образом согласован с планом по себестоимости и удельным затратам с (2), 2 (1, f= =1,..., 7, то оба способа контроля равносильны. Поскольку вогнутые функции от л аргументов Гибс помощью разных наборов показателей равно адекватно описывают работу одной и той же производственной системы S, а выпуклые функции от 7 аргументов Q и R служат альтернативными моделями оценочной системы С, то логично считать, что функция Ю также является оценочной функцией для функции в, т. е. R = e(g). Тогда связь между функциями f, &, Q, R выражается следующей диаграммой: 8

e | Je QR

Соответственно, если рассматривать в как отображение на множестве значений эластичности замены Oy, получается диаграмма

“| |e

` Gg | jog

и равенство в, (1/0) = 1/ey (6).

Оказывается, что перечисленные условия однозначно определяют функцию & в виде в, (9) = —1/в. Именно, если Е — возрастающая на лучах (— со, 0) и (0, 09) функция, удовлетворяющая для любого об == 0 условиям:

Eq (8% (6)) = 9; (2.113)

в, (l/s) = Ме (0); (2.114)

£9 (0) = в, (0), (2.115)

то ви (0) = —l/o [34]. (2.116)

157

Изложенный подход к построению критерия оценки параметров не является единственно возможным (другие соображения по этому поводу можно найти в [23, 46]). Вместе с тем идея зависимости меры от ситуации, в которой производится измерение, широко используемая в физике, а также гипотеза о сопряженности и зависимости всех функций, так или иначе связанных с ПФ (см. также гл. 3), открывают, как нам представляется, дополнительные возможности повышения адекватности и комплексности экономико-статистического моделирования хозяйственных систем.

2.4.3. Критерии оценки параметров, основанные на анализе изоквант

Стандартный подход к понятию` ‘близости двух функций Ёи т подразумевает, что если их области определения имеют значительную общую часть, в точках которой функции принимают близкие значения, то эти функции близки. Такой подход основан на определении равенства функций через равенство их значений в каждой точке общей части их O6ластей определения. Понятие близости в пространстве функций здесь индуцируется понятием близости в пространстве значений. Если целью построения производственной функции является определение значения выпуска при заданных значениях ресурсов, то о близости построенной производственной функции к технологии следует судить, как обычно и делается, по близости значений функции } в наблюдавшихся точках к значениям функции т. Однако часто производственная функция строится для решения обратных задач: определить приближенно точки в пространстве ресурсов, в которых обеспечивается данный объем выпуска, или определить точки в пространстве ресурсов, которые соответствуют изменению режимов производства, максимуму объема выпуска и т. д. В этих случаях, очевидно, следует считать критерием качества аппроксимации не то, насколько близки значения функций }итв заданных точках, а TO, насколько близки точки в пространстве ресурсов, в которых Ёрит принимают равные значения. Здесь уже понятие близости на множество функций переносится с пространства аргументов. Для краткости обычный подход будем называть идентификацией по значениям, второй — идентификацией по изоквантам.

Какой вид имеет в случае идентификации по изоквантам отношение о-? Зафиксируем число и > 0 и обозначим через U, (y) множество тех точек х из области определения функции f, для которых f (x) = у. Таким образом, Ц; (и)

158

обозначает изокванту функции f, соответствующую значению у. В качестве расстояния r (x, x’) между точками х, х’Е К" будем рассматривать евклидову норму их разности, т. е.

Расстоянием г (x, U, (y)) от точки x до изокванты U, (y) считается нижняя грань всех расстояний от точки х до точек x’ ЕО, (4). Следовательно,

n 12 r(% 0, (y)) = wiles =) (2 = ai)

Теперь критерием качества аппроксимации при идентификации производственной функции по изоквантам будет сумма квадратов расстояний от наблюдавшихся точек x (# до соответствующих изоквант U; (и (8):

= §} inf (3 (х; (x) (2.117)

f=1 4х (x) =}

Если п = 1, a функция f (х,) имеет обратную функцию , = f-*(y), то изокванта U; (у) состоит из одной точки x, = f-' (и), а критерий оценки параметров «по изоквантам» имеет вид

@= 3 0-Г 10)

Это обычный критерий наименьших квадратов, записанный для обратной к { функции. Следовательно, при п = | идентификация по изоквантам для функции f равносильна идентификации по значениям для обратной функции fl...

Если в распоряжении исследователя имеются достаточно надежные программные средства решения задач математического программирования с ограничениями типа равенств, то практические расчеты по оценке параметров по изоквантам можно вести, непосредственно минимизируя критерий (2.117). При этом на каждой итерации вычисления значения @ при данном векторе параметров придется решать ТГ задач оптимизации с ограничениями вида f (x) = и (В, что требует обычно больших затрат машинного времени.

Для отдельных классов функций } можно предложить более простые методы вычисления оценок параметров «по изоквантам». Предположим, в частности, что f (x) — линей-

154

ная однородная функция, f (x) = ах, + ... + a,x,. Тогда изокванта

представляет собой плоскость в пространстве R*. Расстояние г (x, (1), Ц; (y)) от точки x (f) до этой плоскости, как можно показать, равно:

aX) (--... Кан Xn ()—у \1/? РЖ я |

Теперь критерий оценки параметров линейной функции «по изоквантам» имеет вид

т . рн YO 44 а, Xn (1). (2.118) Следовательно, идентификация по изоквантам линейной однородной функции сводится к минимизации суммы квадратов отклонений, вычисленных от наблюдавшихся значений, деленной на квадрат евклидовой нормы вектора Napaметров.

Для определения минимума функций (2.118) предлагается следующий метод. Запишем функцию Q в виде

Т f= 1

| ат

где 0 = ‚ Y= — ›..., д = Уч +... ая Иа... а? — — en V a+... a2. Найдя значения параметров Gy, 01, ..., &,, МИНИМИЗН-

рующие (2.119) при условии aj + ... + аи = 1, мы тем самым решим и задачу минимизации (2.118). Действительно, если Go, ..., %, доставляют минимум функции (2.119), при-

чем о = 0* и 1+... { 9 = 1, то при а = —a/a, Ay = —@./, ..., аа = —Gy/&_ будет достигаться и минимум (2.118).

Для отыскания минимума (2.119) воспользуемся методом множителей Лагранжа. Поскольку функция Лагранжа задачи равна

* Можно ожидать, что если ряды наблюдений х, (1), ..., Хи (1) (#=1,..., Г) линейно независимы (неколлннеарны), TO 0% == 0. Если бы минимум (2.119) достигался при 0% = 0, то (2.1 18) стремнлась бы к минимуму при безгранично возрастающнх параметрах Qj, ..., An.

160

r py (Hy у (ПН о Xy (И... Нан х„ (NY -~

А (a+... +07-—3), то точка мннимума должна удовлетворять условиям: Ху (ft)? + a, 2x, (Hy(t) + ... -+- a, 25, (И = 0; ay ly (tx) + хх, (87 --... + a, 2%, (Ax, (1 = Ам;

Ху (Lx, (1) + LX (2)x,, (2) oe hy Bx, (1) == Ао. (2.120)

Обозначим через У (п + 1) < (a2 + |)-матрицу коэффнциентов при ©; в левых частях этих равенств и через Ё, — — п 1) х (a + 1)-матрицу, отличающуюся от еднничной наличием нуля в первом столбце первой строки. Тогда число А должно удовлетворять условию det (У — ЛЕ.) = 0. Определитель матрицы У — AL, представляет собой многочлен от А степени п, поэтому он имеег не более л корней. Можно показать, что мннимум функции (2.119) будет достигнут, если в качестве А взять наименьший корень этого многочлена. Теперь требуемый вектор @ находится путем обычного решения системы линейных уравнений (2.120). Таким образом, для линейной функции идентификация по изоквантам проводится в основном стандартными средствами, без привлечения дополнительных методов. Если же речь идет о функции, скажем, Кобба — Дугласа, то здесь (так же, как, впрочем, и в стандартном методе наименылих квадратов) придется решать задачу минимизации с помощью итерационных методов математического программирования.

Формально критерий оценки параметров линейной функцни по изоквантам напоминает критерий оценки параметров такой же функции при использовании так называемой ортогональной регрессии (см., например, [23]}. В ортогональной регрессии минимизируется, как известно, сумма квадратов расстояний от наблюдавшихся точек (x (1), у (1)}, [=|1,..., Г, До регрессионной плоскости у = ах, + ... ... qe Ay Xp.

Такой подход, как легко видеть, приводит к критерию качества оценки вида

г Qopr =>. ] - У (9 (f) ---a, x, (1) — ...

= а ky WY. (2.121)

6 Зак. 1104 161

Отличие между (2.118) к (2.121) лишь в знаменателях: в {2.121} он больше на единицу. В области пространства параметров 41, ..., @,, где хотя бы один из них существенно превосходит 1 по абсолютной величине, значения функций (2.118) и (2.121) достаточно близки. Если минимум (2.118) или (2.121) достигается в этой области, то оценки ортогональной регрессии и регрессии по изоквантам близки друг к другу. Сближению этих оценок способствует также рост числа переменных производственной функции. Наиболее существенного расхождения этих оценок следует ожидать в тех случаях, когда число переменных невелико, а «облако» наблюдавшихся значений как бы «стелется» вдоль плоскости y = 0.

Идентификация по значениям и" ‘идентификация no изоквантам представляет собой два полярных подхода к оценке параметров производственной функции. Применение того или другого способа полностью диктуется целью построения функции: идентификация по значениям — для решения задач прогнозного характера, идентификация по изоквантам — для аналитических задач. Применение промежуточных варнантов (к которым в общем случае относится и ортогональная регрессия) пока не получило в теории производственных функций достаточного обоснования.

2.5. О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

После формализации всей информации, используемой для построения параметрической производственной функции, и формирования единого критерия ‘оценки параметров построение производственной функции сводится к определению вектора параметров, минимизирующего критерий. Такая же задача решается и при оценке параметров регрессионного уравнения, т. е. уравнения, выражающего зависимость математического ожидания некоторой случайной величины от детерминированных независимых переменных [23]. Поэтому вычислительные методы, используемые для оценки коэффициентов многофакторных уравнений регрессии, в принципе могли бы применяться и при построении производственных функций. Однако задача оценки параметров производственных функций обладает определенны ми специфическими свойствами, учет которых в целом усложняет подбор вычислительных алгоритмов.

Отметим следующие наиболее существенные особенности оценки параметров производственных функций:

162

а) большинство производственных функций не являются линейными относительно параметров и не сводятся к линейным путем аналитических преобразований;

6) в качестве критерия оценки параметров также используются функции достаточно сложного вида;

в) как производственная функция, так и критерий оценки параметров могут не быть дифференцируемыми.

Таким образом, задача оценки параметров производственной функции в общем случае не сводится, в отличие от линейной регрессии, оцениваемой по методу наименьших квадратов или наименьших модулей, ни к решению нормальной системы линейных уравнений, ни к задаче линейного программирования. Возникающая задача нелинейного программирования обычно не относится также к числу выпуклых и может включать недифференцируемые функции*.

С другой стороны, ряд особенностей задачи оценивания параметров производственных функций облегчает вычислительные сложности:

г) число параметров обычно не превосходит десяти;

д) количество наблюдаемых данных обычно не превосходит пятидесяти; ‘

е) для большинства параметров можно указать априорные границы допустимых оценок;

ж} часто для использования модели в целях прогнозирования достаточна относительно грубая оценка параметров, миннмизирующих критерий, в частности не обязательHO достижение глобального минимума;

3) поскольку использование доверительных интервалов и стандартных статистик, как правило, ограничено, их определение не всегда обязательно. |

Исходя из этих особенностей и не останавливаясь на общей проблеме нелинейного оценивания (см. например, [231), отметим кратко достоинства и недостатки наиболее распространенных итерационных методов нелинейного программирования, используемых для оценки параметров различных производственных функций.

Множество методов решения задачи нелинейного про-

граммирования (без ограничений) можно разбить на три группы:

* Для нелинейных многофакторных производственных функций сложного вида статус самостоятельной задачи приобретает даже такая операция, как многократная подстановка известных значений факторов в уже построенную функцию и вычисление значений функции. Для линейных регрессий эта операция He вызывает никаких трудностей.

6* 163

методы нулевого порядка, использующие только аргументы и значения минимизируемой функции;

методы первого порядка, использующие аргументы, значения минимизируемой функции и значения ее частных производных (градиент);

методы второго порядка, использующие кроме аргументов, значений функции и ее первых частных производных также вторые частные производные.

Начнем с методов второго порядка. В основе этих методов лежит квадратичная аппрокснмация минимизируемой функции, т. е. критерия оценки параметров. Если в качестве критерия оценки используется сумма квадратов отклонений, то этого можно достичь, применяя аппрокснмацию производственной функции с помощью линейной функции. Так строится класс методов Ньютона — Гаусса [23]. Недостатком этого метода, а также его многочисленных модификаций, в том числе метода Хартли [74], является то, что хорошая сходимость обеспечивается, как правило, лншь в достаточной близости от точки глобального олтимума. Прнмененне этого метода в случае, когда хорошее начальное приближение нензвестно, часто приводит к неудовлетворительным результатам [56].

Метод Марквардта [76|] наряду с методом Хартли был до недавнего времени одним из нанболее распространенных методов нелинейного оценивания регрессий. Он использует частичную лннеаризацию как производственной функции, так и критерия оценки и позволяет сочетать метод Ныотона — Гаусса с граднентными методами. Обычной «платой» за это является слабая скорость сходимости. Кроме того, поскольку так нли иначе до начала вычислений приходится фиксировать пропорции «смешивания» методов первого и второго порядка, результат расчетов зависит от выбора начального приближения, направления и шага движения. Отметим, что как метод Хартли, так и метод Марквардта орнентированы на оценку параметров по критерию наименьших квадратов и оперируют с частными производными оцениваемой функции.

Методы первого порядка (градиентные методы) используют линеаризацию критерия оценкн, рассматриваемого как функция от параметров. Эти методы требуют аналитического или (в худшем случае) конечно-разностиого вычисления пронзводных получившейся функции H, как правило, хорошо сходятся вдали от точки экстремума и гораздо хуже — вблизи нее. Обычно градиентные методы требуют большого числа итераций и соответственно больших затрат машинного времени. |

164

Таким образом, известные методы первого и второго порядка (объединяемые также термином «методы с производными»):

а) ориентированы на использование частных производных критерия и (или) производственной функции;

6) предназначены в основном для оценки параметров по критерию наименьших квадратов;

в) работают обычно тем хуже, чем выше отклонения производственной функции от линейной.

По соображениям универсальности и простоты для реализации на ЭВМ в последнее время часто используются алгорнтмы оценки параметров производственных функций, основанные на методах нулевого порядка (или методах прямого поиска). Здесь различают методы покоординатного спуска, в которых поочередно осуществляется оптимизация по одной переменной при фиксации остальных, и методы одновременного движения по всем переменным.

Методы покоординатного спуска практически могут быть эффективно использованы, как правило, лишь при оценке функций с числом параметров, не большим трех; в остальных случаях сходимость чрезвычайно замедляется, а порой и вовсе не достигается. Среди методов прямого поиска с одновременным изменением координат одним из наиболее эффективных является метод многогранника [64] другой терминологии — метод симплексного поиска 121}.

Достоинством метода является его малая чувствительность к локальным «неглубоким» минимумам. Кроме того. вычисление значений функции в вершинах многогранннка дает возможность расширить «кругозор» поиска и анализировать качество полученного результата.

Следует отметить, что ни один из перечисленных методов не является универсальным ни относительно вида функция и критерия оценки, ни относительно стадии расчетов. В эгих условиях, видимо, наилучшего результата можно достичь путем организации человеко-машинных процедур оценки параметров. В этом случае исследователь, используя достаточно мощную библиотеку различных программ и методов оценки, сможет в процессе оценки подбирать наиболее эффективные методы, чередуя их и корректируя их параметры в зависимости от текущих и прогнозируемых результатов процесса.

Остановимся кратко на программных средствах построения производственных функций. Общие программы оценки параметров нелинейных регрессий включены сейчас в стандартное математическое обеспечение ЭВМ серии ЕС и СМ ЭВМ. Здесь реализованы варианты метода Хартли и гра-

165

днентные методы. Программа одного из вариантов метода Марквардта, написанная на Фортране, приведена в [24]. Однако эти программы не ориентированы непосредственно на работу с производственными функциями.

Пакет программ, непосредственно предназначенный для расчетов с производственными функциями, описан в [37]. Пакет прикладных программ ПРОФЭР (производственные функции в экономических расчетах) написан на языке Фортран-1У и позволяет производить оценку параметров нелинейных производственных функций по произвольному критерию, анализ результатов оценки параметров и прогнозные расчеты на основе построенных производственных функций,

Оценка параметров ведется назоснове одной из модификаций метода деформируемого многогранника. Для задания вида производственной функции и критерия оценки предусмотрены две возможности: либо работа с одним из фиксированных в пакете видов функций (линейная, Кобба — Дугласа, Леонтьева, CES, LES, Солоу и ap.) и видов критерия (наименьшие квадраты, наименьшие модули, максимин, наименьшие квадраты относительных отклонений и Ap.) в произвольной комбинации, либо вид функции H критерия дополнительно задается с помощью специально написанной подпрограммы. В первом случае функция идентифицируется номером вида, указанием на учитываемый в функции тип технологического прогресса (по классификации [80]) и указанием, является ли ее стелень однородности оцениваемым или задаваемым априорно параметром.

Для анализа результатов оценки вычисляются абсолютные и относительные отклонения расчетных от наблюдаемых значений выходного показателя, среднее относительное, средиее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Определяются также приросты н темпы роста результирующего и факторных показателей, а для многорежимной функции — оценки границ нормальной области.

Прогнозные расчеты на основе построенных функций ведутся путем подстановки в функцию заданных значений факторов и сравнения результатов с фактическими и контрольными (плановыми) значениями объема выпуска. Для наглядного восприятия результатов предусмотрена печать на АЦПУ графика интерполированных фактических, контрольных и вычисленных значений выпуска.

Существует также диалоговая версия пакета, предназначенная для ЭВМ СМ-4. Пакет включен в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР [4].

166

2.6. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТОВАРНОЙ ПРОДУКЦИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ

Опишем этапы построения производственной функции, предназначенной для определения прогноза товарной продукцин на среднесрочный период.

Этап Г. Формулировка целей построения производственной функции. Цель построения функции состоит в прогнозировании`объема товарной продукции в неизменных ценах, выпускаемой одним из производственных объединений в 1987—1991 гг. К моменту проведения расчетов (1986 г.) объединение функционирует в течение 15 лет (1972—1986 гг.), удовлетворяя потребности народного хозяйства в определенной группе приборов и товаров народного потребления. (Все данные по производственному объединению условные.}

Конкретные условия применения искомой производственной функции характеризуются следующим образом. Рассматриваются два основных прогнозных варианта развития объединения. В первом варианте развитие объединения предполагается осуществить в основном путем технического перевооружения и реконструкции, без существенного расширення производственных площадей и нового строительства, в условиях лимитированного прироста численности. Динамика ресурсов объединения в этом варианте: основные производственные фонды растут ежегодно на 6%, оборотные средства возрастают на 4% в год, численность промышленно-производственного персонала — на 1,5%*.

Во втором варианте в целях значительного увеличения вылуска основной продукции ПО планируется в 1989—- 1990 гг. осуществить строительство нового завода. В этом случае предполагается увеличение основных производственных фондов в 1987, 1988 гг. на 6% ежегодно, в 1989 г. — на 9%, в 1990, 1991 гг. — на 8% ежегодно. Соответственно оборотные средства в 1987, 1988 гг. будут возрастать на 4% в год, в 1989—1991 гг. — на 6%. Прирост численности промышленного персонала в 1987—1988 гг. составит 1,5% в год, в 1989-1990 гг. — 3%, в 1991 г. — 2%. В обоих вариантах кардинальные технологические и номенклатурные сдвиги не предусматриваются. Предполагается, что основные элементы хозяйственного механизма, в частности система цен на продукцию ПО, а также предприятий-поставщиков не изменятся, материально-техническое обеспечение

* Исходные цифровые данные о динамнке ресурсов получают экспертным путем, а также с помощью других прогнозно-плановых моделей.

{uy

производства будет достаточно стабильным. В качестве лополнительных вариантов должны быть предусмотрены расчеты объема выпуска при различных комбинациях исходных данных из двух основных вариантов. В результате выполнения первого этапа определено, что

выходным показателем производственной функции будет объем товарной продукции в неизменных ценах (у);

список аргументов производственной функции должен включать среднегодовую стоимость основных производственных фондов (х!), размер оборотных средств (х.}, среднесписочную численность промышленно-производственного персонала (хз);

желательная область определения М, производственной функции должна включать точки x= “Uc, х., Хз), Удовлетворяющие условиям:

44,5 <x, < 59, 8 ‘ua, руб.); 28,1 <x, < 34,7 (млн. py6.); 6,1 <x, < 6,6 (тыс. чел.)

(по совокупности вариантов применения модели);

поскольку пронзводственная функция предназначена для прогнозирования объема выпуска в зависимости от размеров ресурсов, основное внимание при аппроксимации должно уделяться близостн фактических и расчетных значений выходного показателя.

Этап 2. Системный анализ моделируемого объекта. Потребителями продукции объединения являются отрасли народного хозяйства, а также зарубежные страны. Спрос на выпускаемую продукцию не полностью удовлетворяется в прошлом и будет опережать производство в прогнозном периоде, поэтому вся произведенная продукция будет peaлизовываться. Снабжение объединения материалами и сырьем, необходимыми для производства продукции, в ретроспективном периоде является достаточно стабильным. Обеспечение социального развития коллектива объединения требует расширения масштабов производства, повышения доли продукции высшей категории качества и роста пронзводительности труда. Увеличение выпуска должно осуществляться за счет повышения отдачи действующего оборудования и дальнейшей автоматизации производственных процессов, производительность труда должна расти.

Возможность построения модели объединения в виде автомата обусловлена относительной стабильностью укрупненной технологии, а также устойчивостью материально-технического снабжения объединения. Большинство дефицитных видов сырья и материалов в рамках действующей технологии допускает возможность временной замены на

менее дефицитные, поэтому ярко выраженных лимитирующих ресурсов среди сырья и материалов нет. |

Этап 3. Экономический качественный анализ объекта. Технология производственного процесса основных видов продукции включает в себя ряд операций по подготовке компонентов изделий, работы по сборке, монтажу и наладке приборов. Особенностью технологии является широкое применение ручного труда, который постепенно автоматизируется с помощью автоматических линий и систем автоматизированного управления технологическими процессами.

Численность работников, занятых на ручных операциях н составляющих до 50% общей численности [ШИТ, будет сокращаться. За период 1972—1986 гг. один раз осуществAACA переход на новую конструктивную базу, что было связано с изменением структуры материальных затрат, ростом стоимости приобретенного в эти годы оборудования и выпускаемой продукции. В прогнозном периоде подобное изменение не предусматривается. Производительность труда в объединении существенно зависит от его фондовооруженности, поэтому рост основных фондов в условиях ограниченного роста численности будет сопровождаться ростом производительности труда. Перераспределение видов ресурсов и продукции между отдельными хозяйственными единицами, входящими в объединение, не практикуется.

В отрасли, к которой относится данное объединение. принята целевая комплексная программа, определяющая до 1990 г. мероприятия по сокращению ручного труда, техническому развитию производства и высвобождению численности работающих. В числе этих мероприятий, намечено постепенное оснащение рабочих мест средствами автоматизации ручного труда, включая полностью автоматизированные рабочие места (АРМ) проектировщиков и сборщиков. Влияние динамики численности работающих на объем вылуска в прогнозном нериоде будет ограничиваться, уступая место влиянию размеров основных фондов. При этом, если до 1985 г. основным фактором роста выпуска была стоимость активной части основных фондов, то начиная с 1986 г., когда дальнейший рост активной части на действующих площадях станет невозможным, в развитии основных фондов большую роль будет играть пассивная их часть — стоимость зданий и сооружений.

Но мере дальнейшего развития смежных производств основным фактором, лимитирующим приобретение сырья и материалов, становятся оборотные средства. Их влияние на динамику роста объема выпуска может усиливаться.

169

В результате можно сделать вывод о TOM, что существенное влияние на показатель объема выпуска товарной продукции в неизменных ценах оказывают уровни показателей основных производственных фондов, оборотных средств, численности промышленно-производственного персонала, что совпадает с необходнмым для проведения прогнозов составом аргументов производственной функции.

Этап 4. Определение системы показателей производственной функции. В данном случае в результате экономического анализа технологии определен состав показателейаргументов производственной функции, совпадающий с целевыми требованиями к ее использованию: среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов (Xj), размер нормируемых оборотных средств (х.}, среднесписочная численность промышленно-производственного персонала (хз). Выходной показатель — объем товарной продукции в неизменных ценах, введенных с | января 1982 г. Численные данные об этих показателях формируются на основе бухгалтерской отчетности объединения. Определение объема выпуска товарной продукции ретроспективного периода в неизменных ценах потребовало пересчета всей номенклатуры продукции в неизменные цены | января 1982 г. При отсутствии утвержденных цен на изделия, снятые с производства к | января [982 г., определение цен производилось на основе изделий-аналогов. В итоге были получены значения всех показателей за 1972—1986 гг.

Этап 5. Формирование информационной базы для анализа технологии и построения производственной функции. Информационная база анализа технологии и построения производственной функции включает следующие компоненты: а} статистические данные о значениях показателей x, Xo, хз, У за 1972—1985 гг., контрольные значения этих показателей за 1986 г.; 6) статистические данные о фондоемкости и трудоемкости продукции объединения; в) экспертные коэффициенты относительной значимости (достоверности) информации для каждого года (табл. 2.1); г) информацию о программе и тенденциях сокращения ручного труда в объединении на период 1987—1991 гг.; д} информацию об особенностях технологии, составе сырья и материалов и системе материально-технического снабжения объединения; е} информацию о цели построения производственной функции и множестве

Этап 6. Анализ существования и свойств агрегированной экономической технологии. В пользу существования агрегированной экономической технологии Y = т (х1, Х»,Хз) говорят следующие соображения. В составе основных фон-

170

дов, нспользуемых в производстве данного вида приборов, в широком диапазоне допустима замена отдельных видов оборудования другими; уникальные станки, приборы, системы, лимитирующие объем выпуска в масштабе всего объединения, отсутствуют. В номенклатуре используемых предметов труда имеется несколько видов дефицитных материалов (в основном драгоценные металлы), однако они не выстулают как лимитирующие; поскольку могут быть заменены (возможно, с некоторым изменением технологии) другими. Аналогичное положение имеет место с различными категориями трудовых ресурсов. В итоге в качестве аргументов агрегированной технологии могут быть приняты X,, Xo, Хз. Технологическая структура производства изменяется со временем, однако устойчивость структуры групп потребляемых ресурсов и функциональных потребностей народного хозяйства, ‘удовлетворяемых продукцией объединения, также подтверждает существование функции и = == т (X,, Xo, Хз). Анализ данных табл. 2.1 показывает, что приросту каждого из ресурсов соответствует положительный прирост выпуска. В таблице нет данных о результатах изолированного изменения каждого из ресурсов, однако известно, что объединение испытывает хроническую нехватку оборотных средств и его штаты не полностью укомплектованы. Это позволяет утверждать, что функция т будет BO3растать с ростом каждого аргумента. Ограниченность производственных площадей, лимиты капитальных вложений не позволяют, однако, расширять масштабы производства более чем в 1,5 раза в прогнозном периоде, поэтому можно считать, что эффективность прироста ресурса падает по мере его дальнейшего увеличения. Наконец, в таблице отсутствуют данные, противоречащие гипотезе об однородности функции t. Таким образом, есть основание предполагать, что т удовлетворяет неоклассическим критериям. Рассмотрим вопрос о возможностях замены аргументов функции т. Начнем с возможностей замещения живого и овеществленного труда. Как установлено на этапе 1, в отрасли, к которой относится объединение, в прогнозном периоде действует программа сокращения ручного труда путем внедрения автоматизированного оборудования и систем управления. Это должно обеспечить определенную компенсацию снижения прироста численности работающих. Вместе с тем внедрение автоматизированных систем управления приведет к некоторому увеличению численности работников, занятых внедрением, эксплуатацией и развитием АСУП. Таким образом, в прогнозном периоде ожидается относительно стабильный уровень технологической заме-

171

Таблица 2.1

Товарная про- Основные про-| Оборотные | Численность |. х_ Год дукция, изводственные! средства, |MPOMbIlUNeHHO- |> 2 3 2 1972 38,2 15,3 11,2 3,9 | 1973 43,5 15,9 12,1 4,2 J 1974 44,5 17,1 12,8 4,4 | 1975 47,8 18,8 13,3 4,6 2 1976 52,0 19,9 14,} 4,7 2 1977 54,6 21,2 14,9 4,9 2 1978 57,8 23,6 15,7 5,1 2 1979 60,4 25,3 16,8 5,2 2 1980 66,1 27,2 18,1 5,4 2 1981 70,7 30,6 AQT 5,5 2 1982 76.7 33,5 91,5 5,7 5 1983 80,2 35,8 22,3 5,7 7 1984 84,7 37,0 24,7 5,8 8 1985 87,0 39,2 25,6 6,0 9 1986 92,2 42,0 27,0 6,0 10

няемости между живым и овеществленным трудом. Условиям установившегося режима примерно соответствует пропорциональность предельной и средней производительности факторов. В свою очередь, это означает, что эластичность замены живого н овеществленного труда можно принять равной единице (см. п. 2.2.1).

Овеществленный труд в данном случае представлен стоимостью основных фондов и оборотных средств объединения. Соотношение между пими, как видно из данных табл. 2.1, близко к постоянному, так что перелива средств из одной категории ресурсов в другую не наблюдается и говорить о технологической замещаемости этих видов ресурсов, очевидно, нет оснований. Что же касается экономической замещаемости, то априори ее нельзя считать невозможной. Изменение объемов и структуры запасов оборотных средств, сопровождающееся некоторым изменением конструкции вылускаемых приборов, может быть скомпенсировано (при сохранении объема товарной продукции) определенным изменением парка оборудования при увеличении его стоимости. Поэтому будем считать эластичность замены 0:. показателей х: и х. оцениваемым параметром. По предварительным прогнозам ее величина, видимо, не должна значительно отличаться от единицы.

Рассмотрим вопрос о конфигурации области определения D технологии. Область „вл ограничена в пространстве отношений х„х, величинами: |

{72

0,64 < х./х, < 0,76; 0,14 <хух, < 0,25.

Величина хз/х,, обратная фондовооруженности труда, в ретроспективном периоде падает с 0,25 до 0, 14 чел./тыс. руб. Следует ожидать ее дальнейшего уменьшения (с замедлятощимся темпом) и в прогнозном периоде. Соотношение между оборотными средствами и основными фондами сохраняется в пределах 0,64—0,76 тыс. руб. Значения функции т в точках Dy a5, приведены в табл. 2.1.

Этап 7.'Формирование отношения pz. Отношение р будем строить в виде р. = Px [| Pr, где Py — отношение принадлежности к некоторому параметрическому классу функций F, р; — критернальное отношение предпорядка на классе Р. Таким образом, необходимо определить внд производственной функции и ее области определения, а также критерий Q оценки их параметров.

Согласно информации о свойствах агрегированной экономической технологии т, полученной в результате этапа 6, производственная функция должна удовлетворять неоклассическим условиям неубывания, однородности, вогнутости. Для выбора конкретного параметрического класса F обратимся к данным о возможностях взаимного замещения факторов функции т. Как установлено на этапе 6, парная эластичность замены между х!, Хз и Xa, Xz может быть принята постоянной и равной | в прогнозном перноде. Эластичность замены между X, и х. также будем считать постоянной и равной неизвестной константе 0,5, несколько меньшей единицы. Приняв определение парной эластичности замены по Аллену, получим, что

Of, (X4, Х», Хз) ЕЕ Oia; ОВ, (Xa, Xe, Хз) ==1; 04, (м, Xa, Хз) == I.

Таким условиям удовлетворяют функции из параметрического класса CESA, а именно

F (Xa, Хы хз) = (Gy xB + а» xf) P/F gs

Перейдем к области определения производственной функции. Поскольку производственная функция предназначена не для аналитических, а для прогнозных расчетов в условиях вполне определенных вариантов изменения аргументов, то основным в построении области определения является не столько вопрос о конфигурации и гравицах области определения, сколько вопрос о том, допустимо ли применение функции в желаемой области M,. В пространстве соотношений между ресурсами эта область задается условиями: 0,58 < х./х, < 0,64; 0,11 < х./х, < 0,14. `

173

В условиях роста производительности труда область M, неизбежно выходит за пределы, заданные множеством Мб в пространстве соотношений. Однако амплитуда разброса (динамики) значений отношений х./х, хх в прогнозном периоде не превышает степень разброса Дина. мики) значений этого отношения в ретроспективном периоде. Поэтому можно ожидать, что производственная функция, построенная на статистических данных множества М насл» будет пригодна также для моделирования процесса на множестве М

Если бы функция CESA использовалась для аналитических расчетов, причем Oy, => 1, то область определения функции по конфигурации должна была бы иметь вид эллиптического конуса:

К == {(X1, хе, Хз) 6 RY |—xi + bg х3 В, x3 < 0},

эластичность которого Ox по модулю равна единице. Коэффициенты 6.. 6, можно определить методом построения многорежимной производственной функции.

Наконец, необходимо решить вопрос о виде критерия оценки параметров. Поскольку целью построения производственной функции является прогноз, критерии оценки параметров «по изоквантам» не применялись. При условии с, ~ 1 ближайшей к f функцией вида СЕЗМ является функция Кобба — Дугласа. Согласно принципам формирования критериев оценки параметров с учетом вида функции, изложенным в п. 2.4, в этом случае можно остановиться на критерии наименьших квадратов вида @ = @1и1 -|..

‚ + orup, где и: = ly 2) —/(х @) f= 1,..., Т.

Коэффициенты @;, ..., от, определяющие вклад отклонений Uy, ..., ит в общее значение критерия, полагаем равными коэффициентам относительной значимости данных, установленным на этапе 3. Теперь критерий оценки параметров производственной функции имеет вид

С == uj + и из + 2.4 + 2,8 + Qug + 2и7 + 2,8 + 23 | + Quito би 72 + 813 +9ut, +1015.

Этап 8. Определение вычислительного алгоритма И. Для вычисления значений параметров ay, аз, Вл, yi, У» производственной функции в данном случае использовался` пакет прикладных программ ПРОФЭР [37], в котором вычислительный алгоритм У реализует одну из монотонных модификаций метода деформируемого многогранника.

Этап 9. Подготовка программного обеспечения. Поскольку для проведения расчетов был использован пакет

174

Таблица 2.2

Товарная Основные Оборотные Численность млн. руб. ды. млн. руб. млн. руб. Hana. тыс. чел. 1987 96,4 44,5 28,1 6,1 96,4 44,5 28,1 6,1 100,6 47,2 29,2. 6,2 1988 — —— —— 100,6 47,2 29,2 6,2 ‚9 . 50,0 30,3 6,3 1989 104 — — 107 ,2 51,4 30,9 6,4 | 53,0 31, , 1990 109,6 1,6 6,4 113,5 55,4 32,8 6,5 2 2, 1991 114,3 56 32,8 6,5 120,1 59,8 34,7 6,6

программ ПРОФЭР, подготовка свелась к записи вида функции и критерия оценки ее параметров в виде подпрограммы на языке Фортран, трансляции программы и компоновке ее с основными программами пакета.

Этап 10. Расчет производственной функции и области ее определения. Для проведения расчета необходимо ввести в ЭВМ исходные статистические данные и параметры, управляющие работой алгоритма, в том числе начальное значение вектора параметров функции. В результате работы программы оценки параметров была получена функция:

0,81004

= (0,53214х;-0,1032! {-0,29986х.— 0.10321} 010321 х.0,13287,

Начальное значение критерия оценки, соответствующее вектору а, = а. = В = 7, = yo = 1, равно @ = 0,396 x Хх 107. 'Конечное значение критерия, соответствующее вектору а: == 0,53214, a, = 0,29986, В = —0,10321, y, - = 0,81004, зу, = 0,13287, равно О = 0,275 - 10°.

Анализ отклонений вычисленных и фактических данных показывает, что достигнута достаточно высокая стелень приближения (коэффициент вариации — 1,49%). В качестве области определения для прогнозных расчетов, HC-

пользуется множество M = {(х,, х», хз} Е ЮЗ [0,58 <= ~<

< 0,64; 01 < a < 0,14}. Результаты использования по3

строенной функции приведены в табл. 2.2 (в числителе — по первому, в знаменателе — по второму варианту).

175

Глава 3

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И МОДЕЛИ ЭФФЕКТИВНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

3.4. ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА ЗАТРАТ НА {1 РУБ. ТОВАРНОЙ И НОРМАТИВНОЙ ЧИСТОЙ ПРОДУКЦИИ

3.1.1. Понятие и основные свойства функции удельных затрат

С каждой производственной функцией, отражающей непосредственный процесс производства на предприятии, в объединении, отрасли, можно связать целый ряд производных. зависимостей, использование которых позволяет 60лее полно исследовать функционирование системы. Тождественные преобразования производственной функции, ВЫполненные с помощью алгебраических операций, дифференцирования или интегрирования, приводят к моделям таких показателей, как производительность труда, фондоотдача, оборачиваемость оборотных средств, их приростные (предельные) характеристики. Так, разделив обе части равенства и = (хи, хо, Хз) (где у — объем выпуска, х, — стоимость основных фондов, х. — размер оборотных средств, x3 — численность промышленно-производственного персонала} на хз, получим один из возможных вариантов факторной модели производительности труда: = = — ait Xe, Х.).

Если производственная функция } является классической, то в качестве факторов динамики производительности ‘труда выступают фондовооруженность и соотношение меж-

ду оборотными средствами и основными фондами: = = 3

Другая группа производных зависимостей возникает в результате применения операций отыскания экстремумов функций. Два наиболее важных примера таких моделей — функция минимальных затрат на | руб. продукции и функция максимальной прибыли — рассмотрены ниже.

Показатель объема затрат на производство продукции наряду с показателем объема выпуска служит одной из важ-

176

нейших характеристик функционирования промышленных систем. Сопоставление затрат и результатов производства позволяет сделать выводы о его эффективности, рентабельности, целесообразности расширения или сокращения производства. Это сопоставление в экономической практике производится обычно двумя путями — либо с помощью анализа разности у — $, где и — объем выпуска, $ — объем затрат, либо с помощью анализа отношения s/y. Первый из показателей в обобщенном виде характеризует прибыль от промышленно-производственной деятельности, второй — затраты на | руб. объема выпуска. Одна из основных задач экономического анализа состоит в определении систем факторов, влияющих на уровень этих показателей (факторных систем), и построении модели количественной зависимости показателей от уровня факторов. Факторная модель такого характера для показателя затрат Ha | руб. выпуска называется функцией удельных затрат, для показателя прибыли — финкцией прибыли.

Теорема двойственности для классических производственных функций, доказываемая в п. 3.1.2, устанавливает почти полную обратимость связей между производственной функцией и функцией минимальных затрат на единицу выпускаемой продукции. Из этой теоремы вытекает, что, хотя концепция [ПФ сама по себе не опирается на какие-либо предположения об оптимальности моделируемого процесса, сопряженная с ней функция удельных затрат строится как результат оптимизации. Это позволяет рассматривать ПФ как модель, сочетающую оптимизационные и имитационные принципы моделирования.

При формировании факторных систем показателей важно не упускать из виду цель построения модели. Здесь различают две ситуации: в одном случае конечной целью исследования может быть непосредственный анализ взаимосвязей различных показателей деятельности экономической системы. Результаты этого анализа впоследствии могут быть использованы для контроля данных, прогнозирования, выявления закономерностей. Bo Bropom случае цель состоит в определении управляемых факторов, изменение которых привело бы к улучшению значений данного показателя. Именно этот, наиболее важный для практики случай рассматривается в данном пункте.

Все показатели, относящиеся к деятельности данной производственной системы, можно расположить по иерархическим уровням в зависимости от степени регулируемостн данного фактора. На высшем уровне находятся показатели, характеризующие в обобщенном виде результаты дея-

177

тельности системы (затраты на 1 руб. продукции, прибыль, рентабельность и т. д.). На более низком уровне располагаются показатели, характеризующие результаты определенных мероприятий по улучшению работы. Наконец, самый низкий уровень занимают показатели, описывающие не результаты, а исходные характеристики мероприятий. Такое разделение показателей связано с тем, что лишь в редких случаях руководство объединения (предприятия, отрасли и т. д.} имеет возможность провести мероприятия, обеспечивающие непосредственное увеличение фондоотдачи, производительности труда и других результативных показателей. Как правило, в пределах возможностей руководства находятся мероприятия, изменяющие количество, структуру и организацию использования тех или иных ресурсов. Например, такое мероприятие, как приобретение, монтаж и наладка автоматической линии, характеризуется в первую очередь капитальными вложениями, необходимыми для этого, и соответствующим приростом стоимости активной части основных производственных фондов. Что же касается вклада данной линии в прирост выпуска продукции, производительности труда и т. д., то эти показатели являются расчетными и их реальные значения могут существенно отличаться от предполагаемых.

В связи с этим одно из основных требований к факторной системе состоит в том, что она должна включать лишь те показатели, которые допускают непосредственный контроль и управление. Второе требование касается возможности построения функции, связывающей значения факторов C уровнем результативного показателя. Включение в факторную систему показателей, абсолютно разнородных по содержанию, областям значений и характеру изменений, обычно делает практически трудноразрешимой проблему построения достаточно’ адекватной функции. Наконец, третье требование заключается в полноте информационной базы для построения факторной модели, т. е. наличии достаточно представительных (и долголетних) рядов наблюдений.

Вопрос о факторных системах для показателя удельных затрат не раз обсуждался в литературе. В частности, в работе [65] предложены факторные` системы, включающие до. восьми различных показателей, в том числе столь разнородные, как индекс роста производственных фондов, товарная продукция и длительность производственного цикла.

некоторых случаях в факторные системы включаются показатели, находящиеся на верхних ступенях по сложности управления ими. В результате такие системы, сформированные либо экспертным путем, либо на основе чисто

178

статистического корреляционного анализа наблюдений, не полностью отвечают предъявляемым к ним требованиям.

Покажем, что состав факторной системы для показателя «затраты на | руб. выпуска продукции» тесно связан с составом аргументов производственной функции (который совпадает с составом аргументов агрегированной экономической технологии).

Пусть основные фонды объединения представлены в его производственной функции А показателями 41, ..., ХА, OTражающими структуру и размеры фондов, трудовые ресурсы — т показателями х3, ..., х", характеризующими размеры отдельных квалифицированных групп, оборотные средства — показателем хо; Ce) функция за-

писывается в виде и == f(x}, ..., x7, Хо, ХЗ, ..., ХТ). Пусть cj, ... ck — нормы амортизационных “отчислений по каждому из Ра ‚видов основных фондов, с3, ..., с" — средние ставки за-

‘работной платы одного работающего в каждой из т квали-. фикационных групп.

Оборотные средства объединения х. складываются из. сумм, предназначенных для создания производственных запасов, покрытия стоимости незавершенного производства, готовой продукции и прочих элементов. Если n, — доля производственных запасов в общей сумме оборотных средств, п. — норма производственных запасов на данный год (в днях запаса), тогда материальные затраты в себестоимости

по будут равны 1х. == 360.

Теперь себестоимость годовой продукции может быть записана как

& m s= Ni СВ +e, xy У, с №, (3.1) “fy My где Cy== —+ 360 Величины Cy, ..., Cy, ..., С" носят характер нормативов,

их можно считать относительно постоянными коэффициеятами, а себестоимость рассматривать как. линейную функцию от показателей производственных ресурсов XT, .0e, Ха +. xm. Коэффициенты Cy, ..., Со, ..., Cf’ будем называть структурными коэффициентами себестои мости.

Затраты Ha 1 руб. продукции соответственно равны:

& m | > ci xt +e, то ch xt = = ; (3.2)

f (xf) vee a Kay eee y хт)

Как известно, в большинстве случаев один и тот же объем товарной продукции у может быть получен различными способами. В этих условиях предпочтение должно отдаваться. тому способу, при котором затраты на производство продукции меньше. В связи с этим представляет интерес определение минимального уровня затрат Ha | руб. продукции при заданном ее объеме:

& m

z-= min = = (3.3) {ТРО =) у В общем случае правая часть выражения (3.3) зависит от нормативов Cj, ..., Са, ..., СИ и объема выпуска и: z= 2(у, СТ, ..., Co, ..., Ст). (3.4)

Поскольку именно минимально допустимое значение удельных затрат при данном объеме выпуска должно закладываться в планы в качестве нормативного, функцию (3.3) назовем нормативной функцией удельных затрат.

Если производственная функция системы f(x) является однородной первой степени, то нормативная функция. удельных затрат не зависит от объема выпуска и связывает между собой нормативный уровень затрат на | руб. продукции, нормы амортизационных отчислений, нормативы структуры .и оборачиваемости оборотных средств, уровни средней заработной платы одного работника по квалификационным группам:

. сх . CX . ` z= min — = min —= min cx=g (c) (Роду) 9 [и (== 1] У МИЯ =О \ у J

(здесь C= (CT, ..., Co, ..., €%)).

Рассмотрим некоторые ‘свойства нормативной функции удельных затрат. Очевидно, 2(с) — неотрицательная функция, определенная для любого неотрицательного вектора с = (Ci, ..., Cy, ..., ст") у которого первые А коэффициентов (нормы ‘амортизационных отчислений) не превосходят единицы. Обозначим через В множество таких векторов:

1 -

В = ((с1,..., CR, Cy, 63, ..., Ст) 6 Кита I [сть we ES 1}. Это множество обладает следующим свойством: для любого вектора c€ Ю*+"+! существует такое число А, > 0, чта

С . te Е В (достаточно положить A, = max(ci, ... ,c®)). Пользуясь этим свойством, функцию 9{с) можно распространить с MHO-

180

жества В на весь неотрицательный ортант Rett! счнтая, ‘что 2(с) = A.g(c/A,) при СЕВ. Непосредственно прове- ‘ряется, что функция O(c) однородна, первой степени и вогну- ‘та (см. также п. 3.1.2) Следовательно, g(c) удовлетворяет. тем же классическим критериям, что и производственная

функция. Очевидно, g (5) x сх х сх - | f (x) —сх ах Ge

Величина f(x) — сх выражает разность между объемом выпуска и затратами, т. е. прибыль, а ее отношение к сх — рентабельность производства (к себестоимости). Следовательно, ‚обратная к g(c) величина отличается от нормативного уровня ‘рентабельности на единицу. Если построена производственная функция предприятия

Ёи известны его ресурсы x, то ожидаемый объем выпуска ‚у определяется путем непосредственного вычисления значения функции f в точке x. Используя норматив удельных ‘затрат 2, можно найти объем выпуска при данных ресурсах косвенным путем, через объем затрат. Поскольку отдача. ‘каждого рубля затрат должна согласно нормативу составить 1/2 руб. продукции, то затраты на использование ресурсов, х, равные сх, должны обеспечить производство продукции в размере сх/2. Числитель и знаменатель этой дроби зависят от вектора с, но даже в наихудшем случае можно гарантировать выпуск в объеме

В (х) == та. (3.5) с Zz

Назовем функцию Я (x) нормативной функцией выпуска. В каком соотношении она находится с функцией f(x)? Оказывается, что если уровень норматива удельных затрат согласован с нормативами с1, ..., Co, ..., СП, Т.е. 2 = gc), где в — ’ нормативная функция удельных затрат, а производственная

функция является классической, тт

A(x) = F(x). (3.6)

Это означает, что в классической ситуации прямой

(через производственную функцию) и косвенный (через нор-

„мативную функцию удельных затрат) способы определения - объема выпуска при данных ресурсах равносильны.

° Конкретное содержание эти выводы могут получить, на-

‚ пример, в следующей ситуации. Предположим, что для про-

181

низводства продукции объединение нуждается в комплектующих изделиях, причем может либо организовать их собственное производство, либо заключить договор об их поставке с другого объединения. В обоих случаях предприятию производителю будут выделены дополнительные ресурсы — основные фонды, оборотные средства, а также рабочая CHла в размере х. Объем произведенной с их помошью продукции в обоих случаях будет равен f(x). Использование этих. ресурсов для собственного производства потребует от предприятия затрат в размере себестоимости продукции, т. е. $ = сх. Эти затраты будут произведены в процессе произ-. водства продукции и возмещены после ее реализации в COставе основной продукции предприятия. В случае отказа от собственного производства эти средства могли бы быть израсходованы предприятием на приобретение продукции у предприятия-поставщика. Какое количество продукции может быть приобретено на эту сумму? Если производственная функция для предприятия-поставщика также равна f(x),

нормативная функция удельных затрат — gic), то величина й(х, с) = cx/g(c) показывает, какое количество продукции

может быть приобретено на сх руб. Так как gic) < Fay при

сх любых с, x, тои f(x) < =@ = h(c, x). Следовательно, при условии соблюдения нормативного

уровня затрат на | руб. продукции объем приобретенной продукции не меньше, чем объем продукции, произведенной непосредственно на предприятии. Если заранее не известен структурный вектор нормативов себестоимости с, то гарантированный объем приобретенной продукции составит: - h(x) = min FAG у. В этой ситуации равенство функций f(x) с

и h(x) означает, что в указанных условиях имеет место определенного рода равновесие: отказ от производства`в пользу коммерческих операций не приносит, вообще говоря, дополнительного эффекта.

Равенство (3.6) составляет содержание теоремы двойственности для классических производственных функций. Из нее вытекает, в частности, что функция f(x) восстанавливается по функции g(c), причем переход от g(c) к f(x) производится по той же формуле, что и переход oT f(x) к gic). С информационной точки зрения это означает, что функция удельных затрат g(c) содержит столько же информации о деятельности системы, сколько и ее производственная функция f(x). Это обстоятельство позволяет привлекать для по-. строения производственной функции дополнительную ин-

182

формацию. Так, если число наблюдений слишком мало для надежной оценки параметров, или статистическая информация о значениях функции и ее факторов недостаточно представительна, в состав исходной информации можно включить статистические данные о нормативе удельных затрат г и нормативах Cl, ..., Co, ..., Ст. Параметры нормативной функции удельных затрат связаны однозначной функциональной заBHCHMOCTbIO с параметрами производственной функции (см. п. 3.1.3), поэтому оценку параметров можно вести Kak Ha основе функции g(c) с использованием нормативных CTaTHстических данных, так и на основе функции f(x) с использованием фактических данных о размерах ресурсов и выпуска. Возможны также разнообразные перекрестные варианты. Использование двойственных функций позволяет также более обоснованно определять вид и границы области опре_ деления производственной функции.

3.1.2. Двойственность между производственной функцией ‚м функцией удельных затрат

При изложении математических основ теории двойственности мы примем более абстрактные определения производственной функции, функции себестоимости и удельных затрат, чем ранее. Это объясняется стремлением получить максимально общие результаты, пригодные для использования при всех конкретных реализациях указанных. экономикоматематических понятий.

Определим сначала абстрактное понятие классической производственной функции. В п. 1.3.4 введено понятие классической производственной функции как неотрицательной, однородной первой степени, вогнутой функции, определенной на неотрицательном ортанте п-мерного действительного пространства. Однако в некоторых случаях возникает необходимость рассматривать производственные функции в пространствах, имеющих бесконечную размерность. Так, объем произведенной за период продукции у можно рассматривать не только как функцию от средних или суммарных размеров ресурсов за этот период, но и в зависимости от динамики показателей ресурсов за этот или более длительный отрезок времени. В этом случае аргументами производственной функции являются не отдельные числа, а функции от времени х; (1), выражающие «траектории» изменения факторов за период Т:

у = FH (QIEE T}, ..., ОЕ Т}}. 183

Область определения такой функции } лежит в бесконечномерном пространстве, являющемся произведением п пространств функций от одной переменной. :

Поскольку реальная область определения производст-. венной функции, как правило, не охватывает все простран-- ство, необходимо каждый раз явно указывать конфигурацию или свойства этой области. Из результатов в п. 2.3 следует, что область определения М классической производственной. функции должна быть конусом, т. е. АхЕМ для любых ХЕМ, XK 20; x + x” EM для любых x’, х"ЕМ. |

Таким образом, приходим к следующему общему определению: под классической производственной функцией будем понимать произвольную конечную, неотрицательную, однородную, первой степени и вогнутую функцию }, определенную на непустом конусе К произвольного линейного пространства L.

Каждый конус К в линейном пространстве L задает сле-

дующее бинарное отношение на L: считается, что x’ 2х’; если x’ — x” € K (х', x” Е Г). Относительно этого отношения классическая производственная функция является MOHOтонной, т. е. если x’ > x", то f(x’) > F(x"). Действительно,

fee’) = fl — хх) > — =) + К) > и)

ввиду суперлинейности и неотрицательности классической производственной функции.

Кроме того, f(0) = 0, поскольку f(0) = КО + 0) > 240); что возможно лишь при {(0) =0 или f(0) = оо.

Определим теперь абстрактную функцию себестоимости продукции. В случае трех видов ресурсов производства (что соответствует трехмерному пространству L = КЗ) ceбестоимость представляла собой линейную функцию на №3 с неотрицательными коэффициентами, первый из которых не превосходил единицы (см. п. 3.1.1}. Заметим, что любая неотрицательная линейная функция на ЮЗ будет удовлетворять этому ограничению, если ее умножить на подходящую положительную константу. Перенося эту ситуацию на общий случай произвольного линейного пространства L, будем считать, что среди множества К+ всех линейных функций на L, принимающих на конусе К неотрицательные значения, выделено некоторое подмножество 5, .обладающее следующим свойством: для любого с Е К+ существует константа А, > 0, такая, что AcE $. Элементы множества будем называть функциями себестоимости. Если с Е 5, то для каждой точки х пространства ресурсов, приндлежащей конусу К, величина с(х) указывает себестоимость продукции, полученной при использовании ресурсов х. Роль век-

184

<тора структурных коэффициентов себестоимости играет функция c € 5, что позволяет рассматривать величину себе- . стоимости $ как функцию от двух аргументов: точки пространства ресурсов x€ К и функции с 6 S <= Kt: $ ==5(с,х). `Областью определения функции 5$ является множество 5х К, однако, пользуясь однородностью себестоимостн относительно структурных коэффициентов и тем, что кажnaa функция c’ € К может быть преобразована в функцию c€ S путем умножения на константу А, можно считать, что функция себестоимости $ определена на всем множестве K+ x К. | ‘ Нормативная функция удельных затрат (минимальных ‚затрат на единицу объема продукции) определяется теперь ‘для любого c€ K+ как ' g (с) = и 2 (>)

(xEK, } boy

Очевидно, функция g(c) неотрицательна, не принимает бесконечных значений на К и является однородной, первой степени. Кроме того, для любых с’, c” € Kt

(xEK. f(x) #0} (SK, Г) #0)

Обозначим через L* линейное пространство всех линей- ‚ных функций на пространстве L. Множество K+ лежит в L* и является конусом, Функция удельных затрат g(c) определена Ha конусе K+ и обладает всеми математическими свойствами классической функции.

Пусть ®,; — множество всех пар вида (К, f), где К — конус в пространстве L; } — определенная на К классическая производственная функция. Переход от пары (К, f) к ‘паре (К+, g) задает отображение множества Ф ; в множество „Фь., состоящее из пар «конус в пространстве L*, классичес- ‚кая функция на конусе». Обозначим это отображение через 6

Поскольку результатом применения отображения 6 к классической функции f является также классическая функция &, его можно применить вторично, уже к паре (К+, 8). Пусть 5(К+, в) =(К++, 2) 6 Ф,... Функция A определена на конусе K++, лежащем в дважды сопряженном к L пространстве L+*. Его элементами являтотся линейные функции на пространстве L*. В точке и Е К++ функция A принимает значение

и (с)

185

Несмотря на то что функция A определена на дважды сопряженном к К конусе At+, ее можно рассматривать и как функцию на исходном конусе К. Это связано с тем, что каждому элементу x € К естественным образом ставится в соответствие функция xt+ Е K++, следующим образом определенная на конусе К+Т: х++ (6) считается равным с(х) для лю6oro c€ K+. Так как c(x) > 0 прихЕ К, то их + Е K++. Таким образом, существует естественное отображение области определения К функции f в область определения К++ функции й. (Во многих случаях это отображение является вложением, аесли L — конечномерное пространство и К — замк-. нутый конус, то K++ = К [44].) Следовательно, функцию`й можно считать определенной на исходном конусе К в соответствии с выражением

в (= inf c (x) {сек +, в te) +0} & (6)

Точку x € К назовем внутренней точкой конуса К, если` для любой точки z€ Г, найдется такое число в >> 0, что при любом A, |^| < в, точка x + Az принадлежит К. Смысл этого определения в том, что внутренняя точка конуса «со всех сторон» окружена точками вида x + Az, также лежащими в конусе. Точки, лежащие «на границе» конуса, таким свойством не обладают. Если L — п-мерное пространство, то точка х Е К <: L будет внутренней, если ее можно поместить в центр шара, целиком лежащего в К. Множество внутренних точек конуса обозначим через /К. Множество ГК |) {0} также будет конусом. Если множество К удовлетворяет условию AK <: К при любом А > 0, то [K+ К.

Теперь можно сформулировать теорему двойственности между производственными функциями и функциями удельных затрат.

Теорема двойственности для классических производственных функций. Пусть Г. — линейное пространство, К — конус в нем с непустой внутренностью, f — определенная на К ненулевая классическая производственная функция. Тогда h(x) = f(x) для любой точки x € IK.

Для доказательства теоремы нам потребуются три дополнительных утверждения — леммы |, 2и 3.

Лемма 1. Если хЕ /K, то f(x) #0.

Доказательство. Так как f не равна тождественно нулю на К, то существует точка x, Е К, в которой f(x) 0. Пусть x € TK и х=2 x,. Рассмотрим точку 2 = = x, — x€L. Носкольку x — внутренняя точка, для точки 2 существует такое е >> 0, что x + № ЕК при fal <e. В частности, при A =— точка x = x — 2(х, — x) при-

186

надлежит К. Положим 8’ = в/(1 + 8). Тогда O<ce’ <<], Bx, ЕК, (1 — =')х' Е К и, следовательно, в’х, +- (1 — =’) x x x’ ЕК. Далее, f(e’x, + (1 — =')х') > = Кх) + (1— =) x х f(<’) ввиду вогнутости функции {. Ho f(x,) > 0, 1 — 8’ > > 0, f(x’) > 0, значит, fen + (1 — e’)x’) > 0. Поскольку ex, + (1 —=)х = == =: + Ех = х, отсюда следует требуемое утверждение.

Таким образом, классическая производственная функция может быть равна нулю только на границе области определения.

«(Лемма 2. Пусть К — конус в линейном пространстве L, } — заданная на К классическая производственная функция. Тогда для любой точки x) Е /К существует линейная функция с, Е К+, удовлетворяющая условиям бо(Хо) = Ё (хо), Co(x) > f(x) во всех точках хЕ К. “Доказательство. Рассмотрим функцию

— —f (x) при x€ K; 37 Ф (x) со при ХК, x€L. 9.0

Функция (x) определена на всем пространстве Г, a множество точек, в которых p(x) « со, совпадает с конусом К. Непосредственно из свойств функции f вытекает, что ф — линейно-однородная выпуклая функция.

Пусть х, 6 /K. Рассмотрим в пространстве /. множество точек вида f = Ах., где”^ — произвольное действительное число. Это множество образует линейное подпространство Ly < L. Определим на Ly линейную функцию 4(1 формулой &(1) = ах — = Ap(x,). Покажем, что d(l) < p(f) для любого [Е Ly. Действительно, если А > 0, то 4 {1} = 4(Аж) = = А^9(%) = O(Ax,) = Ф(1) ввиду линейной однородности функции ~. Если же А < 0, то точка / = Ах, не может принадлежать К, так как если [Е К, то —x, Е К, откуда 0 = = КО) = Кж — Xo) > Кхо) + К—хо). Поскольку функция f неотрицательна, последнее неравенство возможно лишь при {(хо) = 0. Это, однако, противоречит лемме |. Следовательно, / 6 К, т. е. pif) = oo. Таким образом, 4(1) < pif) при любом 16 Lo.

Теперь покажем, что линейную функцию 4(1), определенную на одномерном подпространстве Ly <= L, можно про-

должить до линейной функции d(x), определенной уже на всем пространстве L и удовлетворяющей условиям: &(1) = = 4()) при [Е Ly, d(x) < Ф(%) при x€ L.

Для этого потребуется еще одно вспомогательное утверждение. Убедимся, что если функция d определена на

187

некотором подпространстве L’, то ее можно продолжить на. большее подпространство Г” вида L” = {L’, 2}. 2

Лемма 3. Пусть К — конус в линейном пространст-‘ ве L; L’ — подпространство в Г, имеющее непустое пере-. сечение с /K; ф — линейно-однородная выпуклая функция, .

определенная на L по формуле (3.7); 4 — произвольная линейная функция, определенная на подпространстве L’ и. удовлетворяющая условию d(l) < Ф(1]) для любого [Е Г’.. Тогда для любого 2 Е Г. существует линейная функция 4, : определенная на подпространстве L” = {L’, 2}, порожден-- ном элементами пространства /, и вектором 2, и такая, что |

41) = d() при [Е Г’; d(x) < p{x) при х ЕЁ". Доказательство. Пусть 2 Е Г, 1 (2) = inf {Ф(1-+ =’

+ 2) — d(/)}, S@) = SUP, {d(t) — o(f — 2)}.

Если Дир — произвольные элементы пространства Lt ‘ то из линейности функции 4 и выпуклости функции ф сле-

дует, что @(1:) + d(l,) = а + Ь) < ФЕ Ь) = Of, — ав 2) < (1 — 2) + 9, 2), т. е Ol, +z) — — d(l,) > d(f,) — +1 —2). Отсюда S(z) < Ца). Покажем, что [(2) == —oo. В самом деле, если / (2) = — со то ввиду неравенства S(z) < / (2) величина S(z) также равна — оо. Но определению S(2) отсюда следует, что p({/ — 2)= оо при’ любом [Е Г’. | Это, однако, невозможно, так как по условию леммы пространство L’ содержит точку /’, являющуюся внутренней для конуса К. Значит, для точки 2’ = —z существует такое число & >> 0, что при любом 6, по модулю не превосходящем. в, точка /’-- 62’ = /’ — 62 принадлежит К. В частности, . при 6 =e получаем, что Ф(Г — ez) < осо. Так как = > 0, то величина Ф(Г/е — 2) также конечна. Следовательно, Кг) > — =. | Теперь ‘аналогичным образом убедимся в том, что S(z) =2' + + oa. Действительно, в противном случае /(2) также равно бесконечности, что возможно лишь при условии ote + + z)== oo при любом 16 L’. Пусть РЕГ’ () (/K). Тогда существует такое & > 0, что при [5] < Г + 62Е К. Отсюда следует, что p(l’/e + 2) < 00. Полученные результаты показывают, что при любом фиксированном 2 Е L числа $5 (2) и [(2) не могут одновременно равняться — oo или -- со. Значит, можно утверждать, что существует конечное число @, удов-. летворяющее условию S{z) <@ < [{). Это число а. мы и используем для построения функции 4. Поскольку любая

188

точка x € {L", 2} единственным образом представима в виде х = 1+ fz, где В — действительное число, определим значение функции d в точке x = [{ + Bz как d(x) = 9(1] + Ba. Покажем, что d(x) < p(x) при любом x € Г’. Отдельно рассмотрим два случая: 1) x = { + Bz, где В > 0; 2) x = 1 + + Bz, где В < 0. В первом случае из условия @ < [(2) вытекает, что a. < p(l/B + =) — dii/B). Отсюда Ва < ФИ + + Bz) — 4) иа(х) = ad!) + Ва < (i + Bz) = ee).

Во втором случае для доказательства используется условие S(z) < а. Непосредственно из определения $5(2) вытекает, что при любом ГЕ Г”, в частности. при Г = — ИВ

имеет место неравенство a > 4(—ИВ) — ф(—ИВ — 2). Умножая его на число В < 0, получаем, что Ва < d(—l) — — ВФ(-ИВ — 2) = —d() + С-В) (—ИВ —z) = —d) +9 x -Х (1 - Bz). Отсюда следует, что d(x) = di) + Ва < o(i + + Bz) при В < 0.

Таким образом, показано, что при любом 2 € 2 линейная функция d, определенная на подпространстве L’ <- L, coдержащем хотя бы одну внутреннюю точку конуса К, может быть продолжена на большее подпространство L” = {L’, 2}

с сохранением условия d(x) < g(x). Лемма 3 доказана.

Завершим теперь доказательство леммы 2. Оно было прервано после построения линейной функции 4, которая определена на одномерном подпространстве Ly, имаощем непустое пересечение с /K, и удовлетворяет условию d(f) < Ф(1 при л1обом [Е Lo.

Чтобы продолжить эту функцию на все пространство L с сохранением этого условия, рассмотрим множество В, состоящее из всех пар вида (М, с), где М — линейное подпространство в L, содержащее Lo; с — определенная на М линейная функция, совпадающая с d на подпространстве Lo и не превыцающая @ на подпространстве М. Множество В непусто, так как (Lo, 4) 6 В. Введем на В частичный порядок, считая, что (Ма, с1) < (Me, с»), если M, содержит М, И Cy совпадает с; Ha подмножестве M,. Каждая цепь (My, Cy) < (Me, с») <... < (Mi, ci) <... имеет верхнюю грань

в В. Этой гранью будет пара (М, с), где М = U M;, а функ-

ция с принимает в точке x € М; значение с (x) = c;(x) (это определение корректно).

Легко убедиться в том, что М является линейным подпространством в Г, ac — линейной функцией на М, совпадающей с 4 на множестве L, и не превосходящей ф на М.

189

Согласно известной лемме Цорна отсюда вытекает существование максимального элемента в множестве В, т. е. такого

элемента (М, с), что из условия (М, с) < (М, c), где (М, с) € Е В, следует, что М = М, с=с. Этот максимальный эле-

мент (М, с) и является искомым продолжением функции 4 на все пространство L. Действительно, линейное подпро-

странство М и определенная на нем линейная функция с

удовлетворяют условию леммы 3, так как М содержит Ly и, следовательно, имеет непустое пересечение с /K, Теперь

если М 5 Ги2ЕГ/М, то согласно лемме 3 функцию с можно продолжить на подпространство {M, 2} с сохранением условия C(x) < p(x). Это противоречит максимальности

элемента (М, 6). Таким образом, М = L и с— линейная функция, совпадающая с 4 на множестве Ly и не превосходящая ф во всех остальных точках x E L.

Для завершения доказательства леммы 2 определим. функцию с, по правилу с,(х) = —c(x) при хЕ L. Функция Со Линейна, в точке х, Е Г. принимает значение со(хо) = = —с(х) = —4(%) = —(x,) = Кх.), а в остальных точках хЕГ удовлетворяет условию (x) = —c(x) > —@(x) = = f(x) 20. Лемма 2 доказана.

Закончим доказательство теоремы двойственности. Необходимо убедиться, что

h (x,) = ini £ о). =f (хо), = ext gon) 80 . где ху € ГК. Для этого достаточно установить, что a) f(x») < < C(X»)/g(c) при любой функции с € K*, для которой g(c) == = 0, и 6) существует такая линейная функция Cy Е Kt, что 8 (со) FO Hu Кхо) = со(хо)/ 8 (Со). Докажем первое из этих утверждений. Поскольку по определению g(c) = Ш £4) ‚ TO для любой точсеК.Ноча М. ки x € K, где f(x) + 0, имеет место неравенство g(c) < с(х)! F(x). Если g(c) 52 0, то отсюда f(x) < c(x)/g(c). В частности, . это неравенство верно для х = Xo, так как по лемме | Нхо) => 0. Следовательно, пункт а) доказан. Далее, согласно лемме 2 существует линейная на L и неотрицательная на К функция Cy, удовлетворяющая условиям Со(хо) = Кхо), Co(x) > F(x) при любом хЕ К. Для этой функции с,(х)/[(х) > > | при любом x ЕК, f(x) = 0, причем при x = хо Co(Xo)/

(хо) = 1. — Следовательно, geo) = ик} ao — = L£o(Xo) — | “Юж.

190

Отсюда вытекает утверждение пункта 6). Теорема двойственности для производственных функций доказана.

Остается заметить, что равенство A(x) = f(x) не распространяется, вообще говоря, на все точки конуса К. Приведем пример функции f(x), которая совпадает со своей дважды сопряженной функцией A(x) на внутренности конуса и отлична от нее в точках его границы. |

Пусть L = R*, К = {(%, %9)|x, 20, x, SO, х < XQ}. Функцию f(x) зададим на К следующим образом:

O , если xy =X.

Непосредственные вычисления показывают, что /К+ = — { (с, Ce) ley > 0, Cy + Со > 0},

0, если Cy = 0; & (Cy Co) =) Cr+ Co, если сис; QV cyCy , если с> с»,

h (%1, Xe) = Уж».

Таким образом, функции A(x,, х›) и (хи, хо) совпадают во внутренности конуса, т. е. при 0 < x, < х», и различаются на части его границы, а именно при x, = х.. Усилить доказанную теорему двойственности для произвольных классических производственных функций, распространив ее формулировку на весь конус К, следовательно, нельзя.

При различных ограничениях на пространство 2, и функцию / можно получить более сильные утверждения, чем доказанная теорема. Так, если L = А" — конечномерное действительное пространство, f — непрерывная функция, TO можно дополнительно доказать. [8] равенство A(x) и f(x) не только внутри, но и на границе конуса К.

Следствие. Пусть L = R", К — замкнутый конус с непустой внутренностью, { — определенная на К непрерывная классическая производственная функция. Тогда отображение 6 является инволютивным, т.е. боб = [.

3.1.3. Определение вида и параметров функции удельных затрат

Использование двойственности между производственными функциями и функциями минимальных удельных затрат позволяет определить вид нормативной функции удельных затрат в зависимости от вида производственной функции. Рассмотрим конкретные применения теоремы двой-

19}

ственности для класса функций с постоянной эластичностью замены по Михалевскому CESM. Согласно п. 2:2.5 такне функции имеют либо вид

у= (а, +... а, XBR (3.8) где В =-0, В< 1, либо вид Y == Oy X91... хп. (3.9)

Найдем двойственную функцию для функции (3.8). Согласно известному неравенству Гельдера для любых HeOTрицательных чисел Vy, ..., Un, Wy, ..., Wy и любых чисел р, 4, таких, что — © <р<1, —ю<4<Ти Ир-+ Ша = 1, имеет место соотношение

n п | /р. п 1/8 Хы. > (59) (> “| ‚ (8.10) i= i= i=]

причем прич; = Aw, em), f= J, ..., п АО (3.10) переходит в равенство. Полагая в (3.10) р = 1 — 1/5,

д = (1 — 0), и: = ха! №, w, = са МР, получим, что

a _ п 0/(8—1) п 1/()—o) У иж (5 4—1) | ag с!)

ix=1 i=} i=l (3.11)

aG Tak Kak равенство здесь достигается при м: = с:а7 = 0 TO

BP) (Cs eons On) = В (Cys ony Cn) = (а9 CIP hf + авт)! -9. (3.12)

Значит, если производственной функцией системы является классическая функция с положительной постоянной эластичностью замены факторов ©, то функцией затрат на | руб. продукции также будет классическая функция с постоянной и положительной эластичностью замены, равной l/o, и наоборот.

Переходя в неравенстве (3.11) к пределу при o +1 u учитывая, что а, + ... + a, = 1, получим, что

п а с, а, с п Хан SHB an ( (2 ,

i=] a) an

192

Следовательно, двойственной к функции Кобба —. Дугласа (3.9) является функция

ай... cn. (3.13) а... а”

за

Таким образом, мы видим, что если производственной функцией системы является классическая функция Кобба— Дугласа с коэффициентами эластичности выпуска по факторам а1, ..., а,, то нормативной функцией затрат на | руб. продукции будет также функция Кобба — Дугласа с теми же коэффициентами эластичности по факторам; меняется лишь мультипликативная константа.

Этот факт может служить некоторым подтверждением правомерности использования функций типа Кобба—Дугласа при моделировании не только выпуска товарной продукции, но и других экономических показателей, в частности при анализе влияния факторов на себестоимость продукЦИИ.

Найдем телерь функцию, двойственную к линейной функ-

+ {0 9. ции Y =x, + ... + ах. Из неравенства min(=, bes =) <

и +... К т < — справедливого для любых неотрицательных чисел Vy, ..., Un} Wy, ..., Ша, следует, что

. сх ote x 6 (аж... На, %,)= min me — 2 ха м-... fan An

ay an

Поскольку при x = (0...010...0), где число & определено —— . k—1

условием =,” = min д’ 1) а.) STO неравенство обращается 1 Te в равенство, TO . Cc С 8 (ах -... На» zy) = ти [2..2 . a, an

Таким образом, если производственной функцией системы является ‘линейная функция, то функцией минимальных затрат на | руб. продукции является функция Леонтьева, и наоборот. Связи между наиболее распространенными видами классических производственных функций и нормаears функций затрат на | руб. пролукции приведены в табл. 3.1.

7 Зак. 1104_ 107.

Таблица 3.1:

Я Фуикция затрат на | руб. № п/п Производственная функция продукции

| |Функция CESM с эластич-| Функция СЕЗМ с эластич-

ностью замены факторов a, 1

1 0<— < 00 с

2 | Функция Кобба — Дугласа| Функция Кобба— Дугласа с с эластичностями выпуска| эластичностями выпуска а),

а, .-.. ‚ @п see р An

3 | Линейная функция с коэф-| Функция Леонтьева с коэффифициентами а1, ..-, Qn циентами а1, ... , ап

4 |Функция Леонтьева с коэф-| Линейная функция с коэффифициентами а1,..., an циентами а,,..., Qn

3.2. ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА. ПРИБЫЛИ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ

3.2.1. Понятие и основные свойства ‘функции ‘прибыли

Прибыль социалистического предприятия, объединения. отрасли является, наряду с затратами на | руб. произведенной продукции, одним из важных планируемых показателей эффективности производства. Годовые издержки производства, себестоимость продукции, как показано в п. 3.1.1, могут быть выражены через объемы производственных ресурсов в виде линейной функции $ (с, х} =с1х.-... + + сах, где Xy, ..., ^, — показатели ресурсов, cj, ..., C, — структурные ‘коэффициенты себестоимости. Если f(x, ..., X,) — производственная функция, то прибыль р(с, x) = = f(x) — $(с, x) зависит от объемов используемых ресурсов и структурных коэффициентов себестоимости. При анализе итогов деятельности объединения (отрасли) за год и формировании годовых и перспективных планов необходимо оценить максимально возможную величину прибыли, достигаемую при различных вариантах использования ресурсов. Эта величина выражается как

p(c) = sup (f(x) — сх) x и носит название нормативной функции прибыли. Ее apry-

ментами, так же как и для функции удельных затрат, являются структурные коэффициенты себестоимости. Если в

194

качестве аргументов производственной функции выступают основные фонды x1, оборотные средства х› и численность промышленно-производственного персонала хз, то факторами нормативного объема прибыли служат: средняя по видам фондов ‘норма амортизационных отчислений cy, отношение материальных затрат к размеру оборотных средств с. и средняя заработная, плата сз. Если функция f(x) определена на конусе К в линейном пространстве L, то p(c) определена на двойственном конусе K+, состоящем из всех линейных функций, определенных на пространстве 2, и принимающих на К неотрицательные значения.

Рассмотрим основные свойства нормативной функции прибыли.

1. Функция p(c), определенная на непустом конусе Kt = < L, неотрицательна. Это вытекает из того, что

р (с) = -зир (f (x) —cx) > [(0) 20.

2. Функция p(c) выпукла, если f(x) вогнута.

Назовем функцию тривиальной, если она принимает только значение 0 или - со.

3. Если стелень однородности производственной функции f(x) больше или равна единице, то функция прибыли тривиальна.

Действительно, пусть степень однородности функции f(x) равна y > |. Тогда

р = SUP fh) — A(cx))= sup -(A(A¥—" F(x) —e x). {A~-0, {Am0, xEK} Если существует хотя бы одна точка ху Е К, для которой прибыль f(x») — сх, при данном с положительна, то

sup (A(A?—! fF (x) —сх)) = + 00.

xGK, A420 В противном случае зир (A (AY—? f (x) —с(>))) =

^>0, х6К Сравнение с нормативной функцией удельных затрат g(c) показывает, что в случае y > | тривиальны обе функции; если жел < 1, то тривиальность одной из них как бы компенсируется нетривиальностью другой (табл. 3.2). Если К = Re, афункция f(x) дифференцируема, то точка максимума функции f(x) — сх может быть найдена из соотношений

7* {95

Таблица 3.2

№ п/п Степень однородности Функция прибыли Функция удельных функции f(x) p(c) затрат g{c) | yx! нетривиальна тривиальна 2 y= 1 тривиальна ветривиальна 3 youl тривиальна тривиальна \

Для однородной функции f(x) в силу теоремы Эйлера функция прибыли выражается как

p(c) = (ly — 0х, (3.15)

где x° — решение системы (3.14).

Как отмечалось выше, функция нормативной прибыли p(c) играет в ситуации, когда степень однородности p< 1, ту же роль, что и функция нормативных удельных затрат 2(6).в: ситуации, когда у = 1. Используя функцию р(с), можно также косвенно определить объем выпуска через размер совокупных затрат с(х). Величина 4(с:х) = p(c) + с(х) выражает объем выпуска при использовании ресурсов х в зависимости от вектора структурных коэффициентов себестоимости. Гарантированный выпуск (при наихудших коэффициентах с) составит

9 (x) == int (р (c) с (>). ceKt

Функцию g(x) по аналогии с функцией A(x) можно назвать нормативной функцией выпуска. Ее соотношение с производственной функцией описывается доказываемой ниже теоремой: если нормативная функция прибыли строилась на основе производственной функции, то нормативный объем выпуска совпадает с объемом выпуска, найденным непосредственно по производственной функции. Экономическая интерпретация равенства g(x) = f(x) такая же, как и равенства A(x) = f(x).

3.2.2. Связь между производственной функцией и функцией прибыли

Переход от производственной функции f(x) к функции прибыли p(c) задает отображение «, определенное на множестве однородных, вогнутых, неотрицательных функций на конусе К < L и принимающее значение в множестве неотрицательных выпуклых функций на конусе К* < L*, aw. f —р. Отображение ® тесно связано с классическим преобразованием Юнга — Фенхеля — Моро [54]. Это преоб-

196

разование (обычно обозначаемое знаком*) переводит выпуклую функцию $(х) в сопряженную функцию ф*(х) = = sup (cx — 9()).

хеь

Если sup в этой формуле рассматривать не на всем про-

странстве L, а на конусе К C L, то связь между преобразованием ® и преобразованием Юнга — Фенхеля — Моро выражается следующим образом: p(c) = ®(# (с) = (—f)*(c), c€ K+. Применяя к выпуклой функции p(c) преобразование Юнга — Фенхеля — Моро, получим во всех случаях тривиальную функцию:

Применить к функции p(c) преобразование ® вторично, строго говоря, невозможно, так как р(с) — выпуклая функция, а @ определено на множестве вогнутых функций. Поэтому говорить об ИНВОЛЮТИВНоСТИ преобразования ‘(в отличие от преобразования 0} нет оснований. тм не менее во многих случаях производственную функцию f можно почти полностью восстановить по функции р. Роль обратного для отображения и выполняет отображение w—!, определенное сле-

дующим образом: w-" (р) (x)= inf (р (6) + сх. cE +

Через преобразование Юнга — Фенхеля — Моро оно выражается в виде

в-—1(р)(х) = —(p*(—x)). Теорема о связи между производственной функцией и нормативной функцией прибыли. Пусть f(x) — определенная на конусе К неоклассическая производственная функция степени однородности лу < 1; p(c}) — нормативная функция прибыли; g(x) = int (pic) 4 0). Тогда для любого

х Е ГК имеем g(x) = Fe ).

Доказательство аналогично доказательству теоремы двойственности.и опирается на лемму 2 п. 3.1.2. Рассмотрим линейное пространство Г/, образованное всевозможными парами вида / = (№ x), где Е — действительное число, x С L. Подмножество К” = {(&, x)/t > 0, хЕК} является конусом в пространстве L’. Определим на этом конусе функцию Е(Ё x) по правилу

F(t, x)= tF(x/t) при £540; 0 при t=0.

197

Убедимся, что F(t, x) — классическая функция. Очевидно, что для любого A > 0: F(At, Ах) = ЛЕС x). Далее, пусть ММ О, МА" =H1, (Е, Хх) ЕК,, (Г, х) ЕК’. Тогда при >00, ГО

F(x! t’ +- i” t” x’ x! +)” x”) —

== (№ ГНА “| ИР x he i" x"

-- РИ ет ley

Mee baeee it re Ce # № ИУ te Г

Мм x у ”

ввиду вогнутости унции f. Если Ё=0, to F(t’, x‘)=On (МЕ, A xt x=

=X" "!(< xt =)= А" "| x + x } Пусть a, В>>0,

А” м м i" № x’ x a + В = | —произвольные числа. Тогда | a ie + pe }= an’ x’ Вх" ~~ yl— ==) 1—- (= } _ > и! 77| -—— | BBHA

вогнутости функции f. Отсюда ри Г, ya x! +.B” “> ~, a, В>0 AM ee ye р a+p=!

Если Г = ¢” = 0, то левая и правая части требуемого Heравенства равны нулю. Вогнутость функции F доказана.

Пусть х € JK. Покажем, что (1, хо} € ГК’. Пусть (& 2) — произвольная точка пространства L’. Так как точка Xp внутренняя, то существует число & > 0, такое, что ху + 62 ЕК при [6| < =. Положим, =’ = min(e, 1/8. Тогда, если |6] < <e’, то (1, ж) + 5(Ь 2) = (1 + 62, x, + 62) Е К, так как 1+ 92 >0, x, + 62€ К.

Таким образом, F — классическая функция, определенная на конусе К” линейного пространства L’; (1, хо) —внутренняя точка этого конуса. Согласно лемме 2 п. 3.1.2 существует линейная функция си(1, x), определенная на простракстве [и удовлетворяющая условиям:

Co(l, Xo) = Fil, хо); Co(t, x) > F(é, x) при любых (f, x) € K’.

Поскольку функция Co линейна на L’, со(Е, x) = со(0, x) + + со(Ь 0), = cy(0, x) + 61, 0), причем функция dy(x) = = 6,(0, x) определена на пространстве Ё и также линейна.

198

Телерь- | dg(Xo) = Нхо) — со, 0); | d(x) == со(1, х) —со(1, 0) > fix) — с, 0) прихЕК. Отсюда plde) = sup( fle) —do(x)) = 91,0).

Найдем теперь g(%9) = inf (р(с) + с(х)). ceKt

Поскольку по определению p(c) > f(x) — с(х) naa. любых c€ K+, хЕ К, то (хо) < p(c) + с(хо) при любом c € Kt, Значит, g(xo) > Кл) при с = dy. Кроме того, р(4‹) + do(xo)= = с0(1, 0) + f(x) — со(1, 0) = F(x). Следовательно, нижняя грань множества сумм р(с) +- с(хо} Ha Konyce К+ достигается при с = dy и равна {(х5). Теорема доказана.

Таким образом, на внутренности конуса К неоклассическая производственная функция f полностью восстанавливается по функции прибыли р. Если f непрерывна и ее значения на границе конуса определяются значениями внутри К, то равенство функций f и 4, как можно доказать, гарантировано на всем конусе К.

Экономическая интерпретация доказанной теоремы такая же, как и интерпретация теоремы о связи производственных функций и функций удельных затрат.

Как отмечалось в п. 3.1.2, функция Кобба — Дугласа с точностью до мультипликативной константы инвариантна относительно действия оператора двойственности 5, причем является единственной инвариантной функцией среди функций вида CESM. Для преобразования Юнга — Фенхеля — Моро(*) инвариантной является только [54] функция вида

y= sit... +9).

3.2.3. Определение вида и параметров функции прибыли

Рассмотрим некоторые конкретные виды производственных функций и определим вид соответствующих им функций прибыли.

Пусть f(x) — функция постоянной эластичности замены фактороБ по Михалевскому

у (хе... +a, x7)”.

199

Точка x°, в которой прибыль достигает максимума, удовлетворяет системе уравнений (3.14), в данном случае имеющей вид:

ду 6-11 . = ya; (a, x? an nye", ct! =e, i=), В. Хр. Отеюда

} с; а;

ха (

Подставляя эти значения в первое уравнение и разрешая его относительно X,, получим, что

| b Iv yl Cpa, \ x} == (a, \) с (“+4 a) +

Cy Qe 1” a +...+4, ( Cy а1 vat Cy Un Теперь У. 1 b

# —

р (6) == (1—9) ^" (a cht

I b ( у / b 1—b b—t \y—1 / 6-1 Tn Cp ;

Таким образом, если производственная функция OTHOсится к классу функций CESM с эластичностью замены факторов с, то нормативной функцией прибыли также будет функция СЕЗМ с эластичностью замены факторов 1/о. Степень однородности нормативной функции прибыли равна

vi(y — 1), где у — степень однородности производственной функции..

Если f(x) имеет вид функции Кобба — Дугласа, то p(c) также будет функцией такого же вида. Действительно, если у = ах1' ... Хбп, то точка максимума прибыли удов-

летворяет условиям:

а;_. ,a;—I1 Ja, a . Aga x. XK XN em Se, 1=2,... И.

itt’ Пользуясь формулой (3.15), получим | ay ay a ay 4—7 1 l—y 7—1 у—1 р (с) = (1 -—\)щш а ...аа Я ... ба

Хх

200

Таким образом, производственной функции Кобба — Дугласа соответствует нормативная функция прибыли Кобба — Дугласа.

Далее, если { — степень линейной функции

у =(ах toe +4,*,)”, = 1, TO

f 0, если Cy: Cot... CaF а. :...: Ay}

р (6) =. —_ ¥

1-е: \P—-! с с (1—y)y (=) ‚ если “=... =, а ay an

Наконец, если f — функция CESA вида

` у y =layx? +... Нах)” xy ht 1 419 (6520, 5541), то нормативная функция прибыли. равна:

ТН Yn | 8. Vo Va Vo 2—1 6—1 P==YVoVl Yeti. Va @ С! -...-Н b (= / L _ Prt __ Тв b—1 b= г) Vo 1—5 № №. +a, Ch СЕ ... бп где Yo = 1] — Pi — Yaga — ... — Pn Функция р(с) принад-

лежит, следовательно, к тому же классу CESA, что и пронзводственная функция. В частности, для трехфакторной функции CESA

0,81004

у = (0,53214х— 0.10921 4 0 29986x— 9.10321) 0,10321

13287 0.13287,

построенной в п. 2.6 для ПО, нормативная функция прибыли равна:

p =0,000026 (1,77151c°.09355 +

_0,81004 0.13287

+-2,97951с9.09355) 0,00534 сз 0.05709 Виды нормативных функций прибыли, соответствующих производственным функциям с постоянной эластичностью

замены факторов по Михалевскому, даны в табл. 3.3.

Сравнивая три вида двойственных соотношений — оператор 6, преобразование* и отображение ©, можно сделать вывод OO определенной общности их свойств, важнейшим из которых является то, что функции с постоянной эластичностью замены факторов O переходят в функции с постоянной эластичностью факторов 1/0. При этом исследованные

201

Таблица .3.3

№ п/п

Производственная функция

Нормативная функция прибыли

Функция СЕЗМ степеви одзородности y < | с эласгичBOCTbIO замены факторов в 2 | Функция Кобба — Дугласа ‚степени однородности у <1 с эластичностями выпуска yp eee 5 An

3 | Линейная функция с коэффициентами а, ‚..., ап, BO3-

Функция CESM степени однородности 71/(у—1) с эластичностью замены факторов 1/0 Функция Кобба — Дугласа степени однородности p/(y— 1) с эластичностями выпуска а1. .., » An

Функция, совпадающая со стеленной функцией kcy/(v—1) (#—

B нная в стелень | еде ы r< константа) на луче сё/а; =

=const, i=I,...,M, и равная нулю вне этого луча

преобразования взаимно дополняют друг друга: там, где тривиально действие двух из них, нетривиально действие третьего. Все это дает основание полагать, что эти виды двойственности служат проявлениями некоторой. общей связи между прямой и сопряженной функциями.

При практическом использовании функций gic) и р(с) нужно учитывать, что определяемые ими минимальные значения удельных затрат и максимальные значения прибыли да1от лишь теоретически допустимые (предельные) для данного объединения уровни этих показателей и могут существенно отличаться от текущих значений. Для нормативной функции прибыли это различие тем выше, чем ближе к единице степень однородности производственной функции.

3.3. Модель прогнозирования основных показателей деятельности объединения на основе производственной функции

Производственные функции широко применяются также в составе более сложных моделей экономической динамики в сочетании с моделями воспроизводства средств, и предметов труда, моделями `научно-технического прогресса и качества продукции, а также с производственными функциями смежных систем. Применение производственных функций в стандартных моделях экономического роста можно найти в [10]; одна из первых моделей развития социалистической экономики на основе производственной функции предложена в [29] (см. также {10]). Производственные функции в моделях сложных систем исследовались в [53], в составе моделей межотраслевого баланса — в [26], |

202

Приводимая ниже модель формирования основных показателей деятельности производственного (промышленного} объединения служит примером модели, описывающей не только соотношение между затратами ресурсов и результатами производства в данном году, но и процесс расширенного воспроизводства этих ресурсов в предшествующие и последующие годы. Эту модель можно рассматривать как разновидность модели формирования области определения М, производственной функции для каждого года # моделируемого периода. Подробная характеристика принципов моделирования, использованных при разработке модели, изложена в [14]. Версия модели, приводимая ниже, отличается от [14] прежде всего учетом особенностей современного хозяйственного механизма, а также отражением ряда обратных связей, не моделировавшихся ранее.

Модель состоит из экономико-статистических, норматив- “ABIX. и балансовых соотношений между основными показателями деятельности объединения: объем товарной продукции (ТОВ), нормативной чистой продукции (HUIT) и реализованной продукции (РП), доля продукции высшей категории качества (ДВ), балансовая прибыль. (ПРИБ), себестоимость продукции (CEB), материальные затраты (МАТ), амортизационные отчисления (АМ), в том числе отчисления на полное восстановление основных фондов (ВОС) и капитальный ремонт (КР), ассигнования из бюджета (АБ), платежи в бюджет (ПБ); основные производственные фонды (ОФ), оборотные средства (ОС), отчисления в единый фонд развития науки и техники (ЕФРНТ) и резервный фонд (РЕЗ), размеры фондов экономического стимулирования (ФЭС), капитальных вложений (КАП), в-том числе на новое строительство и расширение (CTP), ввод в действие (ВВОД) и выбытие (ВЫБ) основных фондов, численность работаю- ‚щих (Л).

В модели описываются процессы производства и реализации продукции, формирования и распределения прибыли, финансирования и освоения капитальных вложений, прироста оборотных средств объединения. Единицей измерения времени { является год.

Экономико-статистические соотношения используются для моделирования зависимостей между показателями, являющимися выходами и входами сложных производствен- ‚но-финансовых процессов. В определенном смысле все экономико-статистические соотношения модели суть производственные функции различных экономических процессов. К числу таких процессов, кроме процесса переработки сырья и материалов в продукцию, в данном случае относятся:

203

формирование издержек производства; реализация готовой продукции; динамика показателя качества выпускаемой продукции; ввод и выбытие основных фондов.

В качестве производственной функции в модели используются трехфакторная производственная функция

ТОВ, = КОФ,, ОС, T,) (3.17) и двухфакторная производственная функция* ВЧП, = КоОФ,, Л). (3.18)

Обе эти функции моделируют один и тот же производственный процесс, однако в первой результат измеряется с помощью показателя товарной продукции, во второй — с помощью показателя объема нормативной чистой продукции.

Вид функций /, { выбирается в соответствии с изложенным в п. 2.2. Если в качестве производственных. функций берутся функции Кобба — Дугласа, то дополнительно вводятся ограничения на область определения функций

(ОФ, OC,, ЛЕМ, _ (3.19) где М — область допустимых изменений показателей ОФ: OC, Л. Вид (конфигурация) области определения выбира-

ется в соответствии с рекомендациями п. 2.3. В [14] в ка-

честве области определения использовался прямоугольный ene

м = (0$, ОС, ль < 65 = <by, ay < oe < bal, (3.20)

где а1, Ay, by, 6, — оцениваемые параметры.

Для описания процесса формирования издержек производства существуют два пути.

Можно использовать нормативные функции удельных затрат или прибыли, строящиеся без дополнительной статистической информации на основе производственной функЦИИ:

CEB, = ГОВ (си, Cog, C54); (3.21)

если степень однородности производственной функции равна 1,

если степень однородности производственной функции меньше | (здесь с; — норма амортизационных отчислений,

с, — отношение материальных затрат к общей сумме оборотных средств, Cy, — средняя заработная плата одного

* Индекс Ёу показателя означает, что рассматривается его значение в год f.

204

работающего). Уравнения (3.21) и (3.22) показывают, однако, не фактические, а минимально допустимые издержки производства.

Более реалистическая картина получается, если для определения издержек использовать формулу

рассматривая коэффициенты Cy, с», сз как статистические и подлежащие оцениванию.

’ Выбор между двумя методами моделирования себестоимости определяется целью построения модели. Если модель предназначена для определения нормативных значений показателей (оптимистический вариант прогноза), целесообразно использовать уравнения (3.21) и (3.22). Если же речь идет о дескриптивном прогнозе, в наибольшей степени ‚учитывающем сложившиеся тенденции, рекомендуется применять соотношение (3.23).

При моделировании процесса реализации продукции предполагается, что объем реализованной продукции зависит от объема и качества произведенной товарной продукции. Если доля продукции высшей категории качества превышает определенную величину, то продукция реализуется полностью. Чем меньше доля продукции высшей категории качества, тем ближе к нулю отношение реализованной продукции к товарной. Такой процесс может быть описан уравнением

РП,=ТОВ, (Ae, (3.24) 1+ 0; .

где 9,, 8, — коэффициенты, подлежащие статистическому или экспертному оцениванию. =

В свою очередь, одним из существенных факторов, влияющих на качество выпускаемой продукции, ее конкуренто- . способность на внутреннем и мировом рынках, является уровень развития научных исследований в объединении. В первом приближении он может быть измерен с помощью показателя затрат на финансирование НИР и ОКР. Чем выше темп роста затрат на научные исследования и конструкторские разработки, тем ближе к единице доля продукции высшей категории качества. При минимальном темпе роста Е, равном —1, ДВ, близка к нулю. Зависимость ДВ, от

темпа робта вложений в науку Е; = Pe Е. ^— можно приt-1 ближенно представить формулой E; +6 IB, =-t (3.25) Е; +96,

205

где 85, 8, > 0 — параметры, подлежащие статистическому или экспертному оценивани!о.

Следующее соотношение моделирует процесс освоения капитальных вложений и ввода в действие основных фондов. В общем виде зависимость между объемом ввода и капитальными вложениями выражается как

ВВОД, = v(CTP,, CTP,-,CTP,-», ...). (3.26)

В качестве аргументов функции о используются объемы капитальных вложений года fH предшествующих лет. Число аргументов в каждом конкретном случае различно и определяется сроком строительства. При построении функции э допустимы следующие возможности: а) функция и строится на основе обработки статистических данных о вводе основных фондов и капитальных вложений за прошедший период. В этом случае она имеет вид.

ВВОД, = СТР, + UCT Fy + .СТРЬь + ..., (3:27)

Pe Vg, Uz, 9» ...— числовые коэффициенты, показывающие, Kaкая часть капитальных вложений предшествующего года ‚входит в стоимость основных фондов, введенных в году f. Для определения этих коэффициентов используются специальные методы регрессионного анализа или экспертные оценки;

6) функция и строится на основе предварительно разработанных вариантов нового строительства в объединении на. перспективу. Каждый из таких вариантов характеризуется стоимостью ввода основных фондов и объемом капитальных вложений за каждый год пятилетки.

В зависимости от того, каковы лимиты ежегодных капитальных вложений, выделяемых данному объединению, и каковы возможности объединения по их финансированию, выбирается тот или иной вариант. При этом ввод основных фондов в году Ё равен максимальному вводу из всех вариантов, полностью финансируемых объединением в данный и предшествующие годы.

Обозначим через & номер варианта и через ВВОД", ВВОДЕ, .... ВВОДЕ, СТРА, ..., СТР" — вводы основных фондов и капитальные вложения по этому варианту за каждый год планируемой пятилетки. Тогда функция о будет иметь следующий вид:

ВВОД, = тах (Ввод: ), (3.28)

{k) 206

где максимум берется по всем номерам вариантов, удовлетворяющих условиям СТРЕ < СТР, СТРЕ < СТР.-, ...

Выбор между двумя описанными способами моделирования процесса освоения капитальных вложений определяется тем, на каком этапе планирования используется модель. Если варианты нового строительства не проработаны, используется статистическое уравнение (3.27). На более поздних этапах рекомендуется вариантное соотношение {3.28).

Выбытие основных производственных фондов в год ft считается пропорциональным стоимости фондов предшествующего:

ВЫБ, = M,09,_4. (3.29)

Экономико-статистические соотношения (3.17)—(3.29) дополняются двумя группами уравнений — нормативными и балансовыми. Нормативные соотношения (3.30)—(3.43) отражают функционирование хозяйственного механизма с помощью системы плановых нормативов. Эти нормативы устанавливаются вышестоящими плановыми органами и определяют размеры отчислений в различные финансовые фонды объединения или вышестоящих организаций. Приводимые ниже уравнения в основном соответствуют варианту хозяйственного механизма, реализованному при проведении широкомасштабного экономического эксперимента в промышленности согласно постановлению ЦК`КПСС и Совета Министров СССР «О дополнительных мерах по расширению ‚прав производственных объединений: (предприятий) промышленности в планировании и хозяйственной деятельности и по усилению их ответственности за результаты работы». Они могут быть легко изменены в соответствии с другим принятым или исследуемым вариантом хозяйственного механизма.

Отчисления. в единый фонд развития науки и техники

ЕФРНТ, = eTOB;; (3.30) на амортизацию основных фондов АМ, = ВОФ,,; (3.31) на восстановление основных фондов ВОС, = оАМ,; (3.32) в резервный фонд объединения

207

в фонд материального поощрения

_ __ CEB; CEB; т) ФМП, = ФМП. + (1—6 (5 aa | opt —1) +в ДВ, (3.34)

в фонд социально-культурных мероприятий и жилищного строительства

ФСКМЖС, =ФСКМЖС, (1 Ч ps

4, 1-1 МАТ, | МАТ, _ —1\). , (тов. | ТОВ )) (3.99) в фонд развития производства из прибыли ФП,=ФП = (1 (рик!) (3.36) t t 5 ПРИБ!—\ y .

в фонд развития производства из сумм, предназначенных на восстановление основных фондов

BOC ФВ, = OB, ( ( —1)}. 3.37 { -1(1 +P, BOC, ( ) Формирование фонда заработной платы описывается соотношением AQH ФЗП, = 6311,- (| (Gen) ‚ (338 t 1 (4 + Py HY, ( ) Величина капитальных вложений в новое строительство и расширение определяется через норматив к общей сумме капитальных вложений: СТР, = АКАН..

В соотношениях (3.30) — (3.38) в, В, ®, WP, ра, ..., р, ^— нормативы, которые могут дифференцироваться по годам прогнозного (планового) периода.

Балансовые соотношения модели включают:

обобщенный баланс доходов и расходов объединения

+ AOC, + ЕФРНТ, + ФМП, + ФСКМЖС, + SPIT, + + РЕЗ, + KP, (3.39)

где A(OC); = OC,,,; — ОС, — прирост оборотных средств года; баланс распределения амортизационных отчислений

_ баланс распределения капитальных вложений на новое строительство и реконструкцию

KB, = CTP, + РЕК, (3.41)

208

баланс фонда развития производства ФРП, = ФП, + ФВ,; (3.42)

годовые балансы основных производственных фондов н оборотных средств:

ОС: = ОС, + A(OC):; (3.44) баланс издержек производства CEB, = МАТ, + ФЗП, + АМ;; (3.45) образование прибыли ITPHB, = РИ, — CEB,. (3.46)

Использование данной модели для прогнозирования производится следующим образом. В стандартном варианте использования модели для прогнозирования предполагается, что экзогенными являются: а) все нормативные и статнстические коэффициенты модели; 6) баланс доходов и расходов, основные фонды, объем нормативной чистой продукции предпланового года; в} капитальные вложения в новое строительство за ряд лет, предшествующих плановому периоду; г) лимит численности ППП, ассигнования из тосударственного бюджета и отчисления в бюджет, лимит государственных капитальных вложений. При таком подходе соотношения модели допускают перегруппировку и преобразования, превращающие их совокупность в систему рекуррентных уравнений; значения показателей года ¢+ | выражаются с их помощью через значения показателей года Ги предшествующих лет.

$ Зак. 1104 209

Глава 4

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В СИСТЕМЕ ПЛАНОВО-АНАЛИТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

4.1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В ПЕРСПЕКТИВНОМ ПЛАНИРОВАНИИ

4.1.1. Производственные функции как многофакторные плановые нормативы

Одной из актуальных задач перспективного планирования на всех уровнях управления является обеспечение сбалансированности разрабатываемых планов. Сбалансированность планов — необходимое условие развития хозяйственной системы, планомерности ее роста в пределах и за пределами планового горизонта. Наряду с напряженностью степень сбалансированности плана служит важной характеристикой его качества.

На уровне годового планирования основную роль в процессе достижения сбалансированности составляемых планов играет система норм и нормативов. Нормативы затрат живого труда, предметов и средств труда позволяют рассчитать плановые балансы продукции, основных фондов, трудовых, материальных и финансовых ресурсов [15]. Достаточно широкая система нормативов, определяющих соотношения между парами показателей, дает возможность увязать всю систему показателей деятельности объединения, отрасли. Планирование на основе нормативной базы по существу является реализацией балансового метода планирования на уровне объединения.

Для перспективного планирования сфера применения понятия норматива как соотношения между двумя показателями (или значениями одного и того же показателя для различных моментов времени) сужается. Одна из основных причин этого — неопределенность будущего развития. Высокие темпы научно-технического прогресса, рост специализации и кооперации производственных объединений, ускорение процессов морального износа продуктов труда приводят к быстрой смене номенклатуры и ассортимента выпускаемой продукции. В наибольшей степени это относится к отраслям промышленности, находящимся «на острие» научно-технического прогресса, — приборостроению, радио-

210

промышленности и др. Несколько медленнее, но все же достаточно высокими темпами происходит замена одних конструкционных материалов другими, модернизация оборудования ит. п. Поэтому методы составления перспективных планов не могут базироваться на подробных номенклатурных перечнях изделий, составляемых в начале планируемого периода. Обычно формируются номенклатурные группы, происходит замена натуральных показателей выпуска продукции стоимостными. Одновременно в группы оборудования, сырья и материалов агрегируются и ресурсы. Соответственно возрастает нагрузка и на нормативы, выражающие связь между затратами ресурсов и выпуском. Это проявляется, во-первых, в том, что линейный характер связи между затратами ресурса каждого из видов и выпуском изделий данного вида, имеющий место для детальных перечней видов, теряется, и связи становятся нелинейными. Так, количество материалов определенного вида, необходимых для производства одного изделия в перслективном периоде, ` существенно зависит от того, каков годовой объем выпуска данного изделия. Во-вторых, стабильность детальных. нормативов расхода по существу определяется стабильностыо технологии и стандартов производственного процесса. Агрегированные же однофакторные нормативы более чувствительны к экономическим изменениям в условиях производства. Чем выше степень агрегирования, тем сильнее влияют на нормы и нормативы показатели, не участвующие непосредственно в формировании данного норматива. |

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть при производстве продукции определенного вида в количестве у исполь-

зуются л видов ресурсов x, ..., X,. Для плановой увязки показателя выпуска у с показателями ресурсов хи, ..., Х,, используются нормативы dy, ..., @,, выражающие нормы рас-

хода ресурса каждого вида на производство единицы продукции. Соотношения между показателем у и показателями х, .... Хи Имеют вид и < м, ..., any < х». Величина 2; = = ау выражает количество ресурса {, необходимое для производства продукции в количестве у. Из этих соотношений вытекает, что у < x;/a;,i = 1, ..., п. В предположении, что производится максимальное количество продукции, возможное при данных ресурсах, получаем ‘зависимость

у = п/а, ..., Xp/an).

Здесь через нормативы выражается балансовое соотношение между показателями производственных ресурсов и выпуска. Если же учесть, что количество ресурсов, необхо-

gt 211

димое для производства продукции, не обязательно пропорционально количеству ресурсов для единицы выпуска, то {-я функция затрат 2; = аш перестает быть линейной, а нормативы Qj, ..., 2, из числовых превращаются в функциональные: 2; = a,(y). Кроме того, на уровень норматива затрат aj может влиять также уровень обеспечения другими ресурсами хь, ..., Ха, Ха ..., Ха: В условиях дефицита {-го ресурса норматив может быть меньше, чем в условиях его избытка. Поэтому в общем случае 2; зависит от всех участвующих в рассмотрении показателей: 2; == a;(x,, ..., Xn). Соответствующее соотношение между выпуском и и ресурсами хи, ..., X, примет вид общей производственной функции у = fla, vote Хи).

В процессе агрегирования показателей число аргументов производственной функции уменьшается. Чем дальше отодвигается горизонт планирования, тем более крупными становятся группы ресурсов и видов продукции. При 15— 20-летнем планировании в производственном объединении одним из основных плановых показателей результатов производства становится объем выпуска. Таким образом, производственная функция в перспективном планировании используется как модель соотношения между затратами ресурсов и объемами выпуска, учитывающая нелинейность, взаимозависимость и взаимозаменяемость затрат. Производственная функция представляет собой естественное обобщение системы однофакторных нормативов затрат ресурсов и играет в перспективном планировании ту же роль, что и указанные нормативы в текущем планировании, являясь инструментом формирования и анализа плановых вариантов.

В каждом из нормативов (а также в нормах и нормативных соотношениях), предназначенных для использования в перспективном планировании, должны отражаться, с одной стороны, сложившиеся в прошлом соотношения между соответствующими показателями, с другой — нормы и направления будущего развития объекта планирования. Таким образом, нормативы сочетают в себе «дескриптивные» (оОписательные) и «нормативные» (предписательные) функции, пропорции между которыми определяют соответственно реальность и прогрессивность норматива. Поэтому использование производственной функции в качестве HOpMaтива возможно только тогда, когда при ее построении была учтена как ретроспективная статистическая и другая информация, так и перспективная, отражающая желательный ход развития системы. Для этого в состав информационной базы построения ПФ могут включаться, например, желательные значения объема выпуска продукции при заданных

212

объемах ресурсов или, скажем, предельные величины производительности труда, фондоотдачи `и т. д. При использовании в качестве планового норматива производственная функция, построенная с учетом этих данных, будет стимулировать принятие напряженных и сбалансированных плаHOB.

4.1.2. Использование производственных функций при разработке разделов пятилетнего плана

Структура и состав показателей перспективных планов зависят от уровня и горизонта планирования. Наиболее стабильной на сегодняшний день является структура пятилет: него плана производственного объединения, предприятия (комбината), описанная в [62]. Эта структура в основном сохраняется в большинстве отраслей промышленности. Поэтому краткий обзор способов использования производственных функций в процессе составления, обоснования и утверждения перспективного плана мы будем вести применительно к составу пятилетнего плана объединения. Аналогичные плановые задачи с применением производственных функций могут решаться и при 10—15-летнем горизонте планирования на уровне подотрасли, отрасли, региона.

Возможность применения производственных функций при разработке различных разделов плана связана с двумя обстоятельствами. Во-первых, показатели аргументов и значений производственной функции относятся к различным разделам плана и, следовательно, производственная функция является «межраздельным» объектом. Во-вторых, на основе производственной функции формируется ряд производственных зависимостей, включающих в себя большое число показателей, относящихся к различным разделам плана. Многие из производных зависимостей рассмотрены в гл. | при изучении характеристик производственной функЦИИ.

Производственные `функции используются при разработке следующих разделов плана объединения: а) планирование производства и реализации продукции; 6) планирование повышения экономической эффективности производства; в) план капитального строительства; г) план по труду и кадрам; 4) план себестоимости и прибыли; е) финансовый план.

В разделе «Планирование производства продукции в стоимостном выражении» методикой разработки пятилетнего плана на уровне объединения [59] рекомендуется проводить обоснование (а в случае многономенклатурного произ-

213

водства — и расчет) планируемого объема продукции на основе динамики основных фондов (фондоотдачи). На самом деле для более полного обоснования здесь должны использоваться зависимости объема выпуска не только от стоимости основных фондов, но и от численности ППШ, а если речь идет о товарной или валовой продукции — и от размера оборотных средств. Построение производственной функции, моделирующей эти зависимости, позволяет определить ориентировочный объем выпуска в стоимостном выражении до его планирования в натуральном измерении.

Одной из основных задач раздела «Планирование повышения экономической эффективности производства» является улучшение использования трудовых, материальных и финансовых ресурсов объединения. В качестве показателей их эффективности обычно используются фондоотдача, производительность труда (исчисляемая как средняя выработка на одного работника промышленно-производственного персонала) и оборачиваемость оборотных средств. Если извест= на производственная функция и = f(xy, х», №3), где у — объем выпуска товарной продукции, x, — основные фонды, х. — оборотные средства, х..— численность III] объединения, причем } — однородная функция первой степени,

=, x2 X3 то, разделив ее на величину. и, получим, что } ==],

7 ‘у Следовательно, в этом случае показатели ндоотдачи 2, т . { оборачиваемости оборотных средств -#. и производительно2

сти труда связаны между собой статистическим соотно-

шением и любые два из них определяют третий. Таким образом, планирование показателей повышения эффективности использования средств, предметов и живого труда будет сбалансированным в том случае, когда учитывается связь между этими показателями, вытекающая из производственной функции.

Раздел «Разработка плана капитального строительства» включает в себя планирование ввода в действие основных производственных фондов. Основой для определения ввода основных фондов являётся задание по производству продукции. Показатели фондоотдачи, определяемые исключительно по предплановому периоду, не дают возможности однозначно определить потребность в основных фондах под заданный прирост продукции. Наиболее точный результат и здесь дает применение плановой многофакторной производственной функции. Подставляя в качестве у заданное значение объема выпуска, в качестве х; и х. — значения пока-

214

4 x

зателей ресурсов, можно определить размер основных фондов, обеспечивающий в этих условиях производство в данном объеме: xX, = Ay (у, х», хз), где Ay — функция, неявно заданная соотношением f(A,{y, хо, хз), Хо, х.) = у и выражающаяся через производственную функцию. Теперь размер ввода основных фондов за период 7p < ft < 4, необходимый для достижения запланированного объема выпуска при заданных x(t) и хз(!}, составит: ВВОД = h,(y(t,), Х2(11), Хз(1)) — №(и(5), х»(1), %a(fo))— ВЫБ, rae ВЫБ — выбытие основных фондов за период [4, &].

Аналогичные задачи решаются и при составлении плана по труду и кадрам. Потребность в рабочей силе определяется на основе намеченного роста объема продукции с учетом роста основных фондов и обеспеченности производства оборотными средствами. С помощью производственной функции у = f(x, Xe, хз) находится функция потребности в рабочей силе х, = Й.(у, %1, хз), выражающая численность работающих через объем выпуска и остальных производственных ресурсов и удовлетворяющая тождественному соотношению хи, Roly, %2, хз)) = 9.

Рассмотрим теперь применение производственной функции в планировании себестоимости, прибыли и рентабельности производства. Целью планирования себестоимости является экономически обоснованное определение величины затрат, необходимых для изготовления предусмотренной планом продукции. Базой определения себестоимости служит динамика затрат на | руб. товарной продукции. Планирование затрат на 1 руб. товарной продукции основано на динамике факторов, влияющих на этот показатель. Этот процесс, как показано в п. 3.2.2, моделируется с помощью нормативной функции удельных затрат 5(с) или функции прибыли p(c), которые строятся на основе производственной функции. Если степень однородности производственной функции объединения равна единице, то с ее помощью строится функция удельных затрат, определяющая минимальный уровень норматива затрат на 1 руб. товарной или нормативной чистой продукции. Если же степень однородности производственной функции меньше единицы, то для планирования. себестоимости целесообразно строить не функцию удельных затрат g(c), а функцию прибыли p(c) (см. п. 3.2.2). Эта функция также может использоваться и для планирования удельных затрат.

Одной из основных задач раздела «Разработка финансового плана» является «обеспечение взаимоувязки разделов плана с финансовыми ресурсами объединения, а также определение его финансовых взаимоотношений с вышестоящими

215

хозяйственными органами, государственным бюджетом и банками» [59]. Для решения этой задачи на уровне разработки концепции финансового плана может быть использована модель взаимосвязи показателей деятельности объединения, описанная в § 3.3. С точки зрения финансового планирования она представляет собой расширенный вариант баланса доходов и расходов объединения, дополненный «вертикальным» балансом связей по годам планового периода. С помощью этой модели, основанной на производственной функции, могут решаться следующие плановые задачи:

1) определение основных показателей деятельности объединения (объем товарной или нормативной чистой продукции, прибыль, основные фонды, оборотные средства и др.) на каждый год пятилетки, в зависимости от установленных лимитов численности рабочих и служащих, капитальных вложений и размера отчислений от прибыли в бюджет с разбивкой по годам;

2) определение максимального размера отчислений от прибыли в бюджет при условии обеспечения заданных темпов роста объема выпуска продукции и заданных лимитов численности рабочих и служащих и капитальных вложений;

3) определение наилучшей структуры распределения прибыли, остающейся в распоряжении объединения, на финансирование капитальных вложений и прирост норматива собственных оборотных средств;

4) определение наилучшей структуры распределения по годам общего лимита капитальных вложений на пятилетку.

Составление пятилетнего плана объединений проходит в несколько этапов. Сначала разрабатывается проект контрольных цифр (основных направлений) пятилетнего плана, представляющий собой один из вариантов обобщенной концепции плана. Затем проектируемые значения основных показателей развития объединения проходят ряд согласований и утверждений вышестоящими органами, после чего направляются в объединения в качестве контрольных цифр. Наконец, на основании этих цифр разрабатывается детальный проект плана MO всем разделам и показателям на пятилетний период. После многократных итерационных процедур согласования он утверждается в качестве основной формы плана развития объединения. Применение производственных функций и связанных с нею зависимостей оказывается наиболее эффективным, во-первых, на начальном этапе планирования, т. е. при формировании проекта контрольных цифр [7], и, во-вторых, на одной из заключительных стадий, для анализа вариантов плана, направляе-

216

мых в объединение вышестоящими планирующими органами. Значительное расхождение между предложенным вариантом плана и производственной функцией может свидетельствовать о несбалансированности плана на уровне основных показателей,

4.2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

4.2.1. Использование производственных функций в комплексном анализе хозяйственной деятельности

Одной из основных задач экономического анализа является качественное и количественное исследование влияния факторов на обобщающие экономические показатели [72]. Эта задача решается в несколько этапов: 1) формирование факторной системы, т. е. множества показателей, оказывавших наиболее существенное влияние на обобщающий показатель в анализируемом периоде; 2) построение математической модели зависимости уровня обобщающего показателя от уровней показателей-факторов; 3) количественная оценка влияния каждого из факторов или их группы на изменение обобщающего показателя. Наиболее простым при этом является случай, когда обобщающий показатель выражается через факторы с помощью детерминированной (точной) функциональной зависимости. Например, если у — обобщающий показатель производительности труда, а факторную систему составляют показатели фондовооруженности (x,) и фондоотдачи (х.), то зависимость между ними выражается соотношением у = х.х,. Однако функциональное факторное разложение при заданных у, Xy, ..., х„ Cyществует далеко не всегда (методы обнаружения и идентификации таких зависимостей изложены в [33]). В большинстве случаев приходится строить статистические модели, приближенно выражающие факторную зависимость на определенном промежутке времени. Производственная функция y = Кх, -.:, Ха) по существу и представляет собой факторное разложение одного из обобщающих показателей — объема выпуска продукции. Построение этой функции дает возможность, следовательно, проводить анализ и оценку влияния факторов на динамику объема выпуска за определенный пернод.

Для оценки этого влияния сначала уточняется показатель, характеризующий итоговую динамику изменения у. Обычно в качестве такого показателя берется либо прирост за период Ay = у(Ёон) — Уаз), либо индекс роста

‚217

{вон} (кон) — (наз)

У(нач) ’ У( нач) зависимости от этого выбора меняется и понятие

«вклада» 1-го фактора в итог измёнения и.

Можно показать, что при естественных предпосылках «вклад» А; каждого {-го фактора в прирост Ай следует искать в виде аддитивных слагаемых Ау, в сумме дающих величину А у. Соответственно вклады В; {-го фактора в индекс indy следует считать сомножителями indy, произведение которых равно indy. Вклады С; 1-го фактора в темп роста t(y) связаны с t(y) формулой t(y) = (С, + 1)...(C, + 1) — 1.

Доказано ([16], [32]), что если и = f(x, ..., ха), причем заданы траектории изменения каждого фактора х; (1), а сами факторы. независимы, то

цоя "к и

А; = SE SH ay, В; =exp } 5 и < dt,

indy = либо темп роста ty =

нач пач (4.1) 91 = = ехр т. nf oe d¢— м тач В частности, если у = аох1хй:, а траектории изменения

факторов в промежутке tya,y <? < он могут быть представлены в виде степенных функций x, (ft) = +, х.@ = — byt, T

4 __ 4 & A bf? bo? (оао + ола. бат 4 за). “hy KOH ~~ ay › 91 п + Qa Ao

Ao = 02 & бай 6: [и {лаз + Gods), 8 — кон нач ); аа: Bo Ae

В, = (“#08 yr By = Gan

нач {нач И с tat Ai С = , а — 91 {газ . нач нач Выражение он af а х Ay=A,+... +A, = — dt+... y=A,+...+An ox at + ‘нач кон d + | = sn ay (4.2) Ax, dt

нач

218

для вклада 1-го фактора в прирост результирующего показателя называется интегральным разложением прироста.

Для вычисления компонент A;, B;, С; интегрального разложения прироста, индекса и темпа роста показателя и = = f(x, ..., X,) по формулам (4.1) необходимо знать частные производные функции f и производные функции х; (0 на от-

резке [№, #,]. Кроме того, необходим метод определения величины определенного интеграла.

Однако в реальной экономической практике бывают известны не все компоненты исходной информации для вычислений. В первую очередь это относится к производным функциям, выражающим изменение факторов х; К. Практически, как отмечалось выше, измерения значений факторов х; производятся через определенные промежутки времени. Поэтому вместо функций x;(¢), заданных при всех $, заключенных между {нач И он, В Нашем распоряжении имеются лишь дискретные наборы значений этих функций, относящихся к моментам 7! = Бах, 2%, ..., Й = Що.

Как правило, моменты разделены одинаковыми промежутками времени.

Вычисление интегралов также лишь в немногих случаях можно выполнить аналитически. Следовательно, в большинстве ситуаций необходимо пользоваться численными методами, представляющими интеграл в виде явного выра-

жения от конечного числа значений подынтегральной функЦИИ.

Оценка вклада i-ro фактора в прирост результирующего показателя по формуле (4.1) для А; дает точное разложение величины Aya, = АКх, ..., Xn). Поскольку производственная функция служит лишь приближенным описанием процесса, прирост функции {(х(Ё;он)) —[(х(Ёнач)) и фактический прирост объема выпуска у(Ё;он} — Y(tnay) за период [наз,

t.oul, Как правило, не совпадают, поэтому в формулы (4.1)

необходимо внести поправку. Мы рекомендуем следующее разложение фактического прироста ‘показателя объема выпуска:

f —ylt = WV 4. ¥ Exon) —Y (наз) | У (нон) ( нач) = Ты (нон) —f (нач)

Здесь разность между Ay и Af делится пропорционально величинам Aj, ..., А». Аналогичным образом можно построить и скорректированные формулы для разложения индекса и темпа роста.

219

Аппроксимационный характер производственной функции проявляется также в том, что ее частные производные

st входящие в формулу для вклада 1-го фактора, не всегда близки к реальным предельным производительностям х;. В п. 2.4 уже говорилось, что если при построении производственной функции использовался критерий оценки, предусматривающий сближение только вычисленных и Ффактических значений у, то характеристики первого и второго порядка построенной функции не обязательно должны отражать соответствующие характеристики производственного процесса. Поэтому для использования производственной функции при оценке вклада факторов в прирост, индекс или темп роста объема выпуска необходимо строить ее с обязательным учетом характеристик первого порядка. В связи с этим с известной осторожностью нужно подходить и к интерпретации параметров производственной функции. В ряде работ по производственным функциям можно встретить такую ситуацию: по статистическим данным построена производственная функция Кобба — Дугласа у = ay X Х ха: параметры которой определялись методом наименьших квадратов, примененным к Iny, шх, Inx,. Далее утверждается, что увеличение ресурса x, на один процент приводит к увеличению объема выпуска примерно на а, процентов. Но правомерна ли такая интерпретация? Ведь при аппроксимации мы стремились лишь к близости расчетных и фактических значений показателя у, в то время как параметр а, характеризует расчетную величину частной логарифмической производной этого показателя по первому аргументу. Само по себе сближение значений двух функций обычно не гарантирует сближение их частных производных, поэтому подобная интерпретация параметра а: в описанной ситуации обоснована недостаточно.

Рассмотрим теперь конкретные задачи комплексного экономического анализа хозяйственной деятельности, в которых целесообразно применение производственных функций. |

1. Анализ использования трудовых ресурсов, средств и предметов труда. Обычно для исследования эффективности использования этих факторов производства привлекаются показатели производительности труда, фондоотдачи, оборачиваемости оборотных средств. Однако движение каждоГО из этих показателей само по себе не полностыо характеризует интенсификацию использования ресурсов [68].

Рассмотрим следующий условный пример. Предположим, что за пятилетку производительность труда предприя-

220

тия (выработка на одного работающего} выросла в два раза. Можно ли утверждать, что трудовые ресурсы стали использоваться в два раза эффективнее? Если бы остальные ресурсы предприятия не изменились за это время, то да. Если же увеличение объема производства (в неизменных ценах и при неизменной в целом номенклатуре) произошло, например, за счет значительного увеличения основных фондов, то положительная динамика производительности труда будет сопровождаться падением фондоотдачи и не будет характеризовать интенсификацию использования трудовых ресурсов.

Для адекватного описания динамики производительности труда следовало бы в общем приросте объема выпуска выделить ту часть, которая непосредственно связана с приростом трудовых ресурсов. Отношение этой части прироста выпуска к приросту трудовых ресурсов и характеризует производительность дополнительно вовлеченных в производство трудовых ресурсов. Этот показатель допускает сравнение как с аналогичными показателями, относящимися к другим периодам, так и со средней выработкой одного работающего. `

Аналогичным образом показатели, характеризующие динамику эффективности использования предметов труда, определяются как отношение доли прироста выпуска, обуслов- ‚ленной приростом стоимости вовлеченных в производство материалов, к величине этого прироста. Допустимо также использовать в ‘качестве показателя объема предметов труда размер оборотных средств предприятия. В свою очередь, соответствующий динамический показатель фондоотдачи строится как отношение части прироста выпуска, обуслов-

ленной приростом основных фондов, к величине этого ‘прироста.

Таким образом, в указанных случаях для построения динамической характеристики влияния факторов в течение периода необходимо получить пофакторное разложение прироста выпуска. Средством решения этой задачи является построение производственной функции и определение на ее основе вклада каждого из факторов в прирост объема выпуска продукции.

2. Анализ выпуска продукции: Одной из главных задач анализа выпуска продукции является оценка влияния производственных факторов на объем выпуска. Без применения производственной функции такой анализ для каждой группы факторов можно выполнить только в предположении неизменности наличных ресурсов других групп факторов [68],

221

чго на практике выполняется очень редко. Полученне

пофакторного разложения прироста объема выпуска дает возможность решать эту задачу в общем случае.

3. Анализ динамики технологического уровня производства. Для отдельных, не слишком крулных предприятий технологические сдвиги являются следствием вполне определенных организационно-технических мероприятий и прослеживаются непосредственно. Существует целый ряд детализированных показателей, отражающих как уровень технологии, так и динамику. Для анализа технологии на уровне крупных производственных и промышленных объединений, отраслей, где состав, очередность и сроки выполнения мероприятий по совершенствованию технологии практически необозримы, о динамике технологии можно судить в основном лишь по соотношению агрегированных показателей производства. На этом уровне технология — способ переработки сырья и материалов в продукцию — отражается в коэффициентах в виде производственной функции, связы-

вающей агрегированные ресурсные и выходные показатели производства.

Производственная функция в этом случае строится в динамическом варианте и явно зависит от времени. Относительно характера этой зависимости возможны два предположения. В первом случае предполагается, что смена одной технологии другой происходит дискретно. Это выражается в том, что зависимость производственной функции от времени является кусочно-постоянной. Для определения точек разрыва и высоты перепада уровней используются тонкие вероятностные методы, основанные на возможности выяснить, могут ли коэффициенты производственных функций, построенных по данным различных периодов, относиться к одной и той же генеральной совокупности [13]. Таким образом производится периодизация всего анализируемого

промежутка времени, отражающая существенные сдвиги в Технологии.

Альтернативная гипотеза основывается на непрерывной зависимости производственной функции от времени, выражающейся в росте эффективности ее факторов. Здесь возникают различные типы технического прогресса, в частности различные типы нейтрального прогресса [11]. В рамках этой гипотезы проблема разграничения эволюционных и революционных сдвигов в техническом уровне одного и того же объекта практически неразрешима, однако появляется возможность классификации объектов по характеру технологического дрейфа [80].

222

Важным направлением анализа экономической деятельности является исследование правильных пропорций между обобщенными факторами. Здесь возникают следующие вопросы: каковы нормальные для данной хозяйственной единицы соотношения между основными фондами и численностью, между основными фондами и материальными затратами, между основными фондами и оборотными средствами? Какова степень взаимозаменяемости между факторами и как она зависит от соотношений между ними?

Для ответа на первый вопрос могут быть использованы трехрежимные функции, описанные в п. 2.2.4. Оценка их параметров дает возможность указать область нормального соотношения между переменными. Отметим также следующую возможность применения двух- и многофакторных многорежимных функций. Прин анализе фактической эффективности использования ресурсов на основании непосредственных данных об уровне фондоотдачи и производительности труда, как уже упоминалось выше, трудно сделать выводы об оптимальном размере основных фондов и численности работающих на данном предприятии. Сравнение фондоотдачи и производительности труда с соответствующими показателями других предприятий или среднеотраслевым уровнем также не всегда правомерно ввиду специфики производства на каждом предприятии. В связи с этим предлагается определять эффективность использования этих ресурсов с помощью нормальной области. Действительно, если основные фонды используются неэффективно; то увеличение ‚или относительно небольшое их уменьшение не должно существенно отразиться на объеме выпуска. То же самое мож- ‚но сказать и об эффективности живого труда. Следовательно, область эффективного использования ресурсов не должна выходить за пределы нормальной области. Если мы определим теперь границы нормальной области, пользуясь методами, изложенными в п. 2.3.4 — 2.3.6, то тем самым будут определены и объективные границы эффективного использования ресурсов. |

4. Анализ себестоимости и прибыли. Здесь в известных случаях могут быть применены нормативные функции удельных затрат и прибыли (см. п. 3.2.1, 3.2.2): С их помощью можно определить минимальный уровень затрат на | руб. товарной или нормативной чистой продукции или максимальный уровень прибыли. Кроме того, методы получения интегрального разложения прироста, индекса и темпа роста удельных затрат позволяют оценить вклад каждого из факторов в динамику этих показателей.

223

4.2.2. Использование производственных функций в сравнительном экономическом анализе

Поскольку производственная функция представляет собой наиболее обобщенную модель функционирования экономического объекта, ее можно использовать для сравнения эффективности работы различных объектов. Обычно сравнение работы двух предприятий за период базируется на попарном сопоставлении показателей производительности труда, фондоотдачи, оборачиваемости оборотных средств, материалоемкости. Показатель сравнительной экономии ресурса х на предприятии Б по сравнению с предприятием А за один и тот же период (или на одном и том же предприятии за разные периоды) вычисляется по формуле

|} 9, = А-В — x5, (4.3) YA

где хд,ХБ — количества используемого ресурса Ha предприятиях А и Б; ya, ys — соответствующие объемы выпуска продукции [60]. `Уменьшаемое в этой формуле показывает количество ресурса х, необходимое для производства продукции ув на предприятии Б при условии, что ресурсоемкость производства такая же, как и на предприятии А. Вычитаемое выражает количество ресурса, необходимое для выпуска продукции Ys в условиях производства на предприятии Б. Если 3 > 0, то эффективность использования ресурса х на предприятии Б выше, чем на предприятии А. 7 Формула (4.3) построена, как видим, на’ сравнении реальной ситуации на предприятии Б с условной ситуацией, когда «технология» предприятия А переносится на пред- ‘приятие Б. Понятие технологии при этом фактически сводится к ресурсоемкости. Формула (4.3) может быть получена из факторного разложения величины хд — хБ в сумму двух слагаемых:

УБ 95 пав (x42 — 2) + ( ха 22), (4.4)

YA ЗА первое ИЗ. которых выражает вклад BX, — Xp изменения ресурсоемкости продукции, второе — вклад изменения объема

x выпуска. Здесь используется тождество х=иу` 7 и пред-

полагается следующая условная последовательность перехода от ситуации предприятия А к ситуации предприятия Б: сначала ресурсоемкость при постоянном выпуске изменя-

x x . v ется OT 7 до ГА ‚ затем объем выпуска при постоянной реБ А

224

сурсоемкости изменяется от Ys до уд. Поскольку данные для обоснования последнего предположения, так же как и для обратной последовательности, обычно отсутствуют, интегральный метод рекомендует [68] вместо (4.3) более сбалансированную формулу для экономии ресурса x:

1 у у guar — [x4 & —xp+4,4——4 xs): (4.5) 2 YA 45 ;

Эта формула, однако, также не может использоваться в большинстве случаев для сравнения эффективности работы двух предприятий, поскольку в ней фигурирует лишь один вид ресурсов. Часто бывает так, что, ‘скажем, производительность труда выше на одном предприятии, а фондоотдача — на другом. В таких `случаях необходим показатель совокупной эффективности использования. основных производственных ресурсов.

Для получения такого показателя рассмотрим вместо факторного разложения прироста (экономии) ресурса x4 — — Xs аналогичное разложение прироста объема производства ив — уд. Согласно интегральному методу [68] это разложение имеет вид

1 у у 45—Ya=—> (x4 = ул у5— 5 = + “5 “А

2 ХА ХБ

где первое слагаемое выражает вклад в ув — ул изменения ресурсоотдачи. По сути дела, здесь суммируются результаты сравнения использования ресурсов хд в технологии предприятия Б и ресурсов хр в технологии предприятия А. Технология здесь, каки в (4.3), (4.4), характеризуется показателем ресурсоотдачи. Именно выражение

у у +— (x54 —yatus—ea =), (4.6)

[ 2 Xp Xa

допускает обобщение на случай нескольких ресурсов про-

изводства. Пусть x4,5 = (x4-5,”..., хи") — вектор ресурсов предприятий А и B, fa, B(x) = fas(%, ..., Xn) — ИХ

производственные функции с областями определения Mayu Ms, причем хд, ХБ Е МА [|] Мь. Сравнительная эффективность совокупного использования ресурсов в этих условиях, как можно ‘показать в рамках интегрального метода факторного анализа, оценивается по формуле

Эф =—(fo(xa—yat+ys—falrs)). = 48 225

Таблица 4.1

ция труда ] 4,9 2,3 1,2 2,13 4,08 2 5,4 2,5 1,3 2,16 4,15 3 6,1 3,0 1,4 2,03 4,36 4 6,2 3,1 1,4 2,00 _ 4,43 5 6,9 3,4 1,6 2,02 4,31 6 8,2 4,0 [,9 2,05 4,31

Технология производства отражается здесь с помощью производственной функции каждого из предприятий.

Приведем пример расчетов сравнительной эффективности двух предприятий. Предположим, что по статистическим данным за 6 лет работы предприятий A (табл. 4.1) и Б (табл. 4.2) для них построены производственные функции и = 3,21256х0.40317 4. 0.59831 и у = 1,21337х, + + 1,38971х,, где у — объем товарной продукции; x, — основные производственные фонды; X, — численность промышленно-производственного персонала.

Из табл. 4.1 и 4.2 видно, что фондоотдача на предприятии А ниже, чем на предприятии Б, поэтому сравнительная

экономия основных фондов по формуле (4.3) в первом году составит; |

Эви (1) = 2,3- > —4,3 = 0,159 > 0.

‚

С другой стороны, производительность труда на предприятии А выше, чем на предприятии Б, так что сравни-

Таблица 4.2

1 Год ` продук Основные Численность Фондоотдача "ence | 9,5 4,3 3,2 2,21 2,97 2 10,3 4,6 3,4 2,24 3,02 3 10,7 4,9 3,4 2,18 3,15 4 11,2 5,1 3,7 2,20 3,03 5 12,1 5,4 4,0 2,24 3,02 6 13,0 5,8 4,3 2,24 3,02

226

тельная экономия трудовых ресурсов в первом году отрицательна:

Энд (1) = 12-22 —3,2 = —0,873 <0.

Сходные результаты дает и применение формулы (4.5) интегрального метода. Сделать вывод на основании этих данных о TOM, какое предприятие работало более эффективно, затруднительно.

Произведем теперь расчет сравнительной эффективности совокупного использования ресурсов на основе произволственных функций. Согласно (4.8) величина Эфф равна: за первый год — Эфф (1) = —1,27, за третий год— Эфф (3) = = —1,14, за пятый год — Эфф (5) = —1,45. Следова-

тельно, во всех трех случаях более эффективно работало предприятие A

® ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За более чем 50-летний период своего развития теория производственных функций как одна из областей экономической науки и практики стала разветвленной научной дисциплиной, включающей в себя ряд самостоятельных разделов. Библиография работ ло анализу, построению и применению ПФ на различных уровнях и в различных условиях управления народным хозяйством содержит много сотен наименований. В настоящей книге отражена лишь часть вопросов, относящихся к теории производственных функций. За пределами изложения остались такие важные проблемы, как анализ взаимосвязей производственных функций хозяйственных систем с производственными функциями их подсистем и элементов, агрегирование и дезагрегирование производственных функций (см. [41]), взаимодействие производственных функций с детализированными моделями производства типа модели линейного программирования [35], использование производственных функций для прогнозирования научно-технического прогресса и нововведений [13] и многое другое. Для ориентации читателя в потоке литературы по производственным функциям мы приBOHM схему основных разделов и направлений теории производственных функций (рис. 4.1).

То понятие производственной функции, которое использовалось в данной работе, не является единственным. К настоящему времени более или менее оформились четыре варианта концепции производственной функции как экономико-статистической модели процесса производства продукции: а) вероятностная, согласно которой производственная функция рассматривается как математическое ожидание случайной величины выпуска при заданных ресурсах [23]; 6) мажорантная (оптимизационная), где считается, что производственная функция выражает максимально возможный при заданных размерах основных ресурсов объем выпуска [20]; в) мажорантно-вероятностная, в которой производственная функция используется для выражения вероятной

298

верхней границы объема выпуска [43], и д) детерминированная концепция, последовательно изложенная в данной работе. В нашу задачу не входит подробный разбор и сравнительный анализ этих концепций; отметим лишь, что каждая из них опирается на совокупность определенных первоначальных посылок, играющих роль аксиом и не проверяемых полностью в рамках данной теории. Вопрос о выборе той или иной концепции не может быть решен раз и навсегда в пользу одной из них и решается каждый раз в зависимости от цели, объекта и — далеко не в последнюю очередь — субъекта моделирования.

Как правило, построение производственных функций и их включение в систему реальных экономических расчетов повышают качество разрабатываемых планов и достоверность результатов экономического анализа. Вместе с тем ‚сегодняшний уровень развития теории и практики производственных функций таков, что эффективность их применения зависит от многих объективных и субъективных факторов. Серьезные проблемы возникают при формировании ‘информационной базы ПФ. Существующая система формирования и сбора отчетных данных во многих случаях не позволяет достаточно обоснованно сопоставлять, в частности, объемы выпуска за разные годы. Причина этого не только в изменениях цен и номенклатуры продукции, структуры самого объекта, но и в различной методологии исчисления показателей. Такие показатели, как товарная и валовая продукция, определенные по. наиболее распространенному сейчас заводскому методу, существенно зависят от структуры внутрисистемной кооперации. Трудности возникают также и при оценке восстановительной и балансовой стоимости основных фондов. Тем не менее есть основание полагать, что в процессе развития и интеграции автоматизированных информационных систем управления предприятиями, объединениями и отраслями, повышения их роли в реальном управлении достоверность, стабильность, а следовательно, и возможности использования статистических данных будут возрастать. ...

Результаты применения производственных функций во многом зависят от квалификации и опыта исследования в этой области. По мере накопления практического опыта Tpyдоемкость построения ПФ существенно сокращается, а эффективность их применения возрастает. Расширить арсенал средств, которыми владеет экономист, повысить их 060снованность, целенаправленность и эффективность мы и стремились в этой книге.

229

Экономические предпосылки .| Тесретика-системные предпосылки теории производственных теории производстненных функций функций

Разработка содержательной концепции производственной функции Раэрабатка формального определения производственной функции ` Построение . производФормирование [_ ственной | системы эксиом. функции Разработка, анализ . Г и ассификация , Аксиома: |р Прикладпроизподственных [Г] тическал | ная. р функций Теория теория ° Учет технопогических сдвигов Двойственность | Производственные функции и другие экономико-математи- |-— ческие модели “Теоретическое вгрегирование к“ ' .. - Применение | производАгрегирование Агрегирование ственной переменных функций . функции Рис. 4.1

230

Выбор системы показателей

Методы формирования информационной базы

Методы знализа Методы учета экономической — целей технологии моделирования Методы выбора Г] вида функции Принципы Методь учета аппроксимации статистической Методы выбора технологии информации вида области определения Методы учета качественной | Методы выбора информации — критерия оценки Napamerpos Алгоритмическое обеспечение Методы расчета параметров Программное обеспечение Прогнозирование Применение Планирование основной зависимости Экономический анализ . Применение производных . зависимостей Качественный анализ

231

5 —

> ль w

® СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

. Маркс К. Капитал.— М.: Политиздат, 1973.

Основные направления экономического и социального развития СССР на 1986—1990 годы и на период до 2000 года: Проект. — М.: Политиздат, 1985. | Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС 23 апреля 1985 r.— M.: Поличиздат, 1985.

Алгоритмы и программы. — М.: ВНТИЦентр, 1982, № 6. Анчишкин А. И. Прогнозирование роста социалистичес-

. кой экономики. — М. : Экономика, 1973.

Арнольд В. И. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных. — Математический сборник, 1959, т. 48, № |.

. Астахов Ю. И., Клейнер Г. Б., РайхельсонЕ. И.

Применение производственных функций на стадии предплановых расчетов в электромашиностроении.— Электротехничес-

‚ кая промышленность, — 1982, № 2.

10.

1]. 12. 13. 14.

15.

16.

17. 18.

232

. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. —

М.: Наука, 1984.

Багриновский К. А. Модели и методы экономической кибернетики. — М.: Экономика, 1973.

Багриновский К. А., Егорова Н. Е., Радченко В. В. Имитационные модели в народнохозяйственном планировании.— М.: Экономика, 1980.

Баркалов Н. Б. ‘Производственные функции в моделях экономического роста.— М.: МГУ, 1981.

Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. — М.: Прогресс, 1965.

Браун М. Теория и измерение технического прогресса.— М. : Статистика, 1971.

Бромберг Г. Jl, Бузова Н. И., Клейнер Г. Б. Перспективное планирование производства в объединении.— М.: Экономика, 1978.

Бузова Н. И. Перслективное планирование и система нормативов.— В кн.: Проблемы финансов в хозрасчетных объединениях. М.: Наука, 1978.

Ванинский А. Я. Аксиоматический подход к обоснованиюинтегрального метода экономического анализа.— В кн.: Проблемы повышения качества планирования в объединении. М.: ИНЭУМ, 1979.

Вилкас 9. Й., МайминасЕ. 3. Решения: теория, информация, моделирование. — М.: Радио и связь, 1981.

Вишнев С. М. Производственные функции. — В кн.: Математика н кибернетика B экономике: Словаръ- “справочник. М.: Экономика, 1975.

19, 20. 21. 22.

23. 24. 25. 26.

28.

29.

30.

ЭТ. 32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

Глады шевский А. И. Методы и модели отраслевого экономического прогнозирования. — М.: Экономика, 1977. Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики. — М.: Экономика, 1978.

Дамбраускас А. П. Симплексный поиск. — М.: Энергия, 1979. |

Данилов-Данильян В. И., Майминас Е. 3. Moдель. — В кн.: Математика и кибернетика в экономике: Словарьсправочник. М.: Экономика, 1975.

Демиденко Е. 3. Линейная н нелинейная регрессии. — M.: Финансы и статистика, 1981.

He миденко Е. 3. Нелинейная регрессия.— М.; ИМЭМО, 1984.

Дубров А. М. Обработка статистических данных методом анализа главных компонент, — М.: Статистика, 1978.

Ершов Э. Б., Левченко Н. Г. Структурная пропорциональность народного хозяйства и ее макроэкономический анализ.— Экономика и математические методы, 1981, т. XVII, вып. 4, .. Иваннлов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979.

КалманР., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теорин систем. — М.: Мир, 1971.

Канторович A.B. Вайнштейн Альб. Л. Об исчислении нормы эффективности на основе однопродуктовой модели развития народного хозяйства. — Экономика и математические методы, 1967, т. Li], вып. 5.

Клейнер Г. Б. Область определения производственной функции. — Экономика и математические методы, 1978, т. XIV, вый. 5.

Клейнер Г. Б. Методы анализа производственных функций. — М.: Информэлектро, 1980. —_

Клейнер Г. Б. Методы количественного определения влияния факторов на обобщающие экономические показатели. {См. [17].)

Клейнер Г. Б. Детерминированный анализ систем показателей. — Экономика и математические методы, 1981, т. XVII, выл. 6.

Клейнер Г. Б. Критерии оценки параметров производственных функций объектов автоматизированного управления. — Автоматика и телемеханика, 1982, № 7.

Клейнер Г. Б. Применение производственных функций при формировании годовых планов производства B объединении. — В кн.: Модели и методы принятия решений в управлении производственными объединениями. М.: ЦЭМИ, 1985. Клейнер Г.Б., Сирота Б. Н. О производственных функцияхс постоянными и переменными эластичностями замены факторов. — Экономика и математические методы, 1975, т. ХТ, вып.3. Клейнер Г. 'Б., Сирота Б. Н. Пакет прикладных программ для построения и использования производственных функций в экономических расчетах (ПРОФЭР).— Приборы и системы управления, 1984, № 6.

Клейнер Г. Б., Сирота Б. Н. Об одном классе mpousводственных функций. — Экономика и математические методы, 1976, т. ХИ, вып. 1

Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных

233

40. 41.

42. 43.

44. 45. 46. 47. 48.

49.

50. 51.

60. 61, 62.

234

функций одного переменного и сложения. —Доклады АН CCCP, 1957, т. 114, №5. —

Кобринский Н. Е., Кузьмин В. И. Точность экономико-математических моделей. — М.: Финансы и статистика, 1981.

Левченко Н. Г. Проблема агрегирования производственных функций (критический обзор). — В кн.: Малоразмерные модели экономического роста. М.: ИМЭМО АН СССР, 1978. Макаров В. Л., РубиновА. М, Математическая теория экономической динамики и равновесия, — М.: Наука, 1973. Матеров И. С. К проблеме полной идентификации моделн стохастических границ производства.— Экономика и математические методы, 1981, т. XVII, вып. 4.

Миркин Б. Г. Анализ качественных признаков и структур.— М.: Статистика, 1980.

Михалевский Б. Н. Система моделей среднесрочного народнохозяйственного планирования. — М,: Наука, 1972. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. — М.: Советское радио, 1976.

Нихкайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика.— М.: Мир, 1972.

Nanns Я. Ш., Рывкин А. А. О попытках модельного` подтверждения теории предельной производительности. — Экономика и математические методы, 1977, т. VIII, вып. 6. Пирогов Г. Г., Федоровский Ю. П. Проблемы структурного оценивания в эконометрии.— М.: Статистика, 1979.

Полак 9. Численные методы оптимизации. — М.: Мир, 1974. Подиновский В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности однородными критериямн.— Автоматика и телемеханика, 1976, № [1.

. Пуарье Д. Эконометрия структурных изменений. — М.:

Финансы и статистика, 1981.

. Раяцкас Р., Бальсис О. Анализ экономического роста

и оценка долгосрочных прогнозов.— Вильнюс: Минтис, 1979.

‚ Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973. . Садовский Л. Е. Иоффе Л, Ш., Клейнер Г. Б.

Вопросы моделирования иерархических систем. —Изв. АН СССР, сер. «Техническая кибернетика», 1977, № 2.

‚ Сирота Б. Н. О методах оценивания параметров нелинейных

производственных функций. — В кн.: Экономико-математические проблемы хозрасчета в объединениях. M.: ИНЭУМ, 1977.

. Смирницкий ЕЁ. К. Экономические показатели промыш-

ленности. — М.: Экономика, 1980.

. Терехов Л. Л. Производственные функции.— М.: Ста-

тистика, 1974.

. Типовая методика разработки пятилетнего плана производст-

венного объединения (комбината), предприятия. — M,: Экономика, 1975.

Типовая методика разработки техпромфинплана производственHore объединения (комбнната), предприятия. —М,; Экономика, 1979.

ХайкинВ. П., Найденов В. С., Галуза С. Г. Корреляция и статистическое моделирование в экономических расyetax.— М,: Экономика, 1964.

Хауштейн Г. A. Методы прогнозирования в социалистической экономике. — М.: Прогресс, 1971.

63:

64. 65. 66.

67.

63. 69.

70. 71. 72. 73. 74. 75. 76.

77. 78. 79. 80.

81. 82. 83.

Хедин Э., Ди ллон Д. Производственные функции в сельском хозяйстве. — M.: Прогресс, 1965.

Химмельблау J. Прикладное нелинейное программи-

ование.— М.: Мир, 1975.

етыркин Е. М. Статистические методы прогнозирова-

НИЯ. — 2-е изд. — М.: Статистика, 1977. Шеремет A.J, Дей Г. Г., Шаповалов В. Н. Метод цепных подстановок и совершенствование факторного анализа экономических показателей. — Вестник МГУ, сер. «Экономика», 197], №4. Шмидт А. Г. О структуре производственных функций с постоянной эластичностью замещения. — В кн.: Исследование операций. М.: ВЦАН СССР, 1972, вып. 3. Экономический анализ хозяйственной деятельности / Под ред. А. Д. Шеремета. — M.: Экономика, 1979. Я ременко IO. B., Ершов Э. Б., Смышляев А. С. Исследование взанмосвязи факторов экономического роста экономики СССР в 1950—1970 гг.— В кн.: .Математические Meтоды решения экономических задач. М.: Наука, 1974. А | [еп В. G. О. Mathematical Analysis for Economists.— London: St. Martin’s Press, 1938 (2-nd-ed. 1963). DouglasP.H., CobbC.wW. А theory of production.— Amer. Econ. Rev., 1928, March, Suppl. Mc. Fadden D. Constant "elasticity substitution production functions.— Rev. of Econ. Stud., 1963, 30. На пос h С. CRESH production functions. — Econometrica,

71, 39. Hartley H. О. Modified Gauss-Newton method for fitting of nonlinear regression functions. — Technometrics, 1961, М 3. HicksJ. K. The Theory of Wages.— London: Macmillan, 1932 (2-nd ed: 1963). Marquardt D. W. An algorithm for least-suares estimation of Ropiinear parameters.— Journ. Soc, Indust. Appl. Math., 1963, 11, N Sato С. А two-level CES production function.— Rev. of Ec. Stud., 1967, vol. 34, N 98. Sato К. The most general class о] CES function.— Econometrica, 1975, vol. 43, N 5—6.° SatoR. ‘Linear elasticity of substitution production function. — Metroeconomica, 1967, April, N 19. SatoR.,HoffmanR.H. Production function with variable elasticity at factor substitution: some analysis and testing, — Rev. Econ. and Statistics, 1968, vol. 50, N 4. Shephard R. W. Cost and Production Functions.— Princeton: Princeton Univ. Press, 1953. Solow В. А contribution to the theory of economic growth.— Quart. Journ. of Econ., 1956, 70, 65—94. Uzawa H. Production functions with constant elasticities of substitution.— Rev. of Economic Stud., 1962, vol. 29, N 80.

235

@ СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ

Автомат — математическая модель системы, состоящая из множества входных воздействий U, множества выходных воздействий У, множества состояний системы Х, отображения перехода ф: У. Х- — Х ин выходного отображения 1: Х > У (с. 11).

Агрегированная экономическая технология — способ переработки групп производственных ресурсов в готовую продукцию в групповой номенклатуре, реализованный в условиях организационпоакономических ограничений данной производственной системы (с. 18).

Агрегированная экономическая технология производственного процесса П с показателями HL, V — отображение т подмножества De К" в А1, удовлетворяющее условию и °т=Поеу, где р — систе-

ма показателей производственных ресурсов; У — показатель объема производства продукции (с. 29).

Адаптивный критерий оценки параметров — переменный критерий оценки параметров ПФ, вид и параметры которого меняются в зависимости от вида и текущих значений параметров оцениваемой функции (с. 144). ,

Адекватность модели — степень точности отражения в модели ` свойств моделируемого объекта и ее соответствия целям моделироваНИЯ.

'Аппроксимационная задача (схема) — задача понска наилучщего приближения некоторого математического объекта. Формальная запись: AS = <a, Е, т, V>, rye a — подлежащий аппроксимации математический объект; E — множество аппроксимирующих математических объектов; р—бинарное отношение квазипорядка Hat Е; позволяющее сравнивать элементы Е по близости к а; V — схема вычислительного процесса поиска экстремального элемента отношения (с. 25).

Бинарное отношение на множестве Е — подмножество в MHOжестве всех пар (21, ез), где yj, е› — элементы множества E (с. 25)..

Бинарное отношение квазипорядка — квазирефлексивное и‘тран-. зитивное отношение (с. 26).

Бннарное отношёние квазирефлексивное — отношение, для которого из условия (е, e’) С р вытекает, что (е, e) Ср для любых элементов е, #'С E (с. 26).

Бинарное отношение рефлексивное — отношение р, для KOTOрого {е, e) Е р при любом е Е Е (с. 38),

Бинарное отношение транзитивное — отношение р, для которого из условия (2, г’) Срн(2’, e”) Е р следует, что (e, е'') С p (с. 38).

1 Курсивом выделены ссылочные слова.

236

Идентификация модели — определение и уточнение переменных и параметров модели на основе данных о моделируемом объекте и целях моделирования (с. 7).

Идентификация ПФ по значениям — оценка параметров ПФ, основанная на минимизации расстояния между фактическими и вычисленными значениями ПФ в.заданных точках (с. 158).

Идентификация ПФ по изоквантам — оценка параметров ПФ, основанная на минимизации расстояния от изокванты, отвечающей фактическому значению функции у (И, до соответствующего значения аргумента x (2 (с. 158).

Изокванта функции f (x) — множество точек x из области определения функцин f, в которых f (x) = const (с. 59).

Интерпретация модели — определение и уточнение характеристик моделируемого объекта C помощью его модели.

Классическая функция — яеоклассическая функция первой степени однородности (с. 52).

Неоклассическая функция — неубывающая, однородная и вогнутая функция (с. 52).

Нормальная область — множество нормальных точек пространства ресурсов (с. 122). |

Нормальная точка пространства ресурсов — точка х = = (x), ..., Xn), для которой соотношения между ресурсами x, ..., Хи © учетом их взаимозаменяемости отвечатот нормальным условиям производства (отсутствие избытка и дефицита ресурсов) (с. 122),

Нормативная функция выпуска — минимальный объем выпус- ‘Ka, рассчнтываемый по нормативной функции затрат на Г! руб.

i продукции или нормативной функции прибыли (с. 181,

Нормативная функция затрат на I руб. товарной продукции — функция д (5), выражающая минимальный для данной производственной системы уровень затрат на | руб. продукции в зависимости от структурных коэффициентов себестоимости (с. 180).

`’ Нормативная функция прибыли — функция р (с), выражающая максимальный для данной производственной системы размер прибыли через структурные коэффициенты себестоимости (с. 194).

Область определения агрегированной экономической технологии — множество значений, которые могут принимать показатели ресурсов моделируемого производственного процесса (с. 29).

Область определения производственной функции — множество значений, которые- могут принимать аргументы производственной функции при‘условии сохранения ее адекватности (с. 23).

Определяющий ресурс — вид ресурса, наличие которого определяет производственный потенциал системы (с. 131).

Предельная производительность f-ro ресурса — характеристика

ПФ f (4%, ..„ хп), имеющая вид Xt, = rma i

Прогностическая функция — однофакторная функция, используемая для прогнозной экстраполяции экономических показателей.

Производственная функция — экономико-статистическая модель процесса производства продукции, отражающая устойчивую закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуска (с. 15).

Производственная функция процесса П с показателями р, V в классе вычислимых функций W — решение аллроксимационной 3aдачи AS = <t, №, р., V>, гдет — агрегированная экономическая

237

технология процесса П с показателями BP, V; р, — бинарное отно.

шение квазипорядка на множестве №; У — вычислительный алгоритм (с. 36).

Спецификация параметров модели — определение конкретных (или вероятных) численных значений параметров (коэффициентов) математической модели на основе данных о моделируемом объекте и цели построения модели (с. 10).

Структурные коэффициенты себестоимости — коэффициенты с1,..., Cn В функции себестоимости (с. 184).

Функция себестоимости — функция с (xX) = сх, + ... + сихр. выражающая величину издержек производства в зависимости от объемов участвующих в производстве ресурсов (<. 184).

Экономико-математическая модель — математическая модель процесса (объекта), отражающая его экономические характеристнки и предназначенная для изучения экономических аспектов его функционирования (с. 8).

Экономико-статистическая модель — экономико-математическая модель, при идентификации которой использовались методы статистической обработки данных.

Эластичность выпуска по масштабу производства — характе-

ристика ПФ f (x, ..., хп), нмеющая вид Xt = | i (c. 49). Эластичность выпуска по {-му ресурсу — характеристика ПФ f (х1,..., Хп), имеющая вид YS, = 3; + (c. 48). xi Эластичность замены Z-ro фактора /-м no Аллену — характеристика ПФ } (%, ..., хи), имеющая вид | OF} = (м На +... + Но) НЫ; Н, где Ay; — алгебраическое дополнение к элементу В+, 74, (п + 1)X Х (п - 1)-матрицы Н = (#;;), в которой hy, = 0, Ay = Ви = fi, hiy = fioyjopy tf = 2, ..., 0 (С. 74). Эластичность замены Z-ro фактора j-m обратная — характс-

ристика ПФ, имеющая внд apeP — РИН д (is/Fi) где хь/х; ==

хИх; [9 (хИху) = const, А tj, f = const (с. 67).

Эластичность замены {-го фактора /-м по Мак Фаддену — характеристика ПФ, имеющая вид of = Sill 0 (И) ‚ где x = const при k + i, j, f =: const (с. 64).

Эластичность замены #{-го фактора j-m no Михалевскому —

характеристика ПФ, имеющая BHA OF; = fale aa ‚ где в чисad ae I pli лителе и знаменателе стоят полные дифференциалы (с. 76). Эластичность замены {-го фактора /-м прямая — характеристика ПФ, имеющая вид оуР = ГИ 9 (ИХ где ВЕ ==сопзё при

| х/х; 9 (F;/Fi) Rk i, j, f = const (с. 71}.

238

2 PERM ORNG с. уе уе “Глава | .` Экономнко-статистический анализ производственных процессов. уе. 1.1. Особенности экономико-статистического моделирования произэводственно-технологических процессов... . ... 1.2. Производственная функция. как экономнко-статистическая модель производственного процесса . 1.3, Характеристики производственных функций .

Глава 2. Методы построения производственных функций

Основные этапы построения. ........ 32 Виды производственных функций. . . . 2.3. Область определения производственной. `функции 2,4. Крилерии оценки параметров производственной

функции...

2.5. О вычислительных методах оценки параметров ‘производственных функций. ...

2.6. Пример построения производственной "функции для прогнозирования товарной продукции объединения

Глава 3. Производственные функции и модели эффектив-

- ного функционирования производста. . ......

3.1. Факторные модели анализа затрат на | руб. товарной и нормативной чистой продукции. :.

3.2. Факторные модели анализа прибыли на основе производственных функций .

3.3. Модель прогнозирования основных показателей деятельности объединения на основе производственной

Глава 4. Производственные функции в системе планово-

аналитических расчетов... ..

4.1. Производственные функции в перслективном планировании....

4.2. Производственные функции в экономическом анализе хозяйственной деятельности . ‚Заключение ‚еее ен. Список литературы... еее ee Словарь основных терминов ............

12 38 78

78 89 113

. 141 . 162

167 176

176 194

. 202

210

. 210

. 217 . 228 . 232 . 236

Клейнер Георгий Борисович

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ, ПРИМЕНЕНИЕ

Зав. редакцией Р. А. Казьмина Редактор JJ, Я. Вылегжанина Мл. редакторы A. В. Щурова, В. Г. Крылова Худож. редактор М. К. Гуров Техн: редакторы Г. А. Полякова, Р. Н. Феоктистова Корректоры Я. 5. Островский, БЕ. М. Смирнова н Л. Г. Захарко Переплет художника Е. К. Самойлова

ИБ № 1829

Сдано в набор 02.09.85. Подписано в печать 20.01.86. Al2204,

Формат 84х1081/... Бум. офс. № 2. Гарнитура «Лятературпая». Печать офсетная. | Усл..п. a. 12,6. Yen. кр.-отт. 12,81. Уч.-над. л. 13,32. Тираж 5000 экз. Заказ 1104. Цена 2 руб. Издательство «Финансы и статистика», 101000, Москва, ул. Чернышевского, 7 Московская тнпография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР па делам издательств, полиграфии н книжной ` торговли 129041, г, Москва, Б. Переяславская ул., дом 46